Relativité restreinte - Définition

Diagramme d'espace-temps

Trajectoires de particules dans l'espace seul

Trajectoires des mêmes particules dans l'espace-temps

En mécanique newtonienne, l'espace est séparé du temps et on étudie le mouvement d'une particule en fonction d'un temps absolu. Graphiquement on représente la trajectoire dans l'espace (mais pas dans le temps !). Par exemple, on trace l'ellipse que décrit une planète autour du Soleil selon les lois de Kepler. La figure ci-contre montre le trajet spatial effectué par un certain nombre de particules A, B, C, D, E, etc. animées d'une vitesse constante pendant le même laps de temps, disons une seconde, trajet proportionnel à la vitesse du mobile. Dans le cas général on peut tracer la trajectoire d'un point M (x, y, z) dans un repère cartésien à trois dimensions.

En relativité restreinte on suit des événements dans un espace à 4 dimensions, trois d'espace et une de temps, et par conséquent il est impossible dans le cas le plus général de visualiser la courbe représentant la succession d'événements traduisant le déplacement de la particule à la fois dans le temps et dans l'espace. Cette courbe est appelée ligne d'univers de la particule. Pour lever la difficulté de la représentation de 4 dimensions on se limite souvent à 2 dimensions, une d'espace et une de temps. Autrement dit on considère des mouvements seulement le long de l'axe des x, les coordonnées y et z restant inchangées. Ne restent alors que les variables x et t, lesquelles permettent de tracer dans un repère cartésien à deux dimensions la trajectoire d'une particule dans l'espace-temps : sa ligne d'univers.

Les deux figures ci-contre illustrent le passage du point de vue newtonien au point de vue relativiste. En haut on a porté l'espace parcouru en 1 seconde par diverses particules de vitesse constante. Tandis que A reste au même point, B se déplace d'une certaine quantité, C va plus vite et va plus loin, D encore plus tandis que E se déplace dans l'autre sens. Dans la figure du bas, on a porté dans un diagramme spatio-temporel la succession des événements constituant le mouvement de la particule. Puisque la vitesse des particules est constante, leur abscisse est évidemment x = v t de sorte que leur ligne d'univers est une droite. La pente de celle-ci est proportionnelle à la vitesse v.

La chose remarquable est que la ligne d'univers de la particule au repos n'est plus un seul point mais le segment de droite OA. En effet, si la particule ne bouge pas (x = constante) le temps continue à s'écouler pendant la période considérée !

Diagramme d'espace-temps

Si un segment de droite représente dans ce diagramme un mouvement à vitesse constante, dans le cas général c'est une courbe quelconque qui traduira le mouvement d'une particule. À titre d'exemple considérons la ligne d'univers ci-contre représentant un mobile partant de l'abscisse x = 0 et y revenant un temps T plus tard, temps mesuré disons sur Terre. Il pourra s'agir d'une fusée effectuant un voyage aller-retour intersidéral et nous continuerons à raisonner sur cet exemple.

Le segment de droite entre « départ » et « arrivée » le long de l'axe temporel représente la ligne d'univers de la Terre, dont la coordonnée spatiale, égale à 0, ne varie pas. La ligne courbe représente la suite d'événements constituant le voyage de la fusée. La coordonnée curviligne permettant de repérer un point sur cette courbe est le temps propre de la fusée, celui que mesure l'horloge embarquée.

Les montrent que le temps propre le long du trajet curviligne est plus court que le temps propre le long du trajet rectiligne (ici celui qui représente le temps terrestre). Ce phénomène est le fondement du paradoxe des jumeaux. L'un des frères fait un aller-retour à une vitesse proche de la lumière (ce qui est d'ailleurs impossible à réaliser, mais il s'agit d'une expérience imaginaire) tandis que son frère reste à Terre. Au retour le voyageur se retrouve plus jeune que son frère.

Ainsi, tandis qu'en géométrie euclidienne (x, y) le chemin le plus court entre deux points A et B est la ligne droite, en géométrie lorentzienne (x, t) l'intervalle temporel entre deux événements A et B est maximum pour la particule se déplaçant le long du trajet rectiligne AB. Le voyage le plus long est celui qui correspond au trajet rectiligne AB dans le diagramme espace-temps. Dans le cas présent cette trajectoire est celle que suit un mobile libre de toute force et avançant donc à vitesse constante. Cette propriété est tellement capitale qu'elle permet de retrouver les équations de la relativité générale en étendant le principe de maximisation du temps de parcours au mouvement libre d'une particule dans un champ de gravitation (au voisinage d'un trou noir ou du Soleil par exemple).