Relativité générale - Définition et Explications

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Résumé de la théorie

Référentiels et synchronisation des horloges

L’idée centrale de la relativité est que l’on ne peut pas parler de quantités telles que la vitesse ou l’accélération sans avoir auparavant choisi un cadre de référence, un référentiel. Tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) mouvement, tout événement est alors décrit relativement à ce référentiel de l'observateur.

La relativité restreinte (La relativité restreinte est la théorie formelle élaborée par Albert Einstein en 1905 en vue de tirer toutes les conséquences physiques de la...) postule que ce référentiel doit être inertiel et peut être étendu indéfiniment dans l’espace et dans le temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le changement dans le monde.).

Dans le but de ne privilégier aucun type de référentiels en particulier dans l'écriture des lois de la nature (principe de covariance (Pour le principe physique, voir Principe de covariance générale.) générale), la relativité générale (La relativité générale, fondée sur le principe de covariance générale qui étend le principe de relativité aux référentiels non-inertiels, est une théorie relativiste de la gravitation,...) traite en plus les référentiels non-inertiels, c'est-à-dire dans lesquels un corps libre de toute contrainte ne suit pas un mouvement rectiligne et uniforme. Dès lors, tout système de coordonnées est a priori admissible et, généralement, ses limites se révèlent à l'usage (L’usage est l'action de se servir de quelque chose.).

En physique (La physique (du grec φυσις, la nature) est étymologiquement la « science de la nature ». Dans un sens...) classique, un exemple de référentiel non-inertiel est celui d'un véhicule (Un véhicule est un engin mobile, qui permet de déplacer des personnes ou des charges d'un point à un autre.) qui nous transporte et qui suit un virage : la force (Le mot force peut désigner un pouvoir mécanique sur les choses, et aussi, métaphoriquement, un pouvoir de la volonté ou encore une vertu morale « cardinale » équivalent au courage (cf. les articles « force...) centrifuge que l’on ressent contrarie le mouvement inertiel des corps par rapport au véhicule. Un autre exemple est le référentiel lié à la terre (La Terre est la troisième planète du Système solaire par ordre de distance croissante au Soleil, et la quatrième par taille et par masse croissantes....), qui du fait de la rotation terrestre voit se manifester la force de Coriolis (Dans un système de référence (référentiel) en rotation uniforme, les corps en mouvement, tels que vus par un observateur partageant le même référentiel,...) bien mise en valeur par le pendule de Foucault (Un pendule de Foucault, du nom du physicien français Jean Bernard Léon Foucault, est une expérience conçue pour démontrer la rotation de la Terre par rapport à un référentiel...). Une force centrifuge est dite fictive car elle n'est qu'une manifestation de l'inertie (L'inertie d'un corps découle de la nécessité d'exercer une force sur celui-ci pour modifier sa vitesse (vectorielle). Ainsi, un corps immobile ou en mouvement...) (premier principe de Newton), et non pas due à l'application d'une force.

En relativité générale, il est admis que l’on ne peut définir un référentiel que localement et sur une période finie. Cette limitation est une nécessité car elle s'impose dans plusieurs cas :

  • Cas le plus simple : un référentiel cartésien de l'espace en trois dimensions (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son diamètre si c'est une pièce de...) tournant sur lui-même autour (Autour est le nom que la nomenclature aviaire en langue française (mise à jour) donne à 31 espèces d'oiseaux qui, soit appartiennent au genre Accipiter, soit constituent les 5 genres...) d'un axe. L'utilisation de la relativité restreinte impose une contraction du périmètre (Le périmètre d'une figure plane est la longueur du bord de cette figure. Le calcul du périmètre sert par exemple à déterminer la...) du cercle (Un cercle est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale distance d'un point nommé centre. La valeur de cette distance est appelée rayon du cercle. Celui-ci étant infiniment variable,...) de rotation qui aboutit à un périmètre nul à une certaine distance de l'axe de rotation. À cette distance, ce référentiel n'est plus utilisable.
  • L'espace s'avérant courbe (En géométrie, le mot courbe, ou ligne courbe désigne certains sous-ensembles du plan, de l'espace usuels. Par exemple, les droites, les segments, les lignes polygonales et les cercles sont des courbes.), en relativité générale, l'utilisation d'un référentiel droit (utilisé pour un espace euclidien (Un espace euclidien, dans la conception actuelle, est un espace vectoriel ou affine réel de dimension finie muni d'un produit scalaire. Dans un tel espace, on peut traiter des questions de longueur ou d'orthogonalité. En physique, l'espace où...) ou pseudo-euclidien, comme l'espace de Minkowski) revient à projeter cet espace sur un espace euclidien, ce qui ne peut être que localement et provisoirement possible, de la même manière, qu'à cause de la courbure (Intuitivement, courbe s'oppose à droit : la courbure d'un objet géométrique est une mesure quantitative du caractère « plus ou moins...) de la surface (Une surface désigne généralement la couche superficielle d'un objet. Le terme a plusieurs acceptions, parfois objet géométrique, parfois frontière physique, et est souvent abusivement...) terrestre, on ne peut dessiner une carte plate sans distorsion que sur une région limitée. Un exemple célèbre est la métrique de Schwarzschild (En astrophysique, et plus précisement dans le cadre de la Relativité générale, la métrique de Schwarzschild est une métrique permettant de décrire le champ gravitationnel autour...) qui correspond à un référentiel sphérique pseudo-euclidien à quatre dimensions (applicable sans limitation à l'espace de Minkowski), et qui n'est plus valable à l'approche du rayon de Schwarzschild (Le rayon de Schwarzschild est défini comme le rayon critique prévu par la géométrie de Schwarzschild, en deçà duquel rien ne peut s'échapper : si une étoile ou tout autre objet...).
  • La synchronisation des horloges se heurte à d'insurmontables difficultés : dans de nombreux cas il n'est pas possible de synchroniser parfaitement les horloges se trouvant sur un circuit fermé, ni même sur d'autres types d'axes de coordonnées car les propriétés de l'espace évoluant avec le système observé, des horloges initialement synchronisées se désynchronisent. On peut toutefois réussir cette synchronisation en plaçant l'observateur dans un référentiel synchrone (c'est-à-dire en chute libre dans le champ (Un champ correspond à une notion d'espace défini:) de gravitation) où sont choisis comme axes des géodésiques de l'espace-temps (La notion d'espace-temps a été introduite au début des années 1900 et reprise notamment par Minkowski en 1908 dans un exposé mathématique sur la géométrie de l'espace et du...), évoluant au cours du temps de ce référentiel.

Principe d'équivalence

Version moderne de l'ascenseur (Un ascenseur est un dispositif mobile assurant le déplacement des personnes (et des objets) en hauteur sur des niveaux définis d'une construction.) d'Einstein : dans l'espace vide (Le vide est ordinairement défini comme l'absence de matière dans une zone spatiale.), une fusée (Fusée peut faire référence à :) subit une accélération (L'accélération désigne couramment une augmentation de la vitesse ; en physique, plus précisément en cinématique,...) constante.
La chute d'un objet (De manière générale, le mot objet (du latin objectum, 1361) désigne une entité définie dans un espace à trois dimensions, qui a une fonction précise, et qui peut...) vue (La vue est le sens qui permet d'observer et d'analyser l'environnement par la réception et l'interprétation des rayonnements lumineux.) par un observateur extérieur (à gauche), et vue par l'hôte de la fusée (à droite).

Parce qu’il n’a jamais été possible de mettre en évidence le moindre écart entre la masse d’inertie (résistance d’un corps à l’accélération) et la masse pesante (qui détermine son poids (Le poids est la force de pesanteur, d'origine gravitationnelle et inertielle, exercée par la Terre sur un corps massique en raison uniquement du voisinage de la...) dans un champ de gravité), le principe d'équivalence en relativité générale postule qu’il n’y a pas lieu de distinguer localement un mouvement de chute libre dans un champ gravitationnel constant, d’un mouvement uniformément accéléré en l’absence de champ gravitationnel : dans les deux cas la chute d'un corps est décrite par la même loi, celle de la chute libre.

Ce résultat n’est que local, c’est-à-dire valable pour un espace restreint, « petit ». Dans un volume (Le volume, en sciences physiques ou mathématiques, est une grandeur qui mesure l'extension d'un objet ou d'une partie de l'espace.) plus important et avec des accéléromètres sensibles, on distinguera au contraire très bien un champ de gravité (La gravitation est une des quatre interactions fondamentales de la physique.) (forces concourantes), une simple accélération (forces parallèles) et un effet centrifuge (forces divergentes). Mais dans un volume quasi-ponctuel, aucune mesure ne peut faire la distinction.

D'ailleurs, cette équivalence est utilisée dans le cadre de l’entraînement des astronautes : ceux-ci montent dans des avions effectuant un vol parabolique (Le vol parabolique est un moyen d'être en impesanteur pendant une vingtaine de secondes. Les inconvénients majeurs sont la faible durée, la faible qualité (0,01 g...) où la force centrifuge contrebalance quelques minutes ( Forme première d'un document : Droit : une minute est l'original d'un acte. Cartographie géologique ; la minute de terrain est la carte originale, au crayon, levée sur le terrain. ...) les forces de gravité, simulant ainsi la « chute libre » d’un corps satellisé (mais dans ce cas la chute libre peut durer indéfiniment, puisque la trajectoire (La trajectoire est la ligne décrite par n'importe quel point d'un objet en mouvement, et notamment par son centre de gravité.) est une boucle).

Conséquences du principe d'équivalence

Principalement : existence d'un référentiel inertiel en chaque point (Graphie) de l'espace-temps, et détermination complète du champ de gravitation (La gravitation est une des quatre interactions fondamentales de la physique.) par la métrique du référentiel choisi.

  • En chaque point de l'espace-temps il existe un référentiel localement inertiel : un référentiel en chute libre (dans le champ de gravitation, s'il y en a) dans lequel tous les corps chutent simultanément au référentiel, si bien qu'ils ne paraissent subir aucune gravitation par rapport à ce référentiel. Par hypothèse un tel référentiel décrit un espace de Minkowski (Dans un espace de Minkowski, du nom de son inventeur, un point est reperé par quatre coordonnées (x,y,z,ct), les trois coordonnées d'espace et la coordonnée de temps.), localement. Ainsi le choix d'un référentiel fait-il disparaitre, localement, les effets de la gravitation, ou bien il en crée ; mais ces effets ne sont que locaux.
  • En chaque point de l'espace-temps, la gravitation est décrite comme le choix d'un référentiel non-inertiel \ (x_0;x_1;x_2;x_3), et la métrique de ce référentiel contient toutes les informations sur le champ de gravitation local.
    Construction de la métrique. Si \ \left( X_0;X_1;X_2;X_3 \right) sont les coordonnées dans un référentiel inertiel local (avec, par convention, \ X_0 = c.t), la métrique de cet espace de Minkowski est notée \ \Delta X^i.\Delta X_i = dX^i.dX_i, avec la convention d'Einstein, et comme \ dX_i = \frac{\partial X_i}{ \partial x_j}.dx_j, on obtient comme métrique pour le référentiel non-inertiel choisi : dX^i.dX_i = \frac{\partial X_i}{ \partial x_j}.\frac{\partial X^i}{ \partial x^k}.dx^k.dx_j, que l'on note aussi g^j_k.dx^k.dx_j = g^{ij}.dx_i.dx_j, avec g^{ij} = \frac{\partial X_k}{ \partial x_i}.\frac{\partial X^k}{ \partial x_j}.
    Construction du référentiel. La métrique \left( g^{ij} \right)_{i;j \in \{0;1;2;3\} } étant donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction, d'un...), la recherche (La recherche scientifique désigne en premier lieu l’ensemble des actions entreprises en vue de produire et de développer les connaissances scientifiques. Par extension métonymique, la recherche...) des \left( \frac{\partial X_i}{ \partial x_j} \right)_{i;j \in \{0;1;2;3\} } ne donne pas une solution unique, mais donne une infinité de solutions correspondantes, pour la moitié d'entre elles, à un changement de référentiel non-inertiel \ (x_i)_{i;j \in \{0;1;2;3\} } à \ (X_i)_{i;j \in \{0;1;2;3\} } inertiel  ; et pour chacune de ces solutions, en connaissant un des deux référentiels on obtient l'autre par intégration.

Le temps propre \ \tau du référentiel inertiel (Minkowskien) vérifie \ c^2.d\tau^2 = dX_i.dX^i = g^{ij}.dx_i.dx_j. En posant \ dx^i = g^{ij}.dx_j, avec la convention d'Einstein, on peut écrire \ dx^i.dx_i = c^2.d\tau^2.

La matrice \left( \frac{\partial X_i}{ \partial x_j} \right)_{i;j \in \{0;1;2;3\} } est inversible, comme tout changement de référentiel est mathématiquement réversible.

Dérivée (La dérivée d'une fonction est le moyen de déterminer combien cette fonction varie quand la quantité dont elle dépend, son argument, change. Plus précisément, une dérivée est une expression (numérique ou...) covariante

Cas général

Soit un quadrivecteur (La théorie de la relativité (restreinte, puis générale) postulée par Einstein amène à considérer les trois coordonnées d'espace (par exemple hauteur,...) \ U = (U_i)_{i \in \{0;1;2;3\} } pour un référentiel (localement) inertiel \ (X_i)_{i \in \{0;1;2;3\} }. Ses coordonnées dans un référentiel quelconque \ (x_i)_{i \in \{0;1;2;3\} } sont \ (u_i)_{i \in \{0;1;2;3\} } \, ,, avec U_i = \frac{\partial X_i}{ \partial x_j}.u_j \, ,.

On a donc dU_i = d \left( \frac{\partial X_i}{ \partial x_j} \right).u_j +  \frac{\partial X_i}{ \partial x_j}.du_j = \frac{\partial^2 X_i}{\partial x_k \partial x_j}.dx_k.u_j +  \frac{\partial X_i}{ \partial x_j}.du_j  =\frac{\partial X_i}{ \partial x_j}. \left( \frac{ \partial x_j}{\partial X_l}.\frac{\partial^2 X_l}{\partial x_k \partial x_m} .dx_k.u_m +  du_j \right).

On nomme « symboles de Christoffel » les termes \ \Gamma_i^{~jk} = \frac{ \partial x_i}{\partial X_l}.\frac{\partial^2 X_l}{\partial x_j \partial x_k} et \ \Gamma^i_{jk} = \frac{ \partial x^i}{\partial X_l}.\frac{\partial^2 X^l}{\partial x^j \partial x^k} , qui souvent s'expriment par une formule différente (En mathématiques, la différente est définie en théorie algébrique des nombres pour mesurer l'éventuel défaut de dualité d'une application...) mais équivalente.

En appelant différentielle absolue ou différentielle covariante l'opérateur (Le mot opérateur est employé dans les domaines :) \ D ou \ \nabla défini par \ \nabla u^i = du^i + \Gamma^i_{jk}.u^j.dx^k, on peut écrire dU^i = \frac{\partial X^i}{ \partial x_j}. \nabla u^j.

On a donc la propriété :  \forall i \in \{0;1;2;3\} \, , dU^i = 0 \Longleftrightarrow \forall i \in \{0;1;2;3\} \, , \nabla u^i = 0 .

On appelle parfois principe de correspondance (La correspondance est un échange de courrier généralement prolongé sur une longue période. Le terme désigne des échanges de courrier personnels plutôt...) en relativité générale le fait de pouvoir substituer \frac{ \nabla~}{d \tau} à \frac{ d~}{dt} dans les équations de la physique classique pour en faire des équations de la physique relativiste, dans la mesure où des quadrivecteurs peuvent y remplacer les vecteurs.

La dérivée covariante du quadri-vecteur dans le référentiel quelconque est définie par \frac{\nabla u^i}{d \tau }

Dans le cas où, par rapport au référentiel inertiel, le quadri-vecteur est constant au cours du temps propre \ \tau, on a \frac{\nabla u^i}{d \tau } = 0.

Particule en chute libre

Considérons une particule de masse non-nulle mais négligeable (c'est-à-dire n'influençant pas le champ gravitationnel environnant de manière significative) en chute libre : un référentiel associé à cette particule est donc inertiel et dedans sa quadri-vitesse, de coordonnées (V_i)_{i \in \{0;1;2;3\} }, y est constante.

On obtient donc dans un référentiel quelconque\ v_i = \frac{dx_i}{d \tau} et \frac{\nabla v^i}{d \tau } = 0.

Cette équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre l'équation consiste à déterminer toutes les façons...) peut aussi s'écrire \frac{d^2x^i}{d\tau^2} + \Gamma^i_{jk}.\frac{dx^j}{d\tau}.\frac{dx^k}{d\tau} = 0, ce que l'on nomme aussi équation des géodésiques en relativité générale.

Par ailleurs, pour toute particule en chute libre, on a \ c^2.d\tau^2 = dX^i.dX_i = g_{ij}.dx^i.x^j, donc \ c^2 = V^i.V_i = g_{ij}.v^i.v^j : la pseudo-norme de la quadri-vitesse est égale à c dans tout référentiel.

Ces calculs n'ont pas lieu d'être pour une particule de masse nulle car son temps propre n'existe pas.

Particule de masse nulle

Dans le cas d'une particule de masse nulle, dont on suppose qu'elle n'influence pas le champ de gravitation environnant, on ne peut utiliser son temps propre car il n'existe pas, par contre on sait que dans un référentiel inertiel, sa vitesse (On distingue :) est constante, donc  \forall i \in \{0;1;2;3\} \, , dU^i = 0 \, , d'où \,~\forall i \in \{0;1;2;3\} \, , \nabla u^i = 0 .

On en tire \frac{du^i}{dx^k} = - \Gamma^i_{jk}.u^j. Cette égalité est d'ailleurs aussi vérifiée par les particules massives (toujours de masse négligeable) en chute libre.

Par ailleurs, la pseudo-norme de la quadri-vitesse des particules de masse nulle est \ 0 = U^i.U_i =  g_{ij}.u^i.u^j dans tout référentiel.

Si la lumière (La lumière est l'ensemble des ondes électromagnétiques visibles par l'œil humain, c'est-à-dire comprises dans des longueurs d'onde de 380nm (violet) à...) est bien modélisée par des particules de masse nulle, elle subit bien la gravitation en relativité générale, suivant une même loi que les autres particules ; seules changent les coordonnées de la vitesse initiale.

Dynamique (Le mot dynamique est souvent employé désigner ou qualifier ce qui est relatif au mouvement. Il peut être employé comme :)

Supposons que dans un référentiel quelconque soit exercée une force relativiste, sous la forme d'un quadri-vecteur \ \left( f^i \right)_{i =0;1;2;3}, sur le corps observé. Par changement de référentiel, on peut considérer cette force dans un référentiel d'inertie local par un quadri-vecteur \ \left( F^i \right)_{i =0;1;2;3} tel que \ F^i=\frac{\partial X^i}{ \partial x^j}.f^j.

De l'égalité m. \frac{d\vec V}{dt} = \vec F, en physique classique, on tire par le principe de correspondance m.\frac{dV^i}{d\tau} = F^i en relativité restreinte, puis enfin m.\frac{\nabla v^i}{d\tau} = f^i, équation de la dynamique relativiste en présence d'un champ de gravitation.

Tenseur d’énergie et courbure de l’espace

Mathématiquement parlant, Einstein modélise l’espace-temps par une variété pseudo-riemannienne quadri-dimensionnelle, et son équation du champ gravitationnel relie la courbure de la variété en un point, au tenseur énergie-impulsion en ce point, ce tenseur étant une mesure de la densité (La densité ou densité relative d'un corps est le rapport de sa masse volumique à la masse volumique d'un corps pris comme référence. Le corps de référence...) de matière (La matière est la substance qui compose tout corps ayant une réalité tangible. Ses trois états les plus communs sont l'état solide, l'état liquide, l'état gazeux. La matière occupe de l'espace et...) et d’énergie (étant entendu que matière et énergie (Dans le sens commun l'énergie désigne tout ce qui permet d'effectuer un travail, fabriquer de la chaleur, de la lumière, de produire un mouvement.) sont équivalentes).

Cette équation est à la base de la fameuse formule qui dit que la courbure de l’espace définit le mouvement de la matière, et la matière définit la courbure de l’espace (les deux étant équivalents). La meilleure façon de se représenter la géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace de dimension 3 (géométrie euclidienne) et, depuis le...) de l’espace-temps est d’imaginer que celui-ci se comporte comme une surface élastique creusée localement par la présence d’un objet massif (Le mot massif peut être employé comme :), une boule par exemple. Pour reprendre une expression célèbre due à John Archibald Wheeler : « La masse et l’énergie disent à l’espace-temps comment se courber, et la courbure de l’espace-temps dit à la matière comment se comporter ».

Tenseur d'énergie

Le tenseur d'énergie-impulsion \ T_{ij} est le tenseur de densité de l'énergie et de l'impulsion de la matière répartie dans l'espace. Il généralise le quadrivecteur énergie-impulsion de la relativité restreinte : cela est rendu (Le rendu est un processus informatique calculant l'image 2D (équivalent d'une photographie) d'une scène créée dans un logiciel de modélisation 3D comportant à la fois des objets et des...) nécessaire par l'étude de la matière comme étendue dans l'espace.

En posant \frac{\nabla~}{\partial x_k} = \nabla^k, on montre que ce tenseur vérifie \nabla^k T_{ij} = 0.

Courbure de l'espace-temps

Situation (En géographie, la situation est un concept spatial permettant la localisation relative d'un espace par rapport à son environnement proche ou non. Il inscrit un lieu dans un cadre plus...) visible : sur une sphère (En mathématiques, et plus précisément en géométrie euclidienne, une sphère est une surface constituée de tous les points situés à une...). Le vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet d'effectuer des opérations d'addition et de multiplication par un scalaire. Un n-uplet peut constituer un exemple de...) tangent noir est transporté par deux chemins différents le long de géodésiques : un chemin bleu (Bleu (de l'ancien haut-allemand « blao » = brillant) est une des trois couleurs primaires. Sa longueur d'onde est comprise approximativement entre 446 et 520 nm. Elle varie en luminosité du cyan à une teinte plus sombre comme...) et un rouge (La couleur rouge répond à différentes définitions, selon le système chromatique dont on fait usage.). À l'arrivée, l'orientation (Au sens littéral, l'orientation désigne ou matérialise la direction de l'Orient (lever du soleil à l'équinoxe) et des points cardinaux (nord de la boussole) ;) du vecteur obtenu dépend du chemin : cette différence, qui n'existe pas (est nulle) en géométrie plane (La plane est un outil pour le travail du bois. Elle est composée d'une lame semblable à celle d'un couteau, munie de deux poignées, à chaque extrémité de la lame. Elle permet le dégrossissage et le creusage...), est mesurée par le tenseur de Riemann-Christoffel.

Dans un espace plat (euclidien ou pseudo-euclidien comme celui de Minkowski), le théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers...) de Schwarz dit que \frac{\partial~}{\partial x_i}\frac{\partial~}{\partial x_j} - \frac{\partial~}{\partial x_j}\frac{\partial~}{\partial x_i} = 0, ce que l'on écrit aussi \left[ \partial^i ; \partial^j \right] = 0, avec \frac{\partial~}{\partial x_i} = \part^i et \ [A;B]= A \circ B - B \circ A.

Une mesure de la courbure de l'espace est dans l'expression de \left[ \nabla^i ; \nabla^j \right] = \frac{\nabla~}{\partial x_i}\frac{\nabla~}{\partial x_j} - \frac{\nabla~}{\partial x_j}\frac{\nabla~}{\partial x_i} , avec \frac{\nabla~}{\partial x_i} = \nabla^i. Émerge de ces calculs un peu laborieux le tenseur de Riemann-Christoffel construit uniquement à partir de la métrique \ g_{ij}.

Quelques calculs supplémentaires permettent d'en tirer le tenseur de Ricci (Dans le cadre de la théorie de la Relativité générale, le champ de gravitation est interprété comme une déformation de l'espace-temps. Cette déformation est exprimée à l'aide du tenseur de Ricci, dont le nom a été...) \ R_{ij}. Ce tenseur vérifie un certain nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) de propriétés qui le rendent incontournable dans la recherche du lien entre la courbure de l'espace et les corps qui y sont présents. On défini aussi le scalaire (Un vrai scalaire est un nombre qui est indépendant du choix de la base choisie pour exprimer les vecteurs, par opposition à un pseudoscalaire, qui est un nombre qui peut dépendre de la base.) nommé la courbure principale \ R = R^i_i = g^{ij}.R_{ij}.

Einstein savait que le tenseur \ G_{ij} = R_{ij}-\frac{1}{2}g_{ij}.R vérifie l'égalité \nabla^k G_{ij} = 0, comme le tenseur énergie-impulsion.

Élie Cartan montra, après qu'Einstein ait exposé ses équations de la relativité générale, que le seul tenseur \ G_{ij} non trivial, d'ordre 2, lié à la géométrie et vérifiant cette dernière égalité est bien ce tenseur, nommé maintenant le « tenseur d'Einstein ».

Les équations d'Einstein

Einstein a postulé que les équations liant (Un liant est un produit liquide qui agglomère des particules solides sous forme de poudre. Dans le domaine de la peinture, il permet au pigment d'une peinture de coller sur le support, il est alors...) la matière présente et la courbure de l'espace sont \ R_{ij}-\frac{1}{2}g_{ij}.R = \chi T_{ij} \;,\ \chi est une constante homogénéisant les dimensions. On détermine par l'approximation (Une approximation est une représentation grossière c'est-à-dire manquant de précision et d'exactitude, de quelque chose, mais encore assez significative pour...) newtonienne que \ \chi = \frac{8 \pi G}{c^4}.

Hilbert a justifié cette équation par le principe de moindre action dès 1915.

Dans ces équations, il s'agit de prolonger le lien créé entre la masse inertielle et l'énergie totale du corps, énoncé dans relativité restreinte, en une relation reliant la cause de la gravitation (la courbure de l'espace) à l'énergie de la matière présente.

L’équation du champ d’Einstein n’est pas linéaire, et n'a pas une solution unique. Pour la relativité générale, les lois de Newton ne sont que des approximations valables dans un référentiel local, à faible champ de gravitation et pour de petites vitesses.

La relativité générale se distingue des autres théories existantes par la simplicité du couplage entre matière et courbure géométrique, mais il reste à réaliser l’unification entre la relativité générale et la mécanique quantique (La mécanique quantique est la branche de la physique qui a pour but d'étudier et de décrire les phénomènes fondamentaux à l'œuvre dans les systèmes...), et le remplacement de l’équation du champ gravitationnel par une loi quantique plus générale. Peu de physiciens doutent qu’une telle Théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une...) du Tout donnerait lieu aux équations de la relativité générale dans certaines limites d’application, de la même manière que cette dernière permet de redonner la loi de la gravitation de Newton comme approximation.

Constante cosmologique (La constante cosmologique est un paramètre rajouté par Einstein en février 1917 à ses équations de la relativité générale (1915), dans le but de rendre sa théorie compatible...) et observations (L’observation est l’action de suivi attentif des phénomènes, sans volonté de les modifier, à l’aide de moyens d’enquête et d’étude...)

L’équation du champ peut contenir un paramètre (Un paramètre est au sens large un élément d'information à prendre en compte pour prendre une décision ou pour effectuer un calcul.) « supplémentaire » appelé la constante cosmologique \ \Lambda qui a été introduite à l’origine par Einstein pour qu’un univers (L'Univers est l'ensemble de tout ce qui existe et les lois qui le régissent.) statique (Le mot statique peut désigner ou qualifier ce qui est relatif à l'absence de mouvement. Il peut être employé comme :) (c’est-à-dire un univers qui n’est ni en expansion, ni en contraction) soit solution de son équation.

Les équations d'Einstein s'écrivent alors : \ R_{ij}-\frac{1}{2}g_{ij}.R = \chi T_{ij} + g_{ij}.\Lambda .

Cet effort se solda par un échec pour deux raisons : d'un point de vue théorique, l’univers statique décrit par cette théorie est instable ; et de plus les observations de l’astronome Edwin Hubble (Le télescope spatial Hubble (en anglais, Hubble Space Telescope ou HST) est un télescope en orbite à environ 600 kilomètres d'altitude, il effectue un tour complet de la Terre toutes les 100 minutes. Il est nommé en l'honneur de...) dix ans plus tard démontrèrent que l’Univers était en fait en expansion. Donc \ \Lambda fut abandonnée, mais récemment, des techniques astronomiques ont montré qu’une valeur non nulle de ce paramètre est nécessaire pour expliquer certaines observations.

L’étude des solutions de l'équation d'Einstein est une branche de la physique nommée cosmologie (La cosmologie est la branche de l'astrophysique qui étudie l'Univers en tant que système physique.). Elle permet notamment d’expliquer l’excès de l’avance du périhélie (Le périhélie est le point de l'orbite d'un corps céleste (planète, comète, etc.) qui est le plus rapproché du Soleil (grec : helios) autour duquel il tourne.) de Mercure, de prédire l’existence des trous noirs, des ondes (Une onde est la propagation d'une perturbation produisant sur son passage une variation réversible de propriétés physiques locales. Elle transporte de l'énergie sans transporter de matière.) gravitationnelles et d’étudier les différents scénarii d’évolution de l’Univers. Notons que l’astrophysicien bien connu Stephen Hawking (Stephen W. Hawking, CH, CBE, FRS, FRSA, est un physicien théoricien et cosmologiste anglais, né le 8 janvier 1942 à Oxford. Hawking a été professeur de mathématiques à l'Université de Cambridge de...) a démontré qu’un univers comme le nôtre comportait nécessairement des singularités gravitationnelles.

Plus récemment (octobre 2004), des mesures effectuées par laser (Un laser est un appareil émettant de la lumière (rayonnement électromagnétique) amplifiée par émission stimulée. Le terme laser provient de l'acronyme anglo-américain « light amplification by...) avec les satellites (Satellite peut faire référence à :) LAGEOS ont montré que le champ gravitationnel de la Terre lui-même engendre des distorsions de positionnement (On peut définir le positionnement comme un choix stratégique qui cherche à donner à une offre (produit, marque ou enseigne) une position crédible, différente et attractive au sein...) de la Lune (La Lune est l'unique satellite naturel de la Terre et le cinquième plus grand satellite du système solaire avec un diamètre de 3 474 km. La distance...) de deux mètres par an comparativement à ce qui serait prévu par les seules lois de Newton. Ce chiffre (Un chiffre est un symbole utilisé pour représenter les nombres.) est en accord à 1% près avec ce qui est prévu par la Relativité générale.

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