Relation d'équivalence - Définition
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Classe d'équivalence
Considérons un ensemble non vide E muni d'une relation d'équivalence
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- Inversement, si y est un élément de E n'appartenant pas à
On déduit de ce qui précède que l'ensemble des classes d'équivalence de E forme une partition de E. Inversement, toute partition d'un ensemble y définit une relation d'équivalence. On peut établir une bijection canonique entre les partitions d'un ensemble et les relations d'équivalence dans cet ensemble.
Enfin, la restriction d'une relation d'équivalence à l'une de ses classes d'équivalence est une relation pleine.
Exemples
- L'égalité sur un ensemble quelconque de nombres (entiers, rationnels, réels, complexes) est une relation d'équivalence.
- Le parallélisme sur un ensemble de droites (dans un plan) est une relation d'équivalence.
- Si
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- est une relation d'équivalence sur E. Ainsi toute application induit une relation d'équivalence sur son ensemble de départ.
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![\forall\ ( x , y ) \in E^{\, 2} , [ x \mathcal R y ] \Leftrightarrow [ f( x) = f( y) ] \,](https://static.techno-science.net/illustrationWebp/Definitions/autres/5/5acebea93d1b9ee83c3be7c8ae8043ae_320f506fb8f8f5ccd0a9968883916b55.png)
![\forall\ ( x , y ) \in E^{\, 2} , [ f( x) = f( y) ] \Leftrightarrow [ x = y ] \,](https://static.techno-science.net/illustrationWebp/Definitions/autres/5/5e3946dc1e8f3527a4acfa00aecd786f_d330ead23c8ab151e7cb3db62f0fff7d.png)
- Le fait d'être égales presque partout pour des fonctions sur un espace mesuré est une relation d'équivalence qui joue un rôle important dans la théorie de l'intégration de Lebesgue. En effet deux fonctions égales presque partout ont le même comportement dans cette théorie.
- La relation d'un modèle de Kripke de la logique modale S5 est une relation d'équivalence. En particulier, si l'on modélise la connaissance avec la logique modale S5, la relation épistémique d'un agent est une relation d'équivalence.
- Contre-exemples
Plusieurs relations exhibent la réflexivité, la symétrie ou la transitivité, mais pas toutes :
- Réflexive et transitive :
![\forall\ ( x , y ) \in \mathbb N^{\, 2} , [ x \mathcal R y ] \Leftrightarrow [ x \leq y ] \,](https://static.techno-science.net/illustration/Definitions/autres/4/4acd79bc898d8418a3757ba93b43f65b_865f01b088452cef45ad3eee257684a6.png)
- Symétrique et transitive :
![\forall\ ( x , y ) \in \mathbb N^{\, 2} , [ x \mathcal R y ] \Leftrightarrow [ x y \neq 0 ] \,](https://static.techno-science.net/illustration/Definitions/autres/5/53ef57f349519c5dc1e6b7ff96cc7ee8_2d5eb5ce15330de59a9c4dc8301bf41e.png)
- Réflexive et symétrique :
![\forall\ ( x , y ) \in \mathbb Z^{\, 2} , [ x \mathcal R y ] \Leftrightarrow [ (2 \mid (x - y)) \vee (3 \mid (x - y)) ] \,](https://static.techno-science.net/illustration/Definitions/autres/8/8aa3ce570576684edc983e0e4a72e2f7_8616b9eec79c47ef54434bc06ae5dcd3.png)
![\forall\ ( x , y ) \in \mathbb N^{\, 2} , [ x \mathcal R y ] \Leftrightarrow [ x \leq y ] \,](https://static.techno-science.net/illustrationWebp/Definitions/autres/4/4acd79bc898d8418a3757ba93b43f65b_865f01b088452cef45ad3eee257684a6.png)
![\forall\ ( x , y ) \in \mathbb N^{\, 2} , [ x \mathcal R y ] \Leftrightarrow [ x y \neq 0 ] \,](https://static.techno-science.net/illustrationWebp/Definitions/autres/5/53ef57f349519c5dc1e6b7ff96cc7ee8_2d5eb5ce15330de59a9c4dc8301bf41e.png)
![\forall\ ( x , y ) \in \mathbb Z^{\, 2} , [ x \mathcal R y ] \Leftrightarrow [ (2 \mid (x - y)) \vee (3 \mid (x - y)) ] \,](https://static.techno-science.net/illustrationWebp/Definitions/autres/8/8aa3ce570576684edc983e0e4a72e2f7_8616b9eec79c47ef54434bc06ae5dcd3.png)
