Réfraction - Définition

Approche du « moindre parcours » : principe de Fermat

Un aspect particulièrement étonnant est la possibilité d'interpréter également ces lois de Snell-Descartes en termes de moindre parcours, et plus précisément en termes de moindre temps.

C'est Fermat qui a introduit cette interprétation, source tout à la fois pour lui de questionnements fondamentaux sur la « raison » de ce moindre parcours, et d'une approche théorique très puissante dite de moindre action.

Énoncé du principe de Fermat :

« La lumière se propage d'un point à un autre sur des trajectoires telles que la durée du parcours soit stationnaire. »

Là encore, une analogie « mécanique » peut aider à comprendre pourquoi durée de parcours et trajectoire brisée sont intimement liées.

Considérons maintenant un athlète devant partir d'un point de la plage et rejoindre le plus vite possible une bouée située dans l'eau. Là encore, l'athlète court plus vite sur la plage qu'il ne progresse dans l'eau. En conséquence, il convient donc de ne pas aller en ligne droite vers la bouée, mais de rallonger la distance parcourue sur le sable (et diminuer celle à parcourir dans l'eau). Mais évidemment, il ne faut pas non plus trop rallonger sur le sable…

On peut alors chercher quel est le chemin qui correspond au minimum de temps. C'est un chemin tel que le point d'arrivée au bord de l'eau n'est ni l'intersection avec la ligne droite, ni le cas où la distance dans l'eau est la plus faible (en nageant perpendiculairement à la rive) mais un point entre les deux, et qui est tel que :

On retrouve l'expression de la loi de la réfraction.

Chemin optique

Lorsqu'un rayon parcourt une distance d dans un milieu d'indice n, on appelle chemin optique, et on note L, le produit de la distance et de l'indice :

Si un rayon change de milieu et parcourt une distance d₁ dans un milieu d'indice n₁ et une distance d₂ dans un milieu d'indice n₂, alors le chemin optique parcouru est :

On remarque alors que le chemin que parcourt un rayon pour aller d'un point à un autre correspond toujours à un extrémum de L (minimum ou parfois maximum) : ligne droite dans un milieu donné, et réfraction suivant la loi de Snell-Descartes lorsqu'il change de milieu. C'est ce que l'on appelle un principe de moindre action.

Notez qu'il s'agit là d'une constatation, d'une conséquence, et non d'une cause. Le rayon lumineux n'a pas de stratégie, il ne décide pas d'emprunter tel ou tel chemin, et le point d'arrivée n'est pas donné à l'avance ! Mais ce principe est très puissant et peut être généralisé à beaucoup d'approches de la physique. En optique, il permet de calculer le trajet dans un milieu d'indice variable.

Milieux d'indice variable

On a jusqu'ici considéré des milieux homogènes et isotropes, dans lesquels la vitesse de la lumière était la même partout et dans toutes les directions. Mais il existe des milieux dans lesquels la vitesse de la lumière, donc l'indice de réfraction, varie de manière continue, par exemple l'air.

Si le sol est chaud, alors la température de l'air diminue lorsque l'on s'élève en altitude. La densité de l'air varie, et la vitesse de la lumière, donc l'indice, aussi (gradient d'indice) ; c'est ainsi que le bitume par temps très chaud déforme les images ou fait apparaître d'imaginaires flaques d'eau reflétant le ciel (concavité vers le haut du trajet lumineux) et qu'on peut apercevoir une oasis dans le désert bien qu'elle soit derrière une dune (concavité vers le bas dans ce cas), mais le terme de « mirage » s'applique aussi à l'effet du soleil sur l'imagination du voyageur.

Une autre expérience commune consiste à prendre un aquarium rempli d'eau et mettre du sel au fond : la concentration de sel est plus importante au fond qu'en surface, et l'indice de réfraction varie en fonction de cette concentration ; un rayon laser passant dans un aquarium contenant un peu de fluorescéine peut alors donner une trajectoire courbe (et non plus une ligne droite).

Enfin, dans les fibres optiques, on fait volontairement varier l'indice de réfraction en fonction de la distance par rapport au centre de la fibre ; dans ce cas la variation d'indice sert à « piéger » le rayon lumineux qui ondule et suit la fibre plutôt que de se réfléchir sur les bords.

Dans ces milieux, l'indice n dépend donc du point considéré, n est une fonction de la position (x,y,z) (Voir la fonction gradient).

Chemin optique total

Le trajet du rayon lumineux est une courbe C dans le milieu. Considérons un petit trajet du point s au point s+ds sur lequel l'indice peut être considéré comme constant (s est l'abscisse curviligne sur C, c'est-à-dire la distance parcourue en suivant la courbe depuis le point de départ). Le chemin optique est localement :

le chemin optique total est donc :

D'après le principe de moindre action, le trajet suivi par le rayon lumineux correspond à celui qui a la valeur L minimale. Ceci permet de calculer la trajectoire du rayon.