Racine d'un nombre - Définition

Introduction

En mathématiques, une racine n-ième d'un nombre a est un nombre b tel que bⁿ = a, où n est un entier naturel non nul,

Selon que l'on travaille dans l'ensemble des réels positifs, l'ensemble des réels ou l'ensemble des complexes, le nombre de racines n-ièmes d'un nombre a peut être 0, 1, 2 ou n.

Pour un nombre réel a positif, il existe un unique réel b positif tel que bⁿ = a. Ce réel est appelé la racine n-ième de a (ou racine n-ième principale de a ) et se note avec le symbole radical ( ) ou . La racine la plus connue est la racine carrée d'un réel. Cette définition se généralise pour a négatif et b négatif à condition que n soit impair.

Le terme de racine d'un nombre ne doit pas être confondu avec celui de racine d'un polynôme qui désigne la (ou les) valeur(s) où le polynôme s'annule.

Racine d'un réel

Racine carrée

Pour tout réel r strictement positif, l'équation x² = r admet deux solutions réelles opposées, et lorsque r = 0, l'équation x² = 0 admet comme seule solution 0.

La racine carrée d'un réel r positif ( ) est par définition l'unique solution réelle positive de l'équation

x² − r = 0 d'inconnue x.

Elle est notée .

Exemples

• La racine carrée de deux est
• La racine carrée de trois est

Racine cubique

La racine cubique d'un réel r quelconque est l'unique racine réelle de l'équation

x³ − r = 0 d'inconnue x.

Elle est notée .

Exemple:

• On a . En effet − 2 est le seul nombre réel dont la puissance troisième est égale à − 8.

Racine n-ième d'un nombre réel positif

Pour tout entier naturel non nul n, l'application est une bijection de sur et donc pour tout réel r positif, l'équation xⁿ = r admet une unique solution dans .

La racine énième (ou racine n-ième) d'un réel r positif (r ≥ 0, n > 0) est l'unique solution réelle positive de l'équation

xⁿ − r = 0 d'inconnue x.

Elle est notée .

Remarquons que la racine n-ième de r est aussi l'unique racine positive du polynôme Xⁿ − r.

Lorsque n est pair, l'équation

xⁿ − r = 0 d'inconnue x

possède deux solutions qui sont et .

Lorsque n est impair, l'équation

xⁿ − r = 0 d'inconnue x

ne possède qu'une seule solution .

Racine n-ième d'un nombre réel négatif

Le traitement des racines de nombres négatifs n'est pas uniforme. Par exemple, il n'existe pas de racine carrée réelle de -1 puisque pour tout réel x, x² + 1 > 0, mais la racine cubique de -27 existe et est égale à -3.

Pour tout entier naturel impair n, l'application est une bijection de sur donc tout nombre réel admet exactement une racine n-ième.

Pour tout entier naturel impair n, la racine énième (ou racine n-ième) d'un réel r quelconque est l'unique solution réelle de l'équation

xⁿ − r = 0

d'inconnue x.

Il s'ensuit que les racines d'ordres impairs de nombres réels négatifs sont négatives.

Remarquons que pour les entiers naturels impairs n et pour tout réel a, on a

.

Le besoin de travailler avec des racines de nombres négatifs a conduit à la mise en place des nombres complexes, mais il y a également dans le domaine des nombres complexes des restrictions pour les racines. Voir ci-dessous.

Les propriétés des racines

Les règles de calcul des racines qui découlent des propriétés des puissances.

Pour les nombres strictement positifs, a et b, on a les règles de calcul suivantes:

• 
• 
• 
• 

Dans le cas des nombres négatifs, ces règles de calcul ne pourront être appliquées que si m et n sont des nombres impairs. Dans le cas des nombres complexes, elles sont à éviter.

Exposant fractionnaire

Dans l'ensemble des réels strictement positifs, le nombre qui, élevé à la puissance n, donne a est noté . L'idée est de noter ce nombre comme une puissance de a, quitte à prendre un exposant non entier. Il s'agissait donc de trouver un exposant p tel que . En utilisant des opérations connues sur des exposants entiers que l'on généraliserait à des exposants non entiers, on obtiendrait a^pn = a¹, soit pn = 1 et .

Ainsi on peut noter la racine carrée de a , ou , la racine cubique de a , ou et la racine n-ième de a , ou .

Cette extension des valeurs possibles pour l'exposant est due au travail de Newton et Leibniz. On peut poursuivre le travail en observant que

et vérifier que cette notation est compatible avec les propriétés déjà connues sur les exposants entiers.

C'est chez Newton que l'on voit apparaître pour la première fois un exposant fractionnaire. Mais Newton et Leibniz ne s'arrêteront pas là et se poseront même la question de travailler sur des exposants irrationnels sans être pour autant capables de leur donner un sens. Ce n'est qu'un siècle plus tard que ces notations prendront un sens précis avec la mise en place de la fonction exponentielle et la traduction :

pour tout réel a strictement positif.

Fonction racine n-ième

Pour tout entier naturel non nul n, l'application est une bijection de sur dont l'application réciproque est la fonction racine n-ième. Il est donc loisible de construire sa représentation graphique, à l'aide de celle de la la fonction puissance par symétrie d'axe d:y = x.

On remarque que cette fonction est continue sur l'intervalle et l'existence à l'origine d'une tangente confondue avec l'axe des y donc d'une non-dérivabilité en 0 ainsi qu'une branche parabolique d'axe (Ox).

Les formules sur la dérivée de la réciproque permettent d'établir que la fonction racine n-ième est dérivable sur l'intervalle et que sa dérivée est , soit encore, avec l'exposant fractionnaire montrant ainsi que la formule sur la dérivée d'une fonction puissance entière se généralise à celle d'une puissance inverse.

Développement en série entière

Le radical ou racine peut être représenté par la série :

où

avec | x | < 1.