Racine carrée de deux - Définition
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√2 dans la vie courante
Format de papier
Les formats de papier A, B et C de la norme ISO 216, d’emploi courant hors de l’Amérique du Nord, ont été conçus pour vérifier une propriété remarquable : une feuille coupée en deux parties égales par la largeur, produit deux feuilles semblables à l’original ; c’est-à-dire avec le même rapport longueur/largeur. L’aire étant diminuée d’un facteur 2, ceci n’est possible que si ce rapport vaut √2 ; dans la pratique, les dimensions sont arrondies.
Ci-dessous sont données les valeurs approximatives des formats A0 à A5 en fonction de √2.
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Valeurs approximatives des dimensions des formats A0 à A5 exprimées en fonction de √2. Dans la pratique, les dimensions sont arrondies. format longueur (m) largeur (m) aire (m2) A0 √√2 √√2⁄√2 1 A1 √√2⁄√2 √√2⁄2 1⁄2 A2 √√2⁄2 √√2⁄(2√2) 1⁄4 A3 √√2⁄(2√2) √√2⁄4 1⁄8 A4 √√2⁄4 √√2⁄(4√2) 1⁄16
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Les séries B et C diffèrent de la série A respectivement d’un facteur √√2 (~ 1,19) et √√√2 (~ 1,09).
Les facteurs d’agrandissement de 200 %, 141 %, 71 %, 50 % proposés par les photocopieuses sont des approximations de (√2)n qui permettent le passage à des formats de papier supérieurs ou inférieurs — que ce soit physiquement ou par impression de 2n pages par feuille.
Musique
La gamme du tempérament égal se construit ainsi : le rapport de fréquences entre les notes extrêmes de l’octave est 2 ; et la gamme est divisée en douze-demi tons de rapports de fréquence égaux f. Le rapport de fréquences entre la note la plus haute et la plus basse est donc f12, qui vaut, comme indiqué précédemment, 2. Le demi-ton a ainsi un rapport f = 21/12.
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Rapports de fréquences des notes de la gamme tempérée par rapport à la note la plus basse. do do# ré ré# mi fa fa# sol sol# la la# si do 1 21/12 21/6 21/4 21/3 25/12 √2 27/12 22/3 23/4 25/6 211/12 2
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Dans ce système, la quarte augmentée (do–fa#) et la quinte diminuée (do-sol♭) sont égales et valent six demi-tons ; elles ont un rapport de fréquences de √2. Le chant grégorien utilise cet intervalle, le triton, mais à la fin du Moyen Âge celui-ci est systématiquement évité car jugé trop dissonant. Il reçoit alors le surnom de « Diabolus in Musica ».
Électricité
En électricité, la tension efficace Ueff d’un courant alternatif sinusoïdal — par exemple les 110 V ou 220 V du courant domestique — est reliée à l’amplitude de la tension Umax par
- Umax = Ueff√2, noté aussi Û=U√2,
soit, dans la plupart des applications courantes :
- Ueff ≅ 0,7 Umax.
Cela est valable plus généralement pour la valeur efficace des grandeurs linéaires d’une onde sinusoïdale. On remarquera aussi que 20 log (U/√2) = 20 log U - 20 log √2 = 20 log U - log ((√2)^20) = 20 log U - log 1024 ~ 20 log U - 3 On parle de bande passante à -3 décibels.
Photographie
Les ouvertures des appareils photographiques suivent la séquence normalisée f/1,4, f/2 f/2,8 f/4 f/5,6 f/8 f/11 f/16 f/22, f/32, etc. Le rapport entre deux ouvertures consécutives est une valeur proche de √2, qui a été choisie de sorte à ce que le rapport de flux lumineux soit dans un rapport 2 (flux = diamètre²). En diminuant d’un « cran » l’ouverture on double le temps de pose nécessaire ou diminue d’un facteur 2 la sensibilité de la pellicule requise.
Dans la pratique, l’ouverture indiquée est un arrondi ; l’ouverture réelle peut coller au plus proche de
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Lien entre ouverture, diamètre du diaphragme et flux lumineux reçu à pose et sensibilités fixés. Ouverture f/1,4 f/2 f/2,8 f/4 f/5,6 f/8 f/11 f/16 f/22 f/32 Diamètre d d/√2 d/2 d/2√2 d/4 d/4√2 d/8 d/8√2 d/16 d/16√2 Flux I I/2 I/4 I/8 I/16 I/32 I/64 I/128 I/256 I/512
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