Produit direct (groupes) - Définition et Explications

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Réciproque

La problématique réciproque est la suivante, soit G un groupe, existe-t-il deux sous-groupes H1 et H2 de G non triviaux (c’est-à-dire différents de {e} et G) tel que G soit isomorphe au produit direct de H1 et H2 ?

La réponse est parfois positive, comme le montre l'exemple des groupes cycliques. Ce n'est pas toujours le cas, le groupe symétrique d'ordre trois, contenant les permutations d'un ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une...) de trois éléments, contient six éléments. Les seuls sous-groupes non triviaux ont pour cardinal deux ou trois. Or les seuls groupes de cardinal deux ou trois sont des groupes cycliques donc abéliens. Comme le produit direct de deux groupes abéliens est abélien et que le groupe symétrique d'ordre trois est non commutatif, il n'est pas produit direct non trivial de deux sous-groupes.

Condition nécessaire et suffisante

Soit H1 et H2 deux sous-groupes d'un groupe G, les propriétés élémentaires offrent une condition nécessaire pour qu'ils correspondent à un produit direct. Tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) élément de G s'écrit comme produit d'un élément de H1 et d'un élément de H2 et tout élément de H1 commute avec tout élément de H2. Cette condition n'est pas seulement nécessaire, mais aussi suffisante :

  • L'application φ de H1xH2 dans G qui, à (h1, h2) associe h1*h2 est un isomorphisme de groupe, si et seulement si :
(i)\quad \forall (h_1,h_2) \in H_1 \times H_2 \quad h_1*h_2=h_2*h_1
(ii)\quad \forall g \in G \quad \exists ! (h_1,h_2) \in H_1 \times H_2 \quad tel\; que \quad g=h_1*h_2

Le fait que φ soit un morphisme provient directement de la condition (i), en effet :

\forall (h_1,h_2) (k_1,k_2)\in H_1 \times H_2\quad \varphi\Big((h_1,h_2)(k_1,k_2)\Big)=\varphi\Big(h_1*k_1,h_2*k_2\Big)=h_1*k_1*h_2*k_2 =h_1*h_2*k_1*k_2=\varphi(h_1,h_2)*\varphi(k_1,k_2)

La condition (ii) exprime exactement le fait que φ est bijective. La démonstration (En mathématiques, une démonstration permet d'établir une proposition à partir de propositions initiales, ou précédemment démontrées à partir de...) est donc achevée.

Somme directe (En mathématiques, et plus précisément en algèbre, le terme de somme directe désigne des ensembles munis de certaines structures, construits à partir de la réunion d'autres...)

Soient H1 et H2 deux sous-groupes de G. On dit que la somme de H1 et de H2 est égale à G si et seulement si le groupe engendré par les éléments de H1 et de H2 est égal au groupe entier G et si tout élément de H1 commute avec tout élément de H2.

Si, de plus l'intersection de H1 et de H2 est réduit à l'élément neutre, alors la somme est dite directe et la notation suivante est utilisée :

G=H_1\oplus H_2
  • La somme directe de H1 et de H2 est égale à G si et seulement si tout élément de G s'écrit de manière unique comme somme d'un élément de H1 et d'un élément de H2.

Cette définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.) se généralise à n sous-groupes.

La somme directe possède bien des analogies avec son homologue en algèbre linéaire (L’algèbre linéaire est la branche des mathématiques qui s'intéresse à l'étude des espaces vectoriels (ou espaces linéaires), de leurs éléments les vecteurs, des transformations...) (cf. Somme directe). Soit H1 et H2 deux sous-groupes de G, alors :

  • La somme directe de H1 et de H2 est égale à G, si G est isomorphe au produit direct de H1 et de H2.

Projecteur (Le mot projecteur peut désigner les instruments d'optique suivants :)

Une approche, un peu analogue à celle des espaces vectoriel, donne une équivalence entre un produit direct et un morphisme particulier appelé projecteur. Soit G un groupe, H1 et H2 deux sous-groupes de G tel que l'application φ du paragraphe précédent soit un isomorphisme. Alors tout élément g de G s'écrit de manière unique h1*h2hi est élément de Hi. Soit p l'application de G dans G qui à g associe h1. Elle bénéficie des propriétés suivantes :

  • La fonction p est un morphisme de groupe, tout élément de son image commute avec tout élément de son noyau et pop est égal à p.

Ici o désigne la composition des fonctions.

L'analogie avec les espaces vectoriels donne lieu à la définition suivante :

  • Un projecteur p de G est un morphisme de G dans G tel que tout élément de son image commute avec tout élément de son noyau et pop est égal à p.

La donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction, d'un événement, etc.) d'un projecteur permet une décomposition (En biologie, la décomposition est le processus par lequel des corps organisés, qu'ils soient d'origine animale ou végétale dès l'instant qu'ils sont privés de vie, dégénèrent sous l'action de...) de G en produit direct :

  • Soit p un projecteur de G, alors G est isomorphe au produit direct de l'image de p et du noyau de p.

Dans le cas où G est abélien, tout morphisme dont le carré (Un carré est un polygone régulier à quatre côtés. Cela signifie que ses quatre côtés ont la même longueur et ses quatre angles la même mesure. Un carré est à la fois un rectangle et...) est égal à lui-même est un projecteur, en effet tout élément du groupe commute avec tout élément du groupe.

Cette propriété peut se reformuler de la manière suivante. Toute suite exacte :

1\to H\to G\to G/H\to1

telle que G est abélien, et qu'il existe une section G/H dans G qui se factorise en un produit direct \scriptstyle G\simeq H\times G/H.

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