Principe de relativité - Définition

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Formulations

En mécanique classique

Définition : Un référentiel galiléen (ou inertiel) est un référentiel dans lequel tout corps libre (non influencé par l'extérieur) qui est au repos y reste indéfiniment, et tout corps libre en mouvement reste à vecteur vitesse constant (et donc aussi à moment angulaire constant).

Principe de relativité de Galilée : toutes les lois de la mécanique sont identiques dans tous les référentiels galiléens.

Hypothèses sur l'espace physique : l'espace physique, supposé homogène et isotrope, est identifié à un espace affine de dimension 3, on utilise alors l'espace vectoriel associé, le temps paramétrant les trajectoires et les états du système étudié.

Propriété : soit (R) est un référentiel galiléen, on a : si (R * ) est un référentiel se déplaçant par translation à vitesse constante V par rapport à (R), alors (R * ) est lui aussi galiléen.
Remarque : on prendra garde au fait que la réciproque de la propriété n'est pas vraie, contrairement à ce qui a semblé évident à tous jusqu'à ce qu'Albert Einstein élabore le principe d'équivalence.

Commentaire : le principe a ici deux significations.

Qu'une même expérience vue depuis les deux référentiels galiléens différents, (R) et (R * ), suit une loi qui s'exprime de la même manière quand elle est formulée dans les coordonnées de l'un ou de l'autre des référentiels.
Et aussi qu'une expérience faite à l'identique dans deux référentiels galiléens quelconques suit, dans chacun, la même loi et donne exactement les mêmes observations.

Hypothèse pour les changement de référentiel : les transformations de Galilée.
Si \vec r est le vecteur coordonnées d'un point dans (R) et \vec r_* est le vecteur coordonnées du même point dans (R * ), alors on a :

\vec r = \vec r_* + t.\vec V et \ t = t_*
Remarque : cette hypothèse a été tellement longtemps en parfait accord avec toutes les expériences qu'elle a été une évidence jusqu'à la formulation de la relativité restreinte. Par ailleurs, elle implique qu'il n'y a pas de vitesse maximale, ce qui était en accord avec les observations sur la vitesse infinie (semblait-il) de la transmission de l'influence gravitationnelle.

Le principe de relativité de Galilée s'exprime aussi bien comme la nécessité de l'invariance des équations du mouvement par rapport aux transformations de Galilée.

La deuxième égalité signifie que le temps est le même dans les deux référentiels.
La première égalité est équivalente à la loi de composition des vitesses :  \vec v = \vec v_* + \vec V \Longleftrightarrow \frac{d\vec r}{dt} = \frac{d\vec r_*}{dt} + \vec V \Longleftrightarrow d\vec r = d\vec r_* + \vec V .dt \Longleftrightarrow \vec r = \vec r_* + \vec V .t (à un vecteur constant près)
Elle est aussi équivalente à l'indépendance de l'accélération (et donc de la force \vec F = m \ddot \vec r s'exerçant sur le corps) par rapport au référentiel inertiel de l'observateur : \ddot \vec r = \ddot \vec r_* \Longleftrightarrow \frac{d^2\vec r}{dt^2} = \frac{d^2\vec r_*}{dt^2}  \Longleftrightarrow \frac{d\vec r}{dt} = \frac{d\vec r_*}{dt} + \vec V \Longleftrightarrow \vec r = \vec r_* + \vec V .t (à un vecteur constant près)

En relativité restreinte

La définition d'un référentiel galiléen est la même qu'en mécanique classique.

Le principe de relativité voit son domaine d'application s'élargir :
Principe de relativité : toutes les lois de la physique, hormis la gravitation, sont identiques dans tous les référentiels galiléens.

On y joint un postulat conforme à l'électromagnétisme de Maxwell : « la vitesse de la lumière dans le vide ne dépend pas de la vitesse de sa source », que l'on peut aussi exprimer « la valeur de la vitesse de la lumière dans le vide est la même dans tous les référentiels galiléens ».

La gravitation : jusqu'à la relativité générale, la loi universelle de la gravitation de Newton et l'avance du périhélie de Mercure ne furent pas compatibles avec le postulat sur la vitesse de la lumière et les hypothèses sur l'espace.
Remarque : Les mathématiques proposent, avec le seul principe de relativité (dans un espace affine), d'avoir une vitesse inchangée d'un référentiel galiléen à l'autre et indépassable, cette vitesse étant, au choix, finie ou infinie. Les propriétés de la vitesse de la lumière, qui est finie dans la théorie de l'électromagnétisme, permettent son identification avec la vitesse limite de la théorie.

Hypothèses sur l'espace physique : l'espace physique est supposé homogène et isotrope et est identifié, pour chaque référentiel galiléen, à un espace affine (avec l'espace vectoriel associé) de dimension 3, et un temps paramétrant les trajectoires et les états du système étudié : la mesure du temps est propre à chaque référentiel et les changements de référentiels indiquent aussi le changement de cette mesure. L'hypothèse sur la vitesse de la lumière impliquant que chaque référentiel galiléen a son propre temps, l'espace physique peut aussi être identifié à un espace-temps de quatre dimensions (trois d'espace et une de temps) : l'espace-temps de Minkowski.

La propriété est toujours vraie :
Propriété : soit (R) est un référentiel galiléen, on a : si (R * ) est un référentiel se déplaçant par translation à vitesse constante V par rapport à (R), alors (R * ) est lui aussi galiléen.

Remarque : la réciproque de la propriété est implicitement admise. En relativité restreinte les référentiels étudiés sont ceux qui sont inertiels et qui sont supposés en translations à vitesse constante les uns par rapport aux autres. La gravitation n'est pas traitée par cette théorie.

Commentaire : pour le principe de relativité, idem au commentaire fait dans le paragraphe ci-dessus de la mécanique classique. Pour le second principe : on peut en comprendre la nécessité si on considère que la vitesse de la lumière est une mesure de deux expériences identiques (émission de lumière) faites dans deux référentiels galiléens différents : sa mesure doit être la même dans les deux (mais pour admettre cela il faut s'être convaincu que l'éther n'a pas sa place en physique).

Conséquences : la vitesse de la lumière dans le vide est une vitesse indépassable dans tout référentiel; deux évènements simultanés dans le référentiel (R) peuvent ne pas l'être dans (R * ); les mesures des intervalles de temps, des longueurs, des vitesses et des accélérations changent d'un référentiel à l'autre; etc.

Transformations de Lorentz : ces transformations, déductibles des hypothèses, expriment les changements des mesures des intervalles de temps, des longueurs et des vitesses d'un référentiel inertiel à l'autre; le principe de relativité, en relativité restreinte, s'exprime aussi comme la nécessité de l'invariance des équations de la physique par ces transformations.

Le diagramme de Minkowski permet de visualiser les différents effets de la relativité en évitant de manipuler trop de formules mathématiques.

En relativité générale

Vérifier le principe de covariance générale et bien modéliser la gravitation sont les principales raisons d'être de cette théorie.

Principe de relativité ou de covariance générale : les lois de la physique sont identiques dans tous les référentiels.

Définition : Un référentiel inertiel est un référentiel dans lequel tout corps libre (non influencé par l'extérieur) qui est au repos y reste indéfiniment, et tout corps libre en mouvement reste à vitesse constante (et donc aussi à moment angulaire constant). Du fait des autres contraintes indiquées ci-dessous, un tel référentiel ne peut être défini que localement et temporairement.

Commentaire :

Ici, le principe signifie qu'une expérience vérifie une loi qui s'exprime de la même manière (même formule) pour tous les référentiels (galiléens ou non) des différents observateurs.
Dans les référentiels galiléens, on observe toujours exactement les mêmes résultats pour des expériences identiques; et de manière plus générale, dans deux référentiels soumis exactement au même champ de gravitation et ayant une expérience identiquement faite dans chacun, la loi de l'expérience sera rigoureusement la même dans les deux référentiels, les observations de l'expérience et les mesures aussi.
Dans des référentiels ayant des contraintes gravitationnelles différentes, les mesures d'une expérience seront influencées par le champ gravitationnel de chaque référentiel, suivant la même loi.

Principe d'équivalence : la gravitation est localement équivalente à une accélération du référentiel, tout référentiel en chute libre dans un champ de gravitation est un référentiel inertiel où les lois physiques sont celles de la relativité restreinte.

Remarque : partant de l'hypothèse qu'il doit y avoir continuité des propriétés avec la relativité restreinte, une expérience par la pensée faite par Einstein lui fit comprendre que dans un référentiel accéléré les mesures des longueurs ne sont pas compatibles avec une géométrie euclidienne, c'est-à-dire avec un espace plat.

Structure mathématique utilisée : variété riemannienne de dimension 4 (une « surface de dimension 4 » déformée, avec une métrique localement définie), les lois étant écrites avec des égalités tensorielles pour assurer leur validité en tout point de la variété et pour tout référentiel.

Propriété :

  • Là où l'espace est courbe (courbure principale non-nulle), les seuls référentiels inertiels sont les référentiels en chute libre dans le champ de gravitation, et ils ne sont inertiels que sur une étendue d'espace-temps localement plate (ce qui n'est jamais qu'une approximation). Dans une telle étendue, la relativité restreinte s'applique et tout référentiel translaté du référentiel inertiel est lui-même inertiel (avec des limitations semblables).
  • Là où l'espace est courbe, la notion de translation est remplacée par le déplacement le long d'une géodésique. Mais la notion de distance n'est que locale en relativité générale (hors du cadre local, deux points distincts peuvent être joints par deux géodésiques de longueurs différentes), et il est délicat de vouloir connaitre l'évolution dans le temps (lié à un référentiel) de la distance entre deux référentiels inertiels joints par une géodésique : à priori, la variation d'une telle distance n'est pas proportionnelle au temps écoulé.
  • Là où l'espace est plat (pseudo-euclidien), ce qui à priori n'est jamais parfaitement réalisé, la théorie de la relativité restreinte s'applique, mais on peut choisir un référentiel accéléré et ainsi avoir toutes les manifestations locales d'un champ de gravitation.

Conséquences : la gravitation est la manifestation de la déformation de l'espace-temps, déformation réelle si elle est due à l'énergie d'un corps, apparente si elle est due au choix d'un référentiel accéléré, sans qu'un observateur ne puisse distinguer ces deux cas par des données locales; les trajectoires suivies par les particules dans le champ de gravitation sont des géodésiques; les lois de la relativité restreinte, toujours vraies dans les référentiels inertiels, peuvent être généralisées à tous les référentiels en étant exprimées avec des égalités tensorielles et en utilisant le principe de correspondance adéquat;...

En physique quantique

Le principe de relativité n'est pas un principe explicite de la physique quantique, mais toute la construction de cette théorie l'utilise, plus ou moins implicitement.
Ainsi, l'équation de Schrödinger est construite à partir de l'équivalence des principes de moindre action et de Fermat (pour la physique non-relativiste), donc elle respecte le principe de relativité dans le cadre non relativiste.
Les équations de Klein-Gordon et de Dirac ont été construites à partir d'équations de la relativité restreinte, et respectent donc le principe de relativité dans le cadre relativiste (voir Mécanique quantique relativiste).
En physique quantique les symétries et invariances des équations étant écrites à l'aide des notions de groupe de Lie et d'algèbre de Lie, le principe de relativité (invariance par rapport à certaines transformations de l'espace-temps) s'y exprime par l'invariance des équations par le groupe de Poincaré qui est un groupe de Lie.

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