En relativité restreinte, le principe de moindre action donne des équations d'Euler-Lagrange presque inchangées par rapport à celles de la mécanique classique, mais le lagrangien n'est plus égal à la différence entre l'énergie cinétique et l'énergie potentielle. En fait, à partir de la relativité, il est apparu que le principe de moindre action se base sur l'existence d'une trajectoire continue, paramétrée par le temps, qui minimise une fonction ou la différence entre des fonctions du système étudié, déterminées à partir de principes généraux, tels que par exemples :
Il se trouve qu'en physique classique, ces fonctions du système sont les énergies cinétiques et potentielles, ce n'est plus le cas en relativité.
En physique relativiste, et en l'absence de champ électromagnétique, on montre que la fonction du corps qui est minimisée dans le principe est particulièrement simple : il s'agit de − mcτ, où τ est « temps propre » du trajet, qui est à la fois le temps s'écoulant dans le référentiel du corps au cours du trajet et la longueur de la trajectoire mesurée par la métrique de l'espace : cela revient à maximiser le « temps propre », du fait du signe − et de la constance de la masse m et de la vitesse de la lumière c.
Un champ électromagnétique amène des différences de parcours entre les corps, suivant leurs charges et leurs répartitions.
Et comme en physique classique, toutes les équations peuvent être obtenues sans le principe de moindre action.
Le lecteur doit prendre garde que dans cet article, on n'étudie que le potentiel du champ électromagnétique, et la lettre désigne une vitesse, ainsi qu'indiqué ci-dessous.
Par commodité, nous adopterons la convention de sommation d'Einstein dans l'espace de Minkowski : pour deux quadri-vecteurs et , on définit le produit scalaire par , avec et pour i=1;2;3
On a alors :
On montre que :
De manière similaire, on écrira : et
En utilisant un temps quelconque indéterminé , l'action permet d'obtenir les équations d'Euler-Lagrange, relativistes mais obtenues de la même manière que dans le cas classique, avec une coordonnées de plus :
Il est important de remarquer que comme dans le cas classique, l'action et le lagrangien ne sont pas définis de manière unique : l'action est définie à l'addition près d'une fonction des extrémités du trajet et du temps, et le lagrangien est défini à l'addition près de la dérivée d'une fonction du temps (qui une fois intégrée donne une fonction des extrémités et du temps).