Polynôme minimal d'un endomorphisme - Définition

Source: Wikipédia sous licence CC-BY-SA 3.0.
La liste des auteurs de cet article est disponible ici.

- Introduction - Définition - Approche par l'exemple - Intérêt du concept - Théorie de Galois - Propriétés

Intérêt du concept

Le polynôme minimal est l'outil théorique central pour la réduction d'endomorphisme dans le cas de la dimension finie. Une réduction est une approche fréquente en algèbre, consistant à réduire un concept en des sous-concepts plus simples et qui décrivent parfaitement le concept initial. Dans le cas des endomorphismes, il en existe deux ayant un rôle particulier, les endomorphismes nilpotents et les endomorphismes diagonalisables ; les polynômes minimaux apparaissent donc pour l'analyse théorique de ces applications linéaires.

La raison du rôle central de cet outil réside dans le fait que la notion de polynôme d'endomorphisme est le cadre théorique pour la démonstration des théorèmes permettant la réduction. Le polynôme minimal y joue un rôle clé. Les démonstrations associées à cet article se trouvent naturellement traitées dans l'article associé.

Par delà son rôle théorique, le polynôme minimal propose une approche appliquée très opérationnelle. Il joue donc un rôle dans l'analyse des matrices en général et plus particulièrement dans le cas de la Réduction de matrice, des Matrices diagonales ou nilpotentes.

Sa dimension appliquée sort des frontières de l'algèbre linéaire pour offrir un outil opérationnel de résolution d'équations différentielles linéaires où il est utilisé dans de cas physiques comme les systèmes oscillants.

Théorie de Galois

En théorie de Galois, étant donnés une extension de corps $\mathbb{L}/\mathbb{K}$ et un élément α de $\mathbb{L}$ qui est algébrique sur $\mathbb{K}$ , le polynôme minimal de α est le polynôme normalisé p, à coefficients dans $\mathbb{K}$ , de degré minimum tel que p(α)=0. Le polynôme minimal est irréductible, et tout autre polynôme non nul q tel que q(α)=0, est multiple de p.

C'est en fait le polynôme minimal de l'endomorphisme de $\mathbb{L}$ défini par $u (x) = α x$ où $\mathbb{L}$ est considéré comme un $\mathbb{K}$ -espace vectoriel.

v · d · m Algèbre linéaire générale
Vecteur • Scalaire • Combinaison linéaire • Espace vectoriel • Matrice
Famille de vecteurs	Famille génératrice • Famille libre (indépendance linéaire) • Base • Théorème de la base incomplète • Rang • Colinéarité
Sous-espace	Sous-espace vectoriel • Somme d'ensembles • Somme directe • Sous-espace supplémentaire • Dimension • Codimension • Droite • Plan • Hyperplan
Morphisme et notions relatives	Application linéaire • Noyau • Conoyau • Lemme des noyaux • Pseudo-inverse • Théorème de factorisation • Théorème du rang • Équation linéaire • Système d'équations linéaires • Élimination de Gauss-Jordan • Forme linéaire • Espace dual • Orthogonalité • Base duale • Endomorphisme linéaire • Valeur propre, vecteur propre et espace propre • Spectre • Projecteur • Symétrie • Matrice diagonalisable • Diagonalisation • Endomorphisme nilpotent
En dimension finie	Espace vectoriel de dimension finie • Trace • Déterminant • Polynôme caractéristique • Polynôme d'endomorphisme • Théorème de Cayley-Hamilton • Polynôme minimal d'un endomorphisme • Invariants de similitude • Réduction d'endomorphisme • Réduction de Jordan • Décomposition de Dunford • Décomposition de Frobenius
Enrichissements de structure	Norme • Produit scalaire • Forme quadratique • Espace vectoriel topologique • Orientation • Algèbre sur un corps • Algèbre de Lie • Complexe différentiel
Développements	Théorie des matrices • Représentation de groupe • Analyse fonctionnelle • Algèbre multilinéaire • Module sur un anneau