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Polynôme de Tchebychev - Définition

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- Introduction - Propriétés des polynômes de Tchebychev de 1re espèce - Quelques relations avec d'autres fonctions spéciales - Propriétés des polynômes de Tchebychev de 2e espèce - Bibliographie - Intérêt

Introduction

Les polynômes de Tchebychev sont nommés d'après le mathématicien Pafnouti Tchebychev. Ils forment deux familles de polynômes, indexés par leur degré.

Le polynôme de Tchebychev de première espèce Tn est défini par la propriété suivante : pour tout nombre réel x,

T_{n}(\cos(x))=\cos(nx)~.

Le polynôme de Tchebychev de seconde espèce Un est défini par :

U_{n}(\cos(x))=\frac{\sin((n+1) x)}{\sin x}~.

Chacune de ces deux suites forme une famille de polynômes orthogonaux par rapport à une certaine fonction poids, et vérifie la relation de récurrence suivante :

f_{n+2}(X)+f_{n}(X)=2X\ f_{n+1}(X)~.

Propriétés des polynômes de Tchebychev de 1re espèce

  • Pour tout entier n strictement positif,
T_n(X)=\frac{n}{2}\sum_{k=0}^{\left\lfloor \frac{n}2\right\rfloor}(-1)^k \frac{(n-k-1)!}{k!(n-2k)!}(2X)^{n-2k}~.
  • Les Tn sont orthogonaux pour le poids
\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}

sur l'intervalle ]−1,1[, et on sait calculer leur norme. Plus précisément,

\int_{-1}^1 T_n(x)T_m(x)\,\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}= \begin{cases} 0&\text{si}~n\ne m\\ \pi&\text{si}~n=m=0\\ \pi/2&\text{si}~n=m\ne 0~. \end{cases}
T_n(1)=1~.
  • Quels que soient les entiers naturels m et n,
T_n(T_m(X))=T_{mn}(X)~.
  • Pour tout entier n strictement positif, le coefficient dominant de Tn est 2n-1 et ses n racines sont
a_k^{(n)}=\cos\left(\frac{(2k-1)\pi}{2n}\right)\;,\quad k\in\{1,...,n\}~.
  • La parité dépend de n :
T_{n}(-X)=(-1)^nT_{n}(X)~.
  • Ils vérifient l'équation différentielle suivante :
(1-X^2)T_{n}''(X)-XT_n'(X)+n^2T_n(X)=0~.
  • Représentation intégrale :
T_n(x)=\frac{1}{4i\pi}\int_C\frac{1}{z^n}\frac{1-z^2}{z(1-2xz+z^2)}dz

avec C un contour dans plan complexe autour de zéro, dans le sens positif, les zéros de z − 2xz + z2 étant en dehors de C.

Les premiers polynômes de Tchebychev de première espèce sur le domaine −1¼ < x < 1¼, −1¼ < y < 1¼; la fonction constante T0, et T1, T2, T3, T4 et T5.

Les premiers polynômes de Tchebychev de première espèce sont :

T_0(x) = 1 \,
T_1(x) = x \,
T_2(x) = 2x^2 - 1 \,
T_3(x) = 4x^3 - 3x \,
T_4(x) = 8x^4 - 8x^2 + 1 \,
T_5(x) = 16x^5 - 20x^3 + 5x \,
T_6(x) = 32x^6 - 48x^4 + 18x^2 - 1 \,
T_7(x) = 64x^7 - 112x^5 + 56x^3 - 7x \,
T_8(x) = 128x^8 - 256x^6 + 160x^4 - 32x^2 + 1 \,
T_9(x) = 256x^9 - 576x^7 + 432x^5 - 120x^3 + 9x~.

Quelques relations avec d'autres fonctions spéciales

T_n(X)=U_n(X)-X U_{n-1}(X)\,.
T_n(X)=\frac{n}2C_{n}^{(0)}(X),
U_n(X)=C_{n}^{(1)}(X),

avec C_n^{(k)} un polynôme de Gegenbauer et

T_{n}(X)=F\left(-n,n;\frac{1}{2};\frac{1-X}{2}\right),
U_{n}(X)=(n+1)F\left(-n,n+2;\frac{3}{2};\frac{1-X}{2}\right),

avec F la fonction hypergéométrique.

Propriétés des polynômes de Tchebychev de 2e espèce

  • Pour tout entier n strictement positif,
U_n(X)=\sum_{k=0}^{\left\lfloor \frac{n}2\right \rfloor}(-1)^k \binom{n-k}{k}~(2X)^{n-2k}~.
  • Les Un sont orthogonaux pour le poids
\sqrt{1-x^2}

sur l'intervalle ]−1,1[. Plus précisément,

\int_{-1}^1 U_n(x)U_m(x)\sqrt{1-x^2}\,dx = \begin{cases} 0&\text{si}~n\ne m\\ \pi/2 &\text{si}~n=m~. \end{cases}
  • Pour tout entier naturel n,
U_{n}(1) = n+1~.
  • Pour tout entier n strictement positif, les n racines de Un sont
a_k^{(n)}=\cos\left(\frac{k\pi}{n+1}\right)\;,\quad k\in\{1,...,n\}~.
  • La parité dépend de n :
U_n(-X)=(-1)^nU_n(X)~.
  • Ils vérifient l'équation différentielle suivante :
(1-X^2)U_n''(X)-3XU_n'(X)+n(n+2)U_n(X)=0~.
  • Représentation intégrale :
U_n(x)=\frac1{2i\pi}\int_C\frac1{z^n}\frac1{z(1-2xz+z^2)}dz

avec C un contour dans plan complexe autour de zéro, dans le sens positif, les zéros de z − 2xz + z2 étant en dehors de C.

Les premiers polynômes de Tchebychev de seconde espèce sur le domaine −1¼ < x < 1¼, −1¼ < y < 1¼; la fonction constante U0, et U1, U2, U3, U4 et U5.

Les premiers polynômes de Tchebychev de seconde espèce sont :

U_0(x) = 1 \,
U_1(x) = 2x \,
U_2(x) = 4x^2 - 1 \,
U_3(x) = 8x^3 - 4x \,
U_4(x) = 16x^4 - 12x^2 + 1 \,
U_5(x) = 32x^5 - 32x^3 + 6x \,
U_6(x) = 64x^6 - 80x^4 + 24x^2 - 1 \,
U_7(x) = 128x^7 - 192x^5 + 80x^3 - 8x \,
U_8(x) = 256x^8 - 448 x^6 + 240 x^4 - 40 x^2 + 1 \,
U_9(x) = 512x^9 - 1024 x^7 + 672 x^5 - 160 x^3 + 10 x~.

Bibliographie

  • Polynômes de Tchebychev sur Math-Linux.
  • (en) Abramowitz and Stegun, Handbook of Mathematical Functions, chap. 22.

Intérêt

Tchebychev a découvert ceux-ci en travaillant sur le problème de convergence des interpolations de Lagrange. On peut démontrer que pour minimiser l'erreur engendrée par l'interpolation (cf phénomène de Runge), il faut choisir les racines des polynômes de Tchebychev comme points d'interpolation. Dans ce contexte, ces a_k^{(n)} données ci-dessus, éventuellement ajustés à un autre intervalle d'interpolation [a,b] considéré (par une transformation affine x\mapsto\tfrac{b-a}{2}x+\tfrac{b+a}{2} ), sont appelés les abscisses de Tchebychev.

Les polynômes de Tchebychev sont impliqués dans le calcul de filtres en électronique analogique, les filtres de Tchebychev.

Ils peuvent également servir à démontrer le théorème de Weierstrass (Toute fonction continue sur un intervalle est limite uniforme d'une suite de polynômes).

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