Polygone
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Typologie des polygones

Il existe de nombreuses manières de classer les polygones : en fonction de leur convexité, de leurs symétries, de leurs angles... Mais on les classe d'abord suivant leur nombre de côtés.

Classement suivant le nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) de côtés

Les polygones peuvent être classés entre eux suivant leur nombre de côtés, c'est-à-dire leur ordre.

Le polygone (En géométrie euclidienne, un polygone (du grec polus, nombreux, et gônia, angle) est une figure géométrique plane, formée d'une suite cyclique de segments consécutifs et délimitant...) le plus élémentaire est le triangle : un polygone possède au moins trois sommets et trois côtés.

Vient ensuite le quadrilatère (En géométrie plane, un quadrilatère est un polygone à 4 côtés.), à quatre côtés et quatre sommets.

À partir de l'ordre cinq, chaque nom de polygone est formé d'une racine grecque correspondant à l'ordre du polygone suivie du suffixe -gone.

Pour s'y retrouver dans la dénomination des polygones, il faut retenir que -kai- signifie « et » en grec, et que -conta- signifie « dizaine ». Par exemple, le mot triacontakaiheptagone signifie trois (tria-) dizaines (-conta-) et (-kai-) sept (-hepta-) unités, et correspond donc à un polygone de trente-sept côtés, "et" étant interprété ici comme "plus".

Au-delà de douze côtés, la coutume incite à parler de polygone à n côtésn est remplacé par le nombre souhaité, ceci afin de simplifier les choses.

Il existe cependant plusieurs dénominations anciennes pour des nombres « ronds » comme pour un polygone à vingt côtés (icosa-), à cent côtés (hecto-) et à dix mille côtés (myria-).

Dénominations des polygones
Nombre de côtés Nom
hénagone ou monogone polygone à 1 côté, objet (De manière générale, le mot objet (du latin objectum, 1361) désigne une entité définie dans un espace à trois dimensions, qui a une fonction précise, et qui peut...) impossible en géométrie euclidienne (La géométrie euclidienne commence avec les Éléments d'Euclide, qui est à la fois une somme des connaissances géométriques de l'époque et une tentative de formalisation mathématique de ces connaissances. Les notions...)
digone ou angle (En géométrie, la notion générale d'angle se décline en plusieurs concepts apparentés.) un polygone dégénéré à 2 côtés
3 côtés triangle (En géométrie euclidienne, un triangle est une figure plane, formée par trois points et par les trois segments qui les relient. La dénomination de « triangle » est...) ou trigone
4 côtés quadrilatère ou tétragone
5 côtés pentagone
6 côtés hexagone (Un hexagone (du grec hexi = six et gonia = angle) est un polygone à six sommets et six côtés. Les angles internes d'un hexagone régulier sont tous de...)
7 côtés heptagone
8 côtés octogone
9 côtés ennéagone ou nonagone
10 côtés décagone
11 côtés hendécagone
12 côtés dodécagone
13 côtés triskaidécagone ou tridécagone
14 côtés tétrakaidécagone ou tétradécagone, quadridécagone
15 côtés pentakaidécagone ou pentadécagone, quidécagone
16 côtés hexakaidécagone ou hexadécagone
17 côtés heptakaidécagone ou heptadécagone
18 côtés octakaidécagone ou octadécagone
19 côtés ennéakaidécagone ou ennéadécagone
20 côtés icosagone
21 côtés icosikaihenagone ou henicosagone
22 côtés icosikaidigone ou doicosagone
23 côtés icosikaitrigone ou triaicosagone
24 côtés icosikaitétragone ou tétraicosagone
25 côtés icosikaipentagone ou pentaicosagone
26 côtés icosikaihexagone ou hexaicosagone
27 côtés icosikaiheptagone ou heptaicosagone
28 côtés icosikaioctagone ou octaicosagone
29 côtés icosikaiennéagone ou ennéaicosagone
30 côtés triacontagone
31 côtés triacontakaihenagone ou hentriacontagone
32 côtés triacontakaidigone ou dotriacontagone
33 côtés triacontakaitrigone ou tritriacontagone
34 côtés triacontakaitétragone ou tétratriacontagone
35 côtés triacontakaipentagone ou pentatriacontagone
36 côtés triacontakaihexagone ou hexatriacontagone
37 côtés triacontakaiheptagone ou heptatriacontagone
38 côtés triacontakaioctogone ou octatriacontagone
39 côtés triacontakaiennégone ou ennéatriacontagone
40 côtés tétracontagone
50 côtés pentacontagone
60 côtés hexacontagone
70 côtés heptacontagone
80 côtés octacontagone
90 côtés ennéacontagone
100 côtés hectogone ou hécatontagone
200 côtés dihectogone
300 côtés trihectogone
400 côtés tétrahectogone
500 côtés pentahectogone
600 côtés hexahectogone
700 côtés heptahectogone
800 côtés octahectogone
900 côtés ennéahectogone
1 000 côtés chiliogone ou chiliagone ou chiligone
10 000 côtés myriagone ou myriogone

Les mêmes principes s'appliquent aux polyèdres, où il suffit de remplacer le suffixe -gone par le suffixe -èdre.

Classement par convexité

On rappelle qu'une diagonale d'un polygone est un segment qui joint deux sommets non consécutifs, c'est-à-dire un segment qui joint deux sommets et qui n'est pas un côté du polygone.

Pentagone croisé.

Exemple : les segments [AC], [AD], [BD], [BE], [CE] sont les 5 diagonales du pentagone ABCDE ci-contre.

Polygone croisé

Un polygone est dit croisé si au moins deux de ses côtés sont sécants, c'est-à-dire si au moins deux de ses côtés se coupent. C'est le cas du pentagone ABCDE ci-contre (à droite).

L' enveloppe d'un polygone est le polygone obtenu en suivant le contour extérieur de celui-ci. Par exemple, l'enveloppe du pentagone précédent est un décagone dont les sommets sont les cinq sommets du pentagone et les cinq intersections de ses côtés.

Polygone concave

Polygone concave.

Un polygone est dit concave s'il n'est pas croisé et si l'une de ses diagonales n'est pas entièrement à l'interieur de la surface (Une surface désigne généralement la couche superficielle d'un objet. Le terme a plusieurs acceptions, parfois objet géométrique, parfois frontière physique, et...) délimitée par le polygone.

Par exemple, le pentagone ACDBE ci-contre ( à droite ) est dit concave car les diagonales [BC] et [CE] sont à l'extérieur de la surface délimitée par le polygone.

Polygone convexe (En géométrie, un objet est convexe si pour toute paire de points { A , B } de cet objet, le segment [AB] qui les joint est entièrement contenu dans l'objet. Par...)

Polygone convexe.

Un polygone est dit convexe s'il n'est pas croisé et si toutes ses diagonales sont entièrement à l'intérieur de la surface délimitée par le polygone. Ainsi, l'hexagone MNOPQR ci-contre (à droite) est dit convexe.

Polygone étoilé

L' enveloppe convexe d'un polygone est le plus petit polygone convexe le contenant. Attention : l'enveloppe et l'enveloppe convexe d'un polygone ne se confondent que si celui-ci est convexe !

Un polygone est alors dit étoilé si (et seulement si) aucun de ses côtés n'appartient à son enveloppe convexe.

Par exemple, le pentagone croisé précédent et son enveloppe sont étoilés tous les deux.

Classement par symétrie

Notion d'élément de symétrie

Un polygone peut présenter des régularités (appelées symétries) qui le rendent globalement invariant par certaines transformations telles que des rotations ou des réflexions. L'élément de symétrie d'une transformation est l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme un tout », comme...) des points invariants par cette transformation :

  • pour une symétrie centrale, l'élément de symétrie est le centre de symétrie ;
  • pour une symétrie axiale, l'élément de symétrie est justement cet axe, dit axe-miroir car il coupe toute figure globalement invariante par cette transformation en deux parties images en miroir (Un miroir est un objet possédant une surface suffisamment polie pour qu'une image s'y forme par réflexion et conçu à cet effet. C'est souvent une couche métallique fine, qui, pour être protégée, est...) l'une de l'autre ;
  • pour une rotation, l'élément de symétrie est le centre de rotation. Pour définir précisément une rotation, il faut préciser, outre son centre de rotation, son angle. On peut aussi définir une rotation en donnant son centre et son ordre, qui indique combien de fois il faut appliquer la rotation pour revenir au point (Graphie) de départ. Il existe des rotations d'ordre infini (Le mot « infini » (-e, -s ; du latin finitus, « limité »), est un adjectif servant à qualifier quelque chose qui n'a pas de limite en...), mais lorsqu'il est fini, son produit avec l'angle de la rotation est toujours égal à un multiple de 2 π radians (ou 1 tour ou 360°...).

On peut remarquer que, dans le plan, la symétrie centrale se confond avec la rotation d'ordre deux.

On dit qu'un polygone (ou plus généralement toute figure de géométrie) présente un élément de symétrie quand il est globalement invariant par la transformation correspondante.

Dans le cas d'un polygone, tous les éléments de symétrie passent par un même point. Lorsqu'il est unique, ce point est appelé centre du polygone.

Lien avec la théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une idée ou une connaissance spéculative, souvent basée sur l’observation ou...) des groupes

L'ensemble des symétries d'un polygone (ou en fait de tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) autre objet géométrique) est un exemple typique de groupe. En effet, lorsqu'on compose deux symétries d'un polygone (c'est-à-dire qu'on effectue l'une puis l'autre) le résultat est encore une symétrie de ce polygone, la composition forme donc une loi de groupe sur l'ensemble des symétries d'un polygone. Ainsi la théorie des groupes permet-elle une étude simple et générale des symétries d'un polygone.

Notion de polygone régulier

Un polygone est dit régulier s'il est convexe et présente un axe de rotation d'ordre égal à son nombre de côtés.

Ennéagone régulier.

Cela signifie qu'il se superpose à lui-même quand on le tourne d'un angle de {2 \pi \over n} , où n est l'ordre du polygone.

Le polygone présente ainsi la même configuration en chacun de ses sommets qui sont donc disposés régulièrement sur un cercle (Un cercle est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale distance d'un point nommé centre. La valeur de cette distance est appelée rayon du cercle....) centré sur l'axe de rotation.

Un polygone régulier est donc un polygone convexe inscrit dans un cercle et dont tous les côtés ont la même longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus éloignées. Lorsque l’objet est filiforme ou en forme de lacet,...) (et les angles la même mesure).

Inversement, si un polygone convexe est inscriptible dans un cercle et si ses côtés sont égaux (ou ses angles égaux ), alors il est régulier.

L'ensemble des symétries d'un polygone régulier est appelé un groupe dihédral.

Quelques exemples et contre-exemples :

  • le triangle équilatéral est un polygone régulier ;
  • le carré (Un carré est un polygone régulier à quatre côtés. Cela signifie que ses quatre côtés ont la même longueur et ses quatre angles la même mesure. Un carré est...) est un polygone régulier ;
  • le losange (Dans un espace affine normé, un losange, anciennement appelé rhombe, est un parallélogramme ayant deux côtés consécutifs de même...) (non carré) n'est pas régulier (il n'est pas inscriptible dans un cercle).

Polygone isocèle

Polygone isocèle d'ordre impair (triangle isocèle).

Un polygone est dit isocèle quand il présente au moins un axe-miroir.

Les axes-miroirs passent nécessairement par des sommets ou des milieux des côtés du polygone.

Plus précisément :

  • si l'ordre du polygone est impair, tout axe-miroir passe par un sommet et le milieu du côté opposé ( En mathématique, l'opposé d’un nombre est le nombre tel que, lorsqu’il est à ajouté à n donne zéro. En botanique, les organes d'une plante sont dits opposés lorsqu'ils sont...) ( médiane (Le terme de médiane, du latin medius, qui est au milieu, possède plusieurs acceptations en mathématiques :), voir plus bas );
  • si l'ordre du polygone est pair, tout axe-miroir passe soit par deux sommets opposés ( diagonale principale (En algèbre linéaire, la diagonale principale d'une matrice est la diagonale qui descend du coin en haut à gauche jusqu'au coin en bas à droite. Par exemple, la matrice carré d'ordre 2,...), voir plus bas ), soit par les milieux de deux côtés opposés ( médiane, voir plus bas ).

Un polygone isocèle qui présente plusieurs axes-miroir a nécessairement un centre, le point d'intersection des axes-miroir.

Quelques exemples et contre-exemples :

  • le triangle isocèle, qui a deux côtés égaux, présente un axe-miroir passant par le sommet commun aux deux côtés égaux et le milieu du côté opposé ;
  • les quadrilatères isocèles convexes sont :
  • le trapèze isocèle ; il a deux côtés parallèles, et présente un axe-miroir passant par les milieux de ces deux côtés ;
  • le cerf-volant (Le cerf-volant est un engin volant plus lourd que l'air, c'est-à-dire un aérodyne, sans pilote ni passager, et manœuvré ou simplement rattaché au sol à l'aide d'un ou...) est aussi un polygone isocèle ; il présente un axe-miroir passant par deux sommets opposés, et ses diagonales sont perpendiculaires ;
  • le losange peut être vu comme un cas particulier de cerf-volant qui présente deux axes-miroirs passant par ses paires de sommets opposés, et confondus avec ses diagonales ;
  • tout polygone régulier est isocèle et présente autant d'axes-miroir que de côtés ;
  • le parallélogramme (Un parallélogramme, en géométrie, est un quadrilatère (convexe) dont les côtés sont parallèles deux à deux ; c'est un trapèze particulier.) n'est pas isocèle (sauf s'il s'agit d'un losange).

Polygone centrosymétrique

Un polygone est dit centrosymétrique quand il présente un centre de symétrie.

Tout polygone centrosymétrique a nécessairement un nombre pair de sommets, et inversement, seuls les polygones d'ordre pair peuvent être centrosymétriques.

Les côtés opposés d'un polygone centrosymétrique sont parallèles et de même longueur (ordre du polygone pair).

Polygone centrosymétrique (parallélogramme).

Quelques exemples et contre-exemples :

  • les triangles ne peuvent pas avoir de centre de symétrie ;
  • les quadrilatères centrosymétriques sont les parallélogrammes (côtés opposés parallèles et de même longueur) ;
  • les seuls quadrilatères présentant à la fois un centre de symétrie et un axe-miroir sont les rectangles et les losanges ;
  • tout polygone régulier d'ordre pair a un centre de symétrie.

Polygone rotosymétrique

Un polygone est dit rotosymétrique d'ordre n ou plus brièvement n-rotosymétrique quand il présente un axe de rotation d'ordre n.

Un polygone rotosymétrique d'ordre n a un nombre de côtés multiple de n. Inversement, un polygone ne peut présenter d'axe de rotation que si l'ordre de ce dernier divise son nombre de côtés.

Les polygones réguliers et centrosymétriques sont des cas particuliers de polygones rotosymétriques.

Quelques exemples et contre-exemples :

  • un triangle ne peut présenter d'axe de rotation que s'il est d'ordre 3 ; il est alors régulier, donc équilatéral ;
  • tout quadrilatère rotosymétrique est centrosymétrique ;
  • le cas le plus simple de polygone rotosymétrique sans être centrosymétrique ou régulier est celui de l'hexagone 3-rotosymétrique ;
  • tout polygone régulier présente par définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.) un axe de rotation du même ordre que le polygone ;
  • tout polygone convexe d'ordre premier présentant un axe de rotation est régulier.
Polygone scalène (triangle scalène).

Polygone scalène

Un polygone scalène est un polygone qui ne présente aucun élément de symétrie. Un polygone scalène n'a donc pas de centre de symétrie.

Classement par les angles

Un polygone convexe ne peut présenter plus de quatre angles droits.

Polygone rectangle (En géométrie, un rectangle est un quadrilatère dont les quatre angles sont des angles droits.)

Un polygone est dit rectangle quand il comporte au moins un angle droit.

Quelques exemples et contre-exemples :

  • un triangle rectangle comporte un angle droit et deux angles aigus ;
  • un quadrilatère rectangle comporte au moins un angle droit ; ce n'est cependant pas forcément un rectangle, qui en comporte quatre ;
  • dès qu'un trapèze comporte un angle droit, c'est un trapèze rectangle ; mais tout trapèze rectangle comporte forcément au moins deux angles droits adjacents ;
  • le seul polygone régulier rectangle est le carré. C'est d'ailleurs un cas particulier de rectangle, avec quatre angles droits.

Polygone birectangle

Un polygone est dit birectangle quand il comporte au moins deux angles droits, consécutifs ou non.

Quelques exemples et contre-exemples :

  • aucun triangle n'est birectangle, du moins en géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace de dimension 3 (géométrie euclidienne) et, depuis le XVIIIe siècle, les figures d'autres types d'espaces...) euclidienne (il existe des triangles birectangles, et même trirectangles, sur une sphère) ;
  • les quadrilatères convexes birectangles sont :
  • les trapèzes rectangles, qui présentent deux angles droits consécutifs ;
  • les semi-rectangles, qui présentent deux angles droits non consécutifs ; on peut les décrire comme deux triangles rectangles accolés par leur hypoténuse ;
  • le seul trapèze semi-rectangle est le rectangle ;
  • le seul polygone régulier birectangle est le carré.

Un polygone avec deux angles droits consécutifs présente deux côtés parallèles.

Polygone trirectangle

Un polygone est dit trirectangle quand il comporte au moins trois angles droits, consécutifs ou non.

Quelques exemples et contre-exemples :

  • aucun triangle n'est trirectangle ;
  • les seuls quadrilatères convexes trirectangles sont les rectangles, qui comptent d'ailleurs quatre angles droits ;
  • le seul polygone régulier trirectangle est le carré.

Un polygone convexe avec trois angles droits consécutifs présente deux fois deux côtés parallèles. Il ressemble en fait à un rectangle avec un coin découpé.

Polygone équiangle

Un polygone est dit équiangle quand tous ses angles sont égaux.

Quelques exemples et contre-exemples :

  • le seul triangle équiangle est le triangle équilatéral ;
  • les quadrilatères convexes équiangles sont les rectangles ;
  • tous les polygones réguliers sont équiangles.

Autres classements

Polygone équilatéral

Polygone équilatéral (heptagone régulier).

Un polygone est dit équilatéral quand tous ses côtés ont la même longueur.

Quelques exemples et contre-exemples :

  • les quadrilatères convexes équilatéraux sont les losanges ;
  • tous les polygones réguliers sont équilatéraux.

Polygone inscriptible (dans un cercle)

Un polygone est dit inscriptible quand tous ses sommets se trouvent sur un même cercle, dit circonscrit au polygone. Ses côtés sont alors des cordes de ce cercle, d'où le nom de polygone de cordes donné par les anglophones aux polygones inscriptibles.

Quelques exemples et contre-exemples :

  • tout triangle est inscriptible ;
  • un trapèze n'est inscriptible que s'il est isocèle ;
  • tout semi-rectangle est inscriptible ;
  • le seul parallélogramme inscriptible est le rectangle ;
  • tout polygone régulier est inscriptible.

Polygone circonscriptible (à un cercle)

Un polygone est dit circonscriptible quand tous ses côtés sont tangents à un même cercle, dit inscrit dans le polygone. Les anglophones ont baptisés polygone de tangentes ce type de polygone.

Quelques exemples et contre-exemples :

  • tout triangle est circonscriptible ;
  • les seuls parallélogrammes circonscriptibles sont les losanges ;
  • tout polygone régulier est circonscriptible ;
  • voir aussi : Théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique construit...) de Pitot
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