Polyèdre - Définition et Explications

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Introduction

Un polyèdre particulier en dimension 3 : le dodécaèdre

Un polyèdre est une forme géométrique à trois dimensions ayant des faces planes qui se rencontrent le long d'arêtes droites. Le mot polyèdre provient du grec classique πολυεδρον, à partir de poly-, racine de πολυς, "beaucoup" + -edron, forme de εδρον, "base", "siège" ou "face".

Historique

Les polyèdres ont été étudiés formellement par les anciens Grecs.

La définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.) ci-dessus peut sembler suffisamment claire pour la plupart d'entre nous, mais pas pour un mathématicien (Un mathématicien est au sens restreint un chercheur en mathématiques, par extension toute personne faisant des mathématiques la base de son activité principale. Ce terme recouvre une large palette...). Dans une remarque souvent citée mais rarement observée, Grünbaum (1994) nota que :

« Le Péché Originel dans la théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une idée ou une connaissance spéculative,...) des polyèdres remonte à Euclide (Euclide, en grec ancien Εὐκλείδης Eukleidês (né vers -325, mort vers -265 à Alexandrie) est un mathématicien de la Grèce antique ayant...), puis à travers Kepler, Poinsot, Cauchy et beaucoup d'autres... [en cela] qu'à chaque étape ... les auteurs ont échoué à définir ce que sont les 'polyèdres' ... »

Et depuis ce jour (Le jour ou la journée est l'intervalle qui sépare le lever du coucher du Soleil ; c'est la période entre deux nuits, pendant laquelle les rayons du Soleil éclairent le ciel. Son début (par rapport à minuit heure locale) et...), il n'existe pas de définition universellement agréée sur ce qui fait que quelque chose est un polyèdre. La définition de polyèdre ne fait pas référence à la dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son diamètre si c'est une pièce...) de l'espace dans lequel il se trouve.

On peut néanmoins donner une définition utilisant le simplexe. Un polyèdre P de dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son diamètre si c'est une pièce de...) p est la réunion (La Réunion est une île française du sud-ouest de l'océan Indien située dans l'archipel des Mascareignes à environ 700 kilomètres à l'est de Madagascar et à 170 kilomètres au...) d'un ensemble fini (En mathématiques, un ensemble E est dit fini si et seulement si E est vide ou s'il existe un entier n et une bijection de E dans l'ensemble des n premiers entiers naturels.) de simplexes Si de dimension  q_i \le p  tel que chacune des d-faces ( d \le q_i  ) d'un simplexe Si est un élément de P et tel que pour tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) couple de simplexe Si, Sj l'intersection  S_i \cap S_j  est soit vide (Le vide est ordinairement défini comme l'absence de matière dans une zone spatiale.) soit une (d-1)-face commune à Si et Sj.

Ainsi un simplexe représente un cas particulier de polyèdre. Il est la réunion de ses d-faces et l'intersection de deux d-faces quelconques d'un simplexe est soit vide soit une face de dimension d − 1. Ainsi un triangle (En géométrie euclidienne, un triangle est une figure plane, formée par trois points et par les trois segments qui les relient. La dénomination de...), qui est un 2-simplexe, est la réunion de segments et l'intersection de deux segments adjacents est un point (Graphie) qui est un sommet du triangle.

Nous pouvons au moins dire qu'un polyèdre est construit à partir de différentes sortes d'éléments ou d'entités, chacun associé avec un nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) différent de dimensions :

  • 3 dimensions : le corps est limité par les faces, et correspond habituellement au volume (Le volume, en sciences physiques ou mathématiques, est une grandeur qui mesure l'extension d'un objet ou d'une partie de l'espace.) compris à l'intérieur.
  • 2 dimensions : une face est limité par un circuit d'arête, et est habituellement une région plane (La plane est un outil pour le travail du bois. Elle est composée d'une lame semblable à celle d'un couteau, munie de deux poignées, à chaque extrémité de la lame. Elle permet le dégrossissage...) appelée un polygone (En géométrie euclidienne, un polygone (du grec polus, nombreux, et gônia, angle) est une figure géométrique plane, formée d'une suite cyclique de segments consécutifs et...). Les faces mises ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une...) forment la surface polyédrique.
  • 1 dimension : une arête joint un sommet à un autre et une face à une autre, et est habituellement une droite d'une certaine sorte. Les arêtes mises ensemble forment le squelette polyédrique.
  • 0 dimension : un sommet est un point de coin.
  • -1 dimension : la nullité est une sorte de non-entité requise par les théories abstraites.

Plus généralement en mathématiques (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les...) et dans d'autres disciplines, le terme 'polyèdre' est utilisé pour faire référence à une variété de constructions reliées, certaines géométriques et d'autres purement algébriques ou abstraites.

En particulier, un polytope (En géométrie, un polytope est la généralisation à toutes dimensions de la notion de polygone pour deux dimensions et de polyèdre pour trois dimensions. Ce...) est un polyèdre convexe (En géométrie, un objet est convexe si pour toute paire de points { A , B } de cet objet, le segment [AB] qui les joint est entièrement contenu dans l'objet. Par exemple, un...) et borné.

Polyèdres traditionnels

Un petit rhombicosidodécaèdre

Un polyèdre est traditionnellement une forme tridimensionnelle qui se compose d'un nombre fini de faces polygonales qui sont des parties de plans; les faces se rencontrent par paires le long des arêtes qui sont des segments de droite, et les arêtes se rencontrent aux points nommés sommets. Les cubes, les prismes et les pyramides sont des exemples de polyèdres. Le polyèdre entoure un volume limité dans l'espace à trois dimensions; quelquefois ce volume intérieur est considéré être une partie du polyèdre, quelquefois, seule la surface est considérée.

Les polyèdres traditionnels incluent les cinq polyèdres convexes réguliers que l'on nomme les solides de Platon : le tétraèdre (Le tétraèdre (du grec tétra : quatre), est un solide composé de quatre triangles, de la famille des pyramides, donc des cônes.) (4 faces), le cube (En géométrie euclidienne, un cube est un prisme dont toutes les faces sont carrées. Les cubes figurent parmi les solides les plus remarquables de l'espace....) (ou hexaèdre) (6 faces), l'octaèdre (Un octaèdre (du grec oktô, huit et hedra, face) est un polyèdre à huit faces. Si ses faces sont triangulaires, il possède alors douze arêtes et six sommets.) (8 faces), le dodécaèdre (Un dodécaèdre est un solide composé de 12 faces. Le préfixe dodéca-, d'origine grecque, fait référence au nombre de faces.) (12 faces) et l'icosaèdre (En mathématiques, et plus précisément en géométrie, un icosaèdre est un solide de dimension trois, de la famille des polyèdres, c'est-à-dire que sa...) (20 faces). Les autres polyèdres traditionnels sont les quatre polyèdres non-convexes réguliers (les solides de Kepler-Poinsot), les treize solides d'Archimède convexes et les 53 polyèdres uniformes restants.

Plus petit polyèdre

Un polyèdre possède au moins 4 faces, 4 sommets et 6 arêtes. Le plus petit polyèdre est le tétraèdre.

Convexité, concavité

Un polyèdre est dit être convexe si sa frontière (Une frontière est une ligne imaginaire séparant deux territoires, en particulier deux États souverains. Le rôle que joue une frontière peut fortement varier suivant les régions et les époques. Entre les pays de...) (incluant ses faces et ses arêtes) ne se coupe pas elle-même et si le segment joignant deux points quelconques du polyèdre fait partie de celui-ci ou de son intérieur. Autrement dit, un polyèdre est convexe si toutes ses diagonales sont entièrement contenues dans son intérieur. Il est possible de donner une définition barycentrique d'un tel polyèdre : Soit A1, A2, \cdots, An, n points non coplanaires ; le polyèdre convexe A_1A_2{\cdots}A_n est l'ensemble des points M barycentres de : A1, A2, \cdots, An affectés de coefficients α1, α2, \cdots, αn où chaque αi est positif.

Les polyèdres symétriques

La plupart des polyèdres étudiés sont fortement symétriques. Il existe diverses classes de ces polyèdres :

  • Sommet uniforme : si tous les sommets sont les mêmes, au sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine. Par une évolution...) où pour deux sommets quelconques, il existe une symétrie du polyèdre appliquant le premier isométriquement sur le deuxième.
  • Arête uniforme : si toutes les arêtes sont les mêmes, au sens où pour deux arêtes quelconques, il existe une symétrie du polyèdre appliquant le premier isométriquement sur le deuxième.
  • Face uniforme : si toutes les faces sont les mêmes, au sens où pour deux faces quelconques, il existe une symétrie du polyèdre appliquant le premier isométriquement sur le deuxième.
  • Quasi-régulier : si le polyèdre est d'arête uniforme mais pas soit de face uniforme ou de sommet uniforme.
  • Semi-régulier : si le polyèdre est de sommet uniforme mais pas de face uniforme et chaque face est un polygone régulier. (c'est une des nombreuses définitions du terme, dépendant de l'auteur, qui chevauchent la catégorie quasi-régulière).

Un polyèdre est semi-régulier si ses faces sont constituées de plusieurs sortes de polygones réguliers, et que tous ses sommets sont identiques. Ainsi sont par exemple les solides d'Archimède, les prismes et les antiprismes réguliers. La terminologie ne paraît pas tout à fait arrêtée. On parle parfois de solides semi-réguliers de la première espèce pour désigner ceux de ces solides qui sont convexes, et de solides uniformes pour le cas général. Les polyèdres de Catalan ne sont pas semi-réguliers, mais ont des faces identiques et des sommets réguliers. On dit parfois de tels polyèdres qu'ils sont semi-réguliers de la seconde espèce.

  • Régulier : si le polyèdre est de sommet uniforme, d'arête uniforme et de face uniforme. (l'uniformité des sommets et l'uniformité des arêtes combinées implique que les faces sont régulières).

Partons d'un sommet et prenons les points situés à une distance donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction, d'un...) sur chacune des arêtes. Relions ces points, nous obtenons le polygone du sommet. Si celui-ci est régulier on dit que le sommet est régulier. Un polyèdre est régulier s'il est constitué de faces toutes identiques et régulières, et que tous ses sommets sont identiques. Ils sont au nombre de neuf, classiquement répartis en deux familles :

  • les cinq solides de Platon : tétraèdre, cube, octaèdre, dodécaèdre et icosaèdre réguliers. Platon considérait ces solides comme l'image de la perfection. Les mathématiques modernes rattachent ces exemples à la notion de groupe.
  • les quatre polyèdres de Kepler-Poinsot, qui ne sont pas convexes.
  • Uniforme : si le polyèdre est de sommet uniforme et chaque face est un polygone régulier, i.e. il est régulier ou semi-régulier.

On appelle solide uniforme un solide dont toutes les faces sont régulières et tous les sommets identiques. Ainsi sont donc tous les solides réguliers et semi-réguliers précédents. Ils sont en tout 75, auxquels il faut ajouter les deux familles infinies des prismes et des antiprismes.

Bien sûr, il est facile de tordre de tels polyèdres, de telle façon qu'ils ne sont plus symétriques. Mais, lorsqu'un nom de polyèdre est donné, tel que l'icosidodécaèdre, la géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace de dimension 3 (géométrie euclidienne) et, depuis le XVIIIe siècle, les figures d'autres types d'espaces (géométrie...) la plus symétrique est toujours impliquée, sauf indication (Une indication (du latin indicare : indiquer) est un conseil ou une recommandation, écrit ou oral.) contraire.

Les groupes de symétrie polyédriques sont tous groupes de points et incluent :

  • T - symétrie tétraédrique chirale ; le groupe de rotation pour un tétraèdre régulier; ordre 12.
  • Td - symétrie tétraédrique complète; le groupe de symétrie pour un tétraèdre régulier; ordre 24.
  • Th - symétrie pyritoédrique ; ordre 24. La symétrie d'un pyritoèdre [1].
  • O - symétrie octaédrique chirale ; le groupe de rotation du cube et de l'octaèdre; ordre 24.
  • Oh - symétrie octaédrique complète ; le groupe de symétrie du cube et de l'octaèdre; ordre 48.
  • I - symétrie icosaédrique chirale ; le groupe de rotation de l'icosaèdre et du dodécaèdre; ordre 60.
  • Ih - symétrie icosaédrique complète ; le groupe de symétrie de l'icosaèdre et du dodécaèdre; ordre 120.
  • Cnv - symétrie pyramidale à n plis
  • Dnh - symétrie prismatique à n plis
  • Dnv - symétrie antiprismatique à n plis

Les polyèdres à symétrie chirale n'ont pas de symétrie axiale et par conséquent ont deux formes énantiomorphes qui sont les réflexions l'un de l'autre. Les polyèdres adoucis ont cette propriété.

Polyèdres réguliers

Un polyèdre régulier (Un polyèdre est dit régulier s'il est constitué de faces toutes identiques et régulières, et que tous ses sommets sont identiques. Ils sont au nombre...) possède des faces régulières et des sommets réguliers. Le dual d'un polyèdre régulier est aussi régulier.

  • Les polyèdres réguliers convexes sont aussi appelés les solides de Platon.
Tetrahedron.svg Hexahedron.svg Octahedron.svg POV-Ray-Dodecahedron.svg Icosahedron.svg
  • Les polyèdres réguliers étoilés sont aussi appelés les polyèdres de Kepler-Poinsot.
Kepler-Poinsot solids.svg

Polyèdres quasi-réguliers et duaux

Les polyèdres quasi-réguliers sont à faces régulières, de sommet uniforme et d'arête uniforme. Il en existe deux convexes :

Cuboctahedron.jpg Icosidodecahedron.jpg

Les polyèdres duaux quasi-réguliers sont d'arête uniforme et de face uniforme. Il en existe deux convexes, en correspondance (La correspondance est un échange de courrier généralement prolongé sur une longue période. Le terme désigne des échanges de courrier personnels...) avec les deux précédents :

Rhombicdodecahedron.jpg Rhombictriacontahedron.jpg

Les polyèdres semi-réguliers et leurs duaux

Le terme semi-régulier est diversement défini. Une définition consiste en "des polyèdres de sommet uniforme avec deux sortes ou plus de faces polygonales". Ils sont effectivement les polyèdres uniformes qui ne sont ni réguliers, ni quasi-réguliers.

Les polyèdres convexes et leurs duaux incluent les ensembles des :

Uniforme convexe Dual convexe Uniforme étoilé Dual étoilé
Régulier Solides de Platon Solides de Kepler-Poinsot
Quasi-régulier Solides d'Archimède Solides de Catalan (pas de nom spécial) (pas de nom spécial)
Semi-régulier (pas de nom spécial) (pas de nom spécial)
Prismes Diamants Prismes étoilés Diamants étoilés
Antiprismes Trapèzoèdres Antiprismes étoilés Trapèzoèdres étoilés

Il existe aussi beaucoup de polyèdres uniformes non-convexes, incluant des exemples de divers sortes de prismes.

Polyèdres nobles

Un polyèdre noble est à la fois isoèdrique (faces égales) et isogonal (de coins égaux). En plus des polyèdres réguliers, il existe beaucoup d'autres exemples.

Le dual d'un polyèdre noble est aussi un polyèdre noble.

Autres polyèdres à faces régulières

Faces égales régulières

Quelques familles de polyèdres, où chaque face est un polygone de même sorte :

  • Les ont des triangles équilatéraux pour faces.
  • En ce qui concerne les polyèdres dont les faces sont toutes des carrés : il n'existe que le cube, si les faces coplanaires ne sont pas permises, même si elles sont déconnectées. Autrement, il existe aussi le résultat du collage de six cubes sur les faces d'un seul, tous les sept de la même taille; il possède 30 faces carrées (comptant pour des faces déconnectées dans le même plan comme séparé). Ceci peut être étendu à une, deux ou trois directions : nous pouvons considérer l'union d'un grand nombre arbitraire de copies de ces structures, obtenues par translations de (exprimé en tailles de cubes) (2,0,0), (0,2,0), et/ou (0,0,2), par conséquent avec chaque paire (On dit qu'un ensemble E est une paire lorsqu'il est formé de deux éléments distincts a et b, et il s'écrit alors :) adjacente ayant un cube en commun. Le résultat peut être un ensemble quelconque de cubes connectés avec les positions (a,b,c), avec les entiers a,b,c ou un au plus est pair.
  • Il n'existe pas de nom particulier pour les polyèdres qui ont toutes les faces en forme de pentagones équilatéraux ou en pentagrammes. Il existe une infinité d'entre-eux, mais seulement un est convexe : le dodécaèdre. Le reste est assemblé par (collage) combinaisons de polyèdres réguliers décrit précédemment : le dodécaèdre, le petit dodécaèdre étoilé, le grand dodécaèdre étoilé et le grand icosaèdre.

Il n'existe pas de polyèdre dont les faces sont toutes identiques et qui sont des polygones réguliers avec six côtés ou plus car le point de rencontre de trois hexagones réguliers définit un plan. (voir polyèdre oblique infini (Le mot « infini » (-e, -s ; du latin finitus, « limité »), est un adjectif servant à qualifier quelque chose qui n'a pas de limite en nombre ou en taille.) pour les exceptions).

Deltaèdres

Un deltaèdre est un polyèdre dont les faces sont toutes des triangles équilatéraux. Il en existe une infinité, mais seuls huit sont convexes :

  • 3 polyèdres réguliers convexes (3 des solides de Platon)
    • Tétraèdre
    • Octaèdre
    • Icosaèdre
  • 5 polyèdre non-uniformes convexes (5 des solides de Johnson)
    • Diamant (Le diamant est un minéral composé de carbone (tout comme le graphite et la lonsdaléite), dont il représente l'allotrope de haute pression, qui cristallise dans le système cristallin cubique. C'est le plus dur...) triangulaire
    • Diamant pentagonal
    • Disphénoïde adouci
    • Prisme triangulaire triaugmenté
    • Diamant carré (Un carré est un polygone régulier à quatre côtés. Cela signifie que ses quatre côtés ont la même longueur et ses...) gyroallongé

Les solides de Johnson

Norman Johnson a cherché les polyèdres non-uniformes ayant des faces régulières. En 1966, il publia une liste de 92 solides convexes, maintenant connue comme les solides de Johnson, et leur donna leurs noms et leurs nombres. Il ne prouva pas qu'ils n'étaient que 92, mais il conjectura qu'ils n'y en avait pas d'autres. Victor Zalgaller en 1969 démontra que la liste de Johnson était complète.

Les autres familles de polyèdres

Les pyramides

  • Les pyramides sont auto-duales.

Les stellations et les facettages

First stellation of octahedron.png First stellation of dodecahedron.png Second stellation of dodecahedron.png Third stellation of dodecahedron.png Sixteenth stellation of icosahedron.png First stellation of icosahedron.png Seventeenth stellation of icosahedron.png

La stellation d'un polyèdre est le processus d'expansion des faces (dans leurs plans), c’est-à-dire qu'elles se rencontrent pour former un nouveau polyèdre.

C'est la réciproque (La réciproque est une relation d'implication.) exacte du facettage qui est le processus d'enlèvement de parties d'un polyèdre sans créer de nouveau sommets quelconques. Le facettage permet d'obtenir, entre autres, de nombreux nouveaux solides semi-réguliers concaves. On construit de nouvelles faces régulières en regroupant les arêtes d'un polyèdre semi-régulier. Le plus simple est un héptaèdre construit à partir de l'octaèdre, constitué de trois faces carrées et de quatre faces triangulaires.

Troncatures

C'est l'opération qui consiste à raboter un sommet ou une arête. Elle conserve les symétries du solide.

Troncature des sommets

Cette opération permet d'obtenir sept des solides d'Archimède à partir des solides de Platon. On remarque en effet qu'en rabotant de plus en plus les arêtes d'un cube on obtient successivement le cube tronqué, le cuboctaèdre, l'octaèdre tronqué et enfin l'octaèdre. On peut aussi suivre cette série dans l'autre sens.

En partant du dodécaèdre on obtient le dodécaèdre tronqué, l'icosidodécaèdre, l'icosaèdre tronqué (qui donne sa forme au ballon de football), puis l'octaèdre.

Le tétraèdre donne le tétraèdre tronqué.

On peut appliquer cette opération au grand dodécaèdre ou au grand icosaèdre et obtenir des solides uniformes concaves.

Troncature des arêtes

À partir d'un cube, cette opération donne successivement un cuboctaèdre, puis un dodécaèdre rhombique.

À partir d'un dodécaèdre, on obtient l'icosidodécaèdre puis le triacontaèdre rhombique.

Les composés

Les composés polyèdriques sont formés comme des composés de deux polyèdres et plus.

Ces composés partagent souvent les mêmes sommets que les autres polyèdres et sont souvent formés par stellation. Certains sont listés dans la liste des modèles de polyèdre de Wenninger.

Les zonoèdres

Un zonoèdre est un polyèdre convexe où chaque face est un polygone avec une symétrie inverse (En mathématiques, l'inverse d'un élément x d'un ensemble muni d'une loi de composition interne · notée multiplicativement, est un élément y tel que x·y = y·x = 1, si 1...) ou, de manière équivalente, des rotations à 180°.

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