Polyèdre - Définition

Caractéristiques

Nomenclature

Les polyèdres sont souvent nommés selon le nombre de faces. La nomenclature est basée de nouveau sur le grec classique, par exemple le tétraèdre (4), pentaèdre (5), hexaèdre (6), heptaèdre (7), triacontaèdre (30) et ainsi de suite.

La page polygone contient une liste des préfixes grecs utilisés pour nommer les polygones, les polyèdres et les polytopes. Il suffit évidemment de remplacer -gone par -èdre.

Arêtes

Les arêtes ont deux caractéristiques importantes (à moins que le polyèdre soit ) :

• Une arête joint simplement deux sommets.
• Une arête joint simplement deux faces.

Ces deux caractéristiques sont .

Caractéristique d'Euler

Soit un polyèdre convexe, on note :

• f   le nombre de faces de celui-ci,
• a   le nombre d'arêtes de celui-ci,
• s   le nombre de sommets de celui-ci,

On peut démontrer qu'on a toujours la relation d'Euler :   pour un polyèdre convexe. Ce nombre est noté

Dualité

Pour chaque polyèdre, il existe un polyèdre dual ayant des faces à la place des sommets originaux et vice versa. Dans la plupart des cas, le dual peut être obtenu par le processus de réciprocité sphérique. Le dual d'un polyèdre, s'obtient en reliant les centres des faces adjacentes.

Généralisations de polyèdres

Le mot « polyèdre » a été employé pour une variété d'objets ayant des propriétés structurelles similaires aux polyèdres traditionnels.

Les polyèdres complexes

Un polyèdre complexe est un polyèdre qui est construit dans un espace à trois dimensions complexe. Cet espace possède six dimensions : trois dimensions réelles correspondant à l'espace ordinaire, avec une dimension imaginaire accompagnant chacune. Voir par exemple Coxeter (1974).

Les polyèdres courbés

Certains champs d'étude permettent aux polyèdres d'avoir des faces et des arêtes courbées.

Les polyèdres sphériques

La surface d'une sphère peut être divisée par des segments en des régions limitées, pour former des polyèdres sphériques. Une grande partie de la théorie des polyèdres symétriques est dérivée de manière plus pratique de cette manière.

Les polyèdres courbés remplissant l'espace

Les deux types importants sont :

• Les bulles dans les mousses et l'écume.
• Les formes remplissant l'espace utilisées dans l'architecture. Voir par exemple Pearce (1978).

Les polyèdres généraux

Plus récemment, les mathématiques ont défini un polyèdre comme un ensemble dans un espace affine réel (ou euclidien) de dimensions quelconques n qui possède des côtés plats. Il peut être défini commen l'union d'un nombre fini de polyèdres convexes, où un polyèdre convexe est un ensemble quelconque qui est l'intersection d'un nombre fini de demi-espaces. Il peut être borné ou non-borné. Dans ce sens, un polytope est un polyèdre borné.

Tous les polyèdres traditionnels sont des polyèdres généraux, et en plus, il existe des exemples tels que :

• Un quadrant dans le plan. Par exemple, la région du plan cartésien constitué de tous les points au-dessus de l'axe des abscisses et à droite de l'axe des ordonnées : { ( x, y ) : x ≥ 0, y ≥ 0 }. Ses côtés sont les deux axes positifs.
• Un octant dans l'espace à trois dimensions euclidien, { ( x, y, z ) : x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0 }.
• Un prisme d'extension infinie. Par exemple, un prisme carré doublement infini dans l'espace tridimensionnel, constitué d'un carré dans le plan xy balayé le long de l'axe z : { ( x, y, z ) : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 }.
• Chaque cellule dans un pavage de Voronoï est un polyèdre convexe. Dans le pavage de Voronoï d'un ensemble S, la cellule A correspondante à un point c∈S est borné (par conséquent un polyèdre traditionnel) lorsque c est placé dans l'intérieur de l'enveloppe convexe de S, et autrement (lorsque c est placé sur la frontière de l'enveloppe convexe de S) A est non-borné.