Polariton - Définition

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- Introduction - Analogie avec un système de pendules couplés - Polaritons phononiques

Polaritons phononiques

Modélisation du couplage entre le champ électromagnétique et les phonons

Pour pousser plus loin l'analogie ci-dessus, on modélise le couplage entre la lumière et les phonons optiques de manière simplifiée, tout en restant dans le cadre de la physique classique. On suppose un cristal infini dont la maille primitive contient deux ions, chargés +/– et bougeant en sens opposé, leur déplacement par rapport à l'équilibre étant représenté par le vecteur $\pm \mathbf w(\mathbf r, t)$ . Puisque les ions se déplacent en opposition de phase, une onde de déformation $\mathbf w(\mathbf r, t)=\mathbf w_0 \exp[i(\mathbf{k.r}-\omega t)]$ correspond au passage d'un phonon optique dans le cristal. La résonance entre l'onde lumineuse et ce phonon optique a lieu pour des longueurs d'onde très grandes devant le pas du réseau – dans le cas des phonons optiques λ~100µm contre a~0.5nm. À cette échelle, il est tout à fait justifié de considérer que $\mathbf w$ varie continument, ce que l'on a fait implicitement en écrivant $\mathbf w = \mathbf w(\mathbf r,t)$ , ainsi que de négliger la dispersion des phonons optiques. En l'absence de force extérieure, on suppose donc que le mouvement des ions répond à l'équation suivante :

où $ω 0$ est la fréquence des phonons optiques – dans cette équation, le champ $w$ peut être longitudinal ou transverse. Cette équation n'est valable que si l'on néglige le couplage entre les phonons et le champ électromagnétique. Ce dernier agit sur les atomes par une force de Lorentz :

En retour, les ions constituent un dipôle susceptible de rayonner. La polarisation est donnée par

où $\chi_\infty$ représente la susceptibilité électrique due à tous les autres dipôles créés par le champ $E$ , comme par exemple la polarisabilité du nuage électronique entourant chaque ion. La dynamique de $E$ est donnée par les équations de Maxwell :

\begin{align} \operatorname{div}\mathbf{E}&=\frac{\rho_\text{liee}}{\epsilon_0}=-\frac{\operatorname{div}\mathbf{P}}{\epsilon_0} \\ \operatorname{div}\mathbf{B}&=0 \\ \operatorname{rot}\mathbf{E}&=-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \\ \operatorname{rot}\mathbf{B}&=\frac{1}{c^2}\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} + \mu_0 \frac{\partial \mathbf{P}}{\partial t} \end{align}

Recherche de modes propres

On obtient donc un système d'équations où la dynamique du champ électromagnétique est couplée à la dynamique du champ de déformation, via les constantes $a$ et $a'$ . On peut donc appliquer la procédure de seconde quantification utilisée en optique quantique pour trouver les photons à partir des champs $E$ et $B$ dans le vide. Cette procédure commence par rechercher les modes propres du système d'équations. On recherche donc des solutions où tous les champs varient comme $exp[i (k.r - ωt)]$ . Les équations deviennent alors

Relation de dispersion des polaritons phononiques dans le GaP. Les courbes rouges sont les relations de dispersion des phonons et des photons en l'absence de couplage (Ω = 0), et les courbes noires sont calculées selon le modèle présenté dans le texte.

\begin{align} &(1) &-\omega^2 \mathbf{w} &= -\omega_0^2 \mathbf{w} + a \mathbf{E},\\ &(2) &\tfrac{\mathbf{P}}{\epsilon_0} &= a'\mathbf{w} + \chi_\infty \mathbf{E},\\ &(3) &\mathbf{k}.(\mathbf{E}+\tfrac{\mathbf{P}}{\epsilon_0}) &= 0, \\ &(4) &\mathbf{k.B}&=0, \\ &(5) &\mathbf{k\times E}&=\omega\mathbf{B}, \\ &(6) &\mathbf{k\times B}&=-\frac{\omega}{c^2}(\mathbf{E} + \tfrac{\mathbf{P}}{\epsilon_0}). \end{align}

Il n'existe pas de mode propre purement mécanique, car si $\mathbf{E}=0$ , on a $\mathbf{B}=0$ (5), puis $\mathbf{P}=0$ (6), puis $\mathbf{w}=0$ (2) si $a' \neq 0$ .