Pierre de Fermat - Définition

Fermat dans la culture populaire

La fête à Fermat

Tous les ans, depuis 2003, la ville de Beaumont de Lomagne (82) organise sous le patronage d'Ahmed Djebbar, une fête populaire en l'honneur du mathématicien. Des conférences mathématiques, des ateliers, des expositions, des animations et des spectacles. La ville consacre par ailleurs une partie de son site à son homme de génie

Le lycée Pierre-de-Fermat

Situé Parvis des Jacobins à Toulouse, Fermat fut fondé en 1806. Il a pris le nom du mathématicien en 1957, sur proposition du maire de Toulouse Raymond Badiou. Il y compta un temps pour professeurs Georges Canguilhem et Jean-Pierre Vernant.

Cinéma

• Dans le film espagnol de Luis Piedrahita et Rodrigo Sopeña La habitación de Fermat (La chambre ou La cellule de Fermat, cinq mathématiciens se retrouvent sur l'invitation anonyme d'un certain "Fermat" (Federico Luppi). Affublés de noms de mathématiciens célèbres, leurs pseudonymes pour la soirée, l'hôte leur soumet une des dernières énigmes scientifiques de notre temps. Hilbert est un vieux chercheur, Pascal un ingénieur obnubilé par les applications commerciales ; Galois et Oliva sont deux jeunes génies... Arrivés dans leurs chambres, les mathématiciens comprennent qu'ils sont piégés. Ce thriller mathématique aux effets garantis n'entretient cependant qu'un lointain rapport avec le mathématicien de Beaumont et la Conjecture de Goldbach.

D'autres occurrences

Le contre exemple des Simpsons 

Un "contre exemple" au grand théorème de Fermat, se trouve illustré par un montage mettant en scène Homer Simpson où apparaît l'égalité : 1782¹² + 1841¹² = 1922¹². En réalité, l'égalité n'est pas vérifiée (la somme d'un nombre pair et d'un nombre impair n'est évidemment pas un nombre pair), mais la différence dépasse les capacités de calcul des calculatrices standard.

Millenium

Dans le deuxième tome de Millenium La fille qui rêvait d'un bidon d'essence et d'une allumette, de Stieg Larsson (1954-2004), Lisbeth dénoue le théorème de Fermat en trois semaines.

Le Théorème du Perroquet 

Ce livre de Denis Guedj publié en 1988, traite par la fiction, du dernier théorème de Fermat et de l'histoire des mathématiques. On y lit un hommage a la méthode des minima, si injustement décriée par Descartes :

« Avec soixante ans de retard, M. Ruche comprit ce que plus de trois siècles plus tôt Fermat avait compris : un arc infiniment petit d’une courbe peut être assimilé au segment correspondant de la touchante. »

La conjecture de Fermat

Dans le roman historique "La conjecture de Fermat" de Jean d'Aillon, Louis Fronsac doit apporter à Blaise Pascal un imaginaire unique exemplaire de la démonstration du Grand Théorème rédigée par Fermat. Les péripéties de sa mission amènent évidemment à la destruction du manuscrit.

Contributions

Il partage avec Viète, dont il utilise les notations, et Descartes, avec qui il fut en conflit, la gloire d'avoir appliqué l'algèbre à la géométrie.

D'Alembert voyait dans ses travaux la première application du calcul infinitésimal, jugement que partagèrent Arbogast, Lagrange et Laplace. Il imagina, en effet, pour déterminer les tangentes, une méthode, dite de maximis et minimis, qui le fait regarder comme le premier inventeur du calcul différentiel et le premier à utiliser des formules de dérivation (le concept de nombre dérivé remonterait au premier des grands mathématiciens indiens, l'astronome Aryabhata).

Fermat contribue dans son échange épistolaire avec Blaise Pascal à élaborer les bases du calcul des probabilités, une mathématique du hasard que provoque l'étude du problème des partis du chevalier de Méré. Mais sa contribution majeure concerne la théorie des nombres et les équations diophantiennes. Auteur de plusieurs théorèmes ou conjectures dans ce domaine, il est au cœur de la « théorie moderne des nombres ».

Il est très connu pour deux « théorèmes » :

• le « petit théorème de Fermat » ;
• le « dernier théorème de Fermat » ; ce dernier n'était qu'une conjecture et l'est resté durant plus de trois siècles de recherches fiévreuses.

Les querelles avec Descartes

La dioptrique

Descartes publie en 1637 son traité de la méthode et une dioptrique, dans laquelle il expose les Lois de Snell-Descartes. Celles-ci décrivent le comportement de la lumière à l'interface de deux milieux. L'énoncé de la loi des sinus est attribuée à Snell dans le monde entier (sauf en France) ; et il est possible que Descartes ait eu connaissance de celle établie auparavant par Snell, le professeur Rivet, professeur de théologie en relation avec le Père Mersenne pourrait fort bien l'avoir communiquée à Descartes tout comme son ami Isaac Beeckman, ancien élève de Snell.

Lorsqu'il tente de justifier cette loi, Descartes commet cependant quelques bévues. Considérant le trajet de la lumière comme celui d'une balle, il explique la déviation subit par le trajet à ce que dans un milieu plus dense, la vitesse en est accélérée. Cette explication (infirmée par Léon Foucault), sera fort justement critiquée par Fermat :

« Jean de Beaugrand ayant parcouru le manuscrit de la "dioptrique" se hâta de l'envoyer à Toulouse par la voye de Bordeaux, pour le faire lire à Monsieur De Fermat, conseiller au parlement de Languedoc, qui avoit témoigné une passion plus qu'ordinaire pour voir ce qui viendrait de la plume de M Descartes »

affirme Adrien Baillet. La réalité semble moins romanesque : consulté par Mersenne, Fermat décèle dans cette dioptrique deux erreurs importantes ; il ne trouve pas convaincante « l'inclination au mouvement » par laquelle Descartes croit pouvoir expliquer les angles d'incidence des phénomènes de réfraction. Dans les raisons qu'il donne à ce que les milieux traversés ne s'opposent pas de la même façon au mouvement d'une balle et à celui de la lumière, Descartes prétend à la fois que le mouvement de la lumière est instantané et qu'elle va moins vite dans l'air que dans l'eau. En septembre 1637, Fermat rédige ses impressions à Mersenne. Il y relève la contradiction. Descartes, alerté, répond aussitôt à Mersenne :

« le défaut qu'il trouve en ma démonstration n'est qu'imaginaire et montre assez qu'il n'a regardé mon traité que de travers. [...] et si vous aviez envie par charité de le délivrer de la peine qu'il prend de rêver encore sur cette matière... »

La querelle qui s'en suit permet alors à Fermat de faire montre de rigueur et de sang-froid :

«  Ce n'est pas point par envie ni par émulation que je continue cette petite dispute, écrit-il à Mersenne, mais seulement pour découvrir la vérité; de quoi j'estime que M. Descartes ne me saura pas mauvais gré, d'autant plus que je connais son mérite très éminent, et que je vous en fais ici une déclaration très expresse. »

Pour autant, la querelle sur la dioptrique en reste là. Ce n'est qu'après la mort de Descartes, quinze ans plus tard, que le mathématicien de Beaumont parviendra à une formulation satisfaisante de son principe de durée minimale (Œuvres de Fermat, t. III, 149-156), expliquant le trajet de la lumière dans des milieux d'indices différents. C'est ainsi qu'il met à jour le principe de Fermat, principe fondamental de l'optique géométrique qui décrit la forme du chemin optique d'un rayon lumineux et s'énonce ainsi : La lumière se propage d'un point à un autre sur des trajectoires telles que la durée du parcours soit extrémale. Il permet de retrouver la plupart des résultats de l'optique géométrique, en particulier les lois de la réflexion sur les miroirs, les lois de la réfraction,...

La méthode des tangentes

À la fin de l'année 1637, Descartes reçoit de Mersenne l'essai de Fermat intitulé Methodus ad disquirendam maximám et minimam et le philosophe reprend son « procès en mathématiques » contre monsieur Fermat en janvier 1638. Il écrit au père minime que son contradicteur propose dans sa règle de formation des tangentes une resucée de la méthode dite de fausse position. Il lui reproche de raisonner par l'absurde (méthode de raisonnement qui passe à ses yeux pour la façon de démontrer la moins estimée et la moins ingénieuse de toutes celles dont on se sert en Mathématiques). Il vante auprès du père minime sa propre méthode, tirée, selon ses mots,d'une connaissance de la nature des équations et qui suit, selon lui, la plus noble façon de démontrer qui puisse être…

Jean de Beaugrand publie alors un pamphlet pour défendre Fermat contre le S. des C. (sans mentionner les noms des protagonistes). Il expose les résultats de Fermat sur la détermination des tangentes. Il dénonce ceux, plus compliqués, de Descartes dont la méthode consiste à définir le cercle osculateur pour déterminer la tangente à partir de ce cercle.

Jean Itard lit dans les publications de Beaugrand la preuve de la supériorité de Pierre de Fermat dans la compréhension de la nature affine du problème des contacts. Selon ses mots, Fermat n'avait rien, ou presque, pour explique la nature affine de l'existence (et de la construction) des tangentes à une courbe ; car il ne s'agit pas d'un problème métrique. C'est pourtant ce qui le placera au-dessus de Descartes dans ce problème des tangentes où l'orthogonalité des axes de coordonnées n'est d'aucune importance. C'est ce que souligne Beaugrand dans son pamphlet anonyme.

Petit théorème de Fermat

Si p est un nombre premier et a un entier naturel non divisible par p, alors .

Voir aussi : Théorème d'Euler, dont ce théorème est un cas particulier.

Leibniz a rédigé en 1683 une démonstration qu'il ne publie pas. Leonhard Euler a démontré le théorème en 1736 par les mêmes arguments. Il communique cette preuve le 2 août 1736 à l’Académie de Saint-Pétersbourg et publie cette première démonstration en 1741. Elle repose sur une récurrence et l'utilisation du développement du binôme.

Fermat n'a pas fourni sa démonstration ; le 18 octobre 1640, il écrit à Frénicle de Bessy :

« Tout nombre premier mesure infailliblement une des puissances -1 de quelque progression que ce soit, et l'exposant de la dite puissance est sous-multiple du nombre premier donné -1 ... Il ajoute : Et cette proposition est généralement vraie en toutes progressions et en tous nombres premiers; de quoi je vous envoierois la démonstration, si je n'appréhendois d'être trop long  »

On peut être assuré que Fermat tenait effectivement une preuve, car plus loin, à propos des nombres "premiers" qui portent son nom, il ajoute :

« Je vous avoue tout net (car par avance je vous avertis que je ne suis pas capable de m'attribuer plus que je ne sais, je dis avec la même franchise ce que je ne sais pas) que je n'ai pu encore démontrer... cette belle proposition que je vous ai envoyée... Si vous en aviez la preuve assurée, vous m'obligeriez de me la communiquer car, après cela, rien ne m'arrêtera en ces matières. »

Les méthodes de Fermat ont évolué avec le temps et il paraît difficile de reconstruire ce qu'a pu être son raisonnement.

Théorème des deux carrés de Fermat

Ce théorème énonce qu'un nombre premier impair est la somme de deux carrés si, et seulement si, il est congru à 1 modulo 4.

Afin d'en fournir la preuve, Fermat a mis au point la méthode, de la descente infinie. On ne sait pas s'il possédait vraiment une démonstration de son théorème. Il déclare à Carcavi en août 1659 :

« Lorsqu'il me fallut démontrer que tout nombre premier, qui surpasse de l'unité un multiple de 4, est composé de deux quarrés, je me trouvai en belle peine. Mais enfin une méditation diverses fois réitérée me donna les lumières qui me manquoient, et les questions affirmatives passèrent par ma méthode, à l'aide de quelques nouveaux principes qu'il y fallut joindre par nécessité. »

Toutefois il a laissé l'indication qui suit :

«  Si un nombre premier pris à discrétion, qui surpasse de l'unité un multiple de 4, n'est point composé de deux quarrés, il y aura un nombre premier de même nature, moindre que le donné, et ensuite un troisième encore moindre, etc. en descendant à l'infini jusques à ce que vous arriviez au nombre 5, qui est le moindre de tous ceux de cette nature, lequel il s'ensuivroit n'être pas composé de deux quarrés, ce qu'il est pourtant. D'où on doit inférer, par la déduction à l'impossible, que tous ceux de cette nature sont par conséquent composés de deux quarrés. »

dont l'idée forte permettra à Euler de donner une preuve complète de ce théorème.

Théorème de Fermat sur les nombres polygonaux

Tout entier s'écrit :

• comme somme d'au plus 3 nombres triangulaires
• comme somme d'au plus 4 nombres carrés
• comme somme d'au plus 5 nombres pentagonaux
• etc.
  • nombres triangulaires :
     : le n-ième nombre triangulaire est égal à la somme des n premiers entiers naturels non nuls ;
  • nombres carrés :
     : le n-ième nombre carré est égal à la somme des n premiers entiers naturels impairs)
  • nombres pentagonaux :
     : le n-ième nombre pentagonal est égal à la somme des n premiers entiers naturels congrus à 1 modulo 3 ;
  • nombres polygonaux d'ordre m  :
     : le n-ième nombre polygonal d'ordre m est égal à la somme des n premiers entiers naturels congrus à 1 modulo (m-2).

Ce théorème a été énoncé par Fermat, démontré dans le cas des nombres carrés par Jacobi et, indépendamment par Joseph-Louis Lagrange au XVIII^e siècle (Ce dernier se servant de résultats partiels obtenus par Euler). Gauss résolut le cas des nombres triangulaires en 1796. Une preuve complète a été proposée par Cauchy en 1813.

Grand théorème de Fermat (ou dernier théorème de Fermat)

« Il n'existe pas d'ensemble d'entiers strictement positifs , , vérifiant l'équation lorsque n est un entier tel que . »

Ce théorème fut démontré par le mathématicien anglais Andrew Wiles de l'Université de Princeton, avec l'aide de Richard Taylor. Après une première présentation en juin 1993, puis la découverte d'une erreur et un an de travaux supplémentaires, la preuve fut finalement publiée en 1995 dans Annals of Mathematics. Une bonne centaine de mathématiciens dans le monde sont capables de saisir tous les détails de cette démonstration.

Pierre de Fermat lui-même annotait dans la marge de son exemplaire des Arithmétiques qu’il en avait découvert une démonstration vraiment remarquable, mais manquait de place pour la donner à cet endroit:

«  J’ai trouvé une merveilleuse démonstration de cette proposition, mais la marge est trop étroite pour la contenir. »

La démonstration évoquée par Pierre de Fermat, inconnue à ce jour, était à n'en pas douter, une illusion. La démonstration réalisée par Andrew Wiles (dont le dernier théorème de Fermat n'est qu'un corollaire) utilise des outils mathématiques d'une complexité dont on ne semble guère pouvoir se passer et que Fermat ne pouvait pas même soupçonner, compte tenu des connaissances de son époque.

Les cas des exposants n = 3,4 puis 5 et 7 ont été traités respectivement par Euler, Legendre et Cauchy.

• Euler transforme l'équation en z³ = x³ + y³ = 2a(a² + 3b²). L'étude des propriétés des nombres de la forme (a² + 3b²) seront omis de sa preuve. La même omission sera reprise par Legendre

• Gauss donne une autre preuve dans le cas du cube. Il travaille dans et nomme à l'occasion entiers les complexes de .
• Vers 1800, Gabriel Lamé prétendit avoir trouvé la solution de ce problème. Il ne fut que le premier d'une liste de mathématiciens amateurs tentés par ce difficile problème. Il parvient à la résolution dans le cas 7 en 1839.
• En 1816, L'académie des sciences de Paris offre une médaille d'or et un prix de 3000 franc à celui qui résoudrait la question.
• Vers 1825, Dirichlet propose une preuve incomplète du cas 5. Elle est publiée et complétée dans le journal de Crelle en 1828. En 1832, Dirichlet donne le cas 14.

• Un théorème important de Sophie Germain résout la conjecture pour 5, et Legendre en déduit une généralisation, portant sur une famille entière de nombres n premiers.
• En 1850, le prix de l'académie est renouvelé.
• En 1857, Ernst Kummer franchit un pas décisif en démontrant le dernier théorème de Fermat pour tout exposant inférieur à 100. A cette fin, il introduit l'étude systématique des corps cyclotomiques, qui le conduit à introduire les nombres idéaux. Il en déduit que le dernier théorème tombe dans le cas de nombres premiers réguliers. Ces études renouvellent également l'intérêt pour les nombres de Bernouilli

Ainsi, apparaît le réel intérêt de ce théorème négatif : c'est un moteur puissant qui va obliger pour le résoudre à étudier les structures algébriques d'objets dont on aurait eu peine à imaginer l'existence-même au temps de Fermat. L'idée s'affirme alors que ce dernier théorème, loin d'être un fin en soi, n'est qu'un début pour l'étude de questions bien plus profondes et qui sont au cœur de l'invention mathématiques contemporaine.

• En 1856, Johann August Grunert étudie la taille des solutions éventuelles.

• En 1894 Wendt donne un critère pour appliquer les théorèmes de Sophie Germain et leur généralisation. Ces études se prolongeront en 1935 avec Emma Lehmer, et 1959, avec Carlitz.
• En 1908, l'université de Göttingen et la fondation Wolfskehl offrent un prix de 100 000 marks à qui trouverait la démonstration avant cent ans.

• En 1931, Massoutic et Pomey donnent des conditions de divisibilité sur d'éventuelles solutions. Ils sont suivis dans cette voie par Swistak en 1969, par Mihaljinec (1952) et par Rameswar Rao (1969).
• En 1961, La relation n'était prouvée que pour les entiers n < 269.
• Les progrès fulgurants des trente années précédant la démonstration de Wiles sont liés à des travaux de Jean-Pierre Serre, d'Yves Hellegouarch et de Robert Langlands sur la représentation des courbes elliptiques par les fonctions modulaires,

Méthode de la descente infinie

Fermat est l'inventeur d'une méthode de démonstration, la descente infinie : Supposons qu'une proposition P dépendant d'un rang n (> 0) vérifie la propriété : « Si P est vraie à un rang quelconque r, elle l'est à un certain autre rang q strictement inférieur à r ». Alors on peut conclure que P est fausse pour tout rang. En effet, pour tout r, l'application récurrente de la propriété permet de construire une chaîne infinie de rangs décroissants r > q >...>... Or les rangs étant positifs, la longueur de la chaîne ne peut pas être supérieure à r.

La descente infinie peut être utilisée pour démontrer le cas particulier n = 4 du dernier théorème de Fermat.

Principe de Fermat (optique)

Le trajet parcouru par la lumière entre deux points est toujours celui qui optimise le temps de parcours. Voir l'article principe de Fermat.