Pi - Définition

Histoire

L'histoire ancienne de π, qu'on peut retracer grâce aux écrits disponibles, suit approximativement l'avancée des mathématiques dans leur ensemble. Certains auteurs divisent l'histoire de π en trois parties : la période antique durant laquelle π a été étudié géométriquement, l'ère classique, aux alentours du XVII^e siècle, où les outils du calcul intégral ont permis des avancées dans notre connaissance du nombre π, et la période des ordinateurs numériques.

Antiquité

Il semble que, très tôt, les mathématiciens aient été convaincus qu’il existait un rapport constant entre le périmètre du cercle et son diamètre, ainsi qu’entre l’aire du disque et le carré du diamètre. Des tablettes babyloniennes datant de 2000 ans avant J.-C. et découvertes en 1936 présentent des calculs d’aire conduisant à une valeur de π de 3+1/8.

Approximation de π par Ahmès

Découvert en 1855, le papyrus de Rhind contient le texte, recopié vers l’an 1650 avant notre ère par le scribe égyptien Ahmès, d’un manuel de problèmes pédagogique plus ancien encore. On y trouve une méthode pour évaluer l’aire d’un disque en prenant le carré dont le côté est égal au diamètre du disque diminué d’un neuvième. Cette méthode conduit à une évaluation de π de ²⁵⁶⁄₈₁. Dans l’illustration ci-contre, le disque a pour diamètre 9. L’aire du disque est légèrement supérieure à l’aire de l’octogone irrégulier obtenu en rognant les coins du carré de côté 9. Cet octogone a pour aire 63, l’aire du disque est alors évaluée à 64 soit l’aire d'un carré de côté 8. Le rapport entre l'aire du disque et le carré du rayon est alors évalué par 64/(9/2)² , c'est-à-dire 256/81.

Le texte indien Shatapatha Brahmana donne à π une valeur de 339/108 ≈ 3,139.

C’est dans le traité d'Archimède (-287, -212) intitulé De la mesure du cercle que l’on peut lire une démonstration liant l’aire du disque et l’aire du triangle ayant pour base le périmètre du cercle et pour hauteur le rayon, démontrant ainsi qu'une même constante apparait dans le rapport entre aire du disque et carré du rayon et entre périmètre et diamètre.

Cette démonstration s’appuie sur la méthode d'exhaustion et un raisonnement par l'absurde. En partant d’un carré inscrit dans le cercle et d’un carré circonscrit au cercle et en multipliant indéfiniment par 2 le nombre de côtés, il prouve que l’aire du disque ne peut être inférieure ni supérieure à celle du triangle correspondant.

Cercle et ses carrés inscrit et circonscrit

Cercle et ses octogones inscrit et circonscrit

Découpage du cercle en 8 portions de camembert

Sa démonstration exploite l’idée du découpage en quartiers : le cercle est découpé en plusieurs quartiers qui, mis bout à bout, dessinent des triangles curvilignes de même hauteur. En multipliant le nombre de quartiers, la base des triangles curvilignes est presque droite et la hauteur est proche du rayon, la somme des bases correspond alors au périmètre du cercle et l’aire est alors de ¹⁄₂ de la base multipliée par la hauteur, c’est-à-dire ¹⁄₂ du périmètre multiplié par le rayon.

Déroulement des 8 portions

La seconde démonstration consiste à encadrer le périmètre du cercle par le périmètre de polygones réguliers inscrit et circonscrit au cercle et possédant 96 côtés. Pour calculer les périmètres de ces polygones, il part d’hexagones inscrits et circonscrits et met en évidence les formules donnant le périmètre d’un polygone dont le nombre de côtés a doublé. Il démontre ainsi que 3 + 10/71 < π < 3 + 1/7. La moyenne de ces deux valeurs est d'environ 3,14185. Archimède s’arrête à 96 côtés car les calculs qu’il est amené à effectuer, avec valeurs approchées, sont déjà longs pour l’époque. Mais il met en place ainsi une méthode qui sera reprise par ses successeurs et qui peut en théorie être poursuivie indéfiniment. Ptolémée, scientifique grec ayant vécu trois siècles après Archimède, donne une valeur de 3,1416, qu'il a probablement obtenu grâce à Apollonius de Perga^{[réf. insuffisante]}.

Propriété de la bissectrice

Archimède utilise une propriété liant le pied d’une bissectrice aux côtés adjacents : Dans la figure ci-contre SS′ est la bissectrice de l’angle de sommet S

Polygone circonscrit

Pour le polygone circonscrit. Dans la figure ci-dessous (gauche), c₁ et c₂ sont les demi-côtés de deux polygones circonscrits consécutifs. Archimède montre, en utilisant la propriété précédente, que

et réitère 4 fois l’opération à partir de l’hexagone.

Polygone inscrit

Pour le polygone inscrit. Dans la figure ci-contre, c₁ et c₂ sont les côtés de deux polygones inscrits consécutifs. Archimède montre, en utilisant les triangles semblables et la propriété de la bissectrice que

De nos jours, les formules trigonométriques permettent de simplifier l’algorithme d’Archimède. Les périmètres p_i et P_i des polygones inscrits et circonscrits vérifient les relations de récurrence suivantes

En effet, pour un cercle de rayon 1, si on note a_n la moitié de l’angle au centre des polygones à l’étape n, on sait que

et

 

Encadrement de Liu Hui

Si les calculs pratiques peuvent se faire avec une bonne précision en utilisant la valeur 3,14 comme approximation de π, la curiosité des mathématiciens les pousse à déterminer ce nombre avec plus de précision. Au III^e siècle, en Chine, Liu Hui, commentateur des Neuf chapitres, propose comme rapport entre le périmètre et le diamètre la valeur pratique de 3 mais développe des calculs proches de ceux d’Archimède mais plus performants et fournit une approximation de π de 3,1416. Le mathématicien chinois Zu Chongzhi donne une approximation rationnelle encore plus précise de π : π ≈ 355/113 (dont les développement décimaux sont identiques jusqu'à la 6ème décimale, π ≈ 3,1415926 et 355/113 ≈ 3,1415929) et montre que 3,1415926 < π < 3.1415927, en utilisant l'algorithme de Liu Hui appliqué à un polygône de 12 288 côtés. Cette valeur demeure la meilleure approximation de π au cours des 900 années qui suivent.

II^e millénaire

Jusqu'en 1400 environ, la précision des approximations de π n'excédait pas les 10 décimales. Les progrès en matière de calcul intégral et de séries vont permettre d'améliorer cette précision. Les séries permettent d'approcher π avec d'autant plus de précision qu'on utilise de termes de la série pour le calcul. Vers 1400, Madhava de Sangamagrama trouve une série permettant de calculer π, la première :

Cette série, qui est en fait un cas particulier de

,

est maintenant connue sous le nom de série de Madhava-Leibniz ou série de Gregory-Leibniz depuis que la formule a été redécouverte par James Gregory et Gottfried Wilhelm Leibniz au XVII^e siècle. Malheureusement, la vitesse de convergence de cette série est trop lente pour pouvoir calculer, en pratique, plusieurs décimales : environ 4 000 termes sont nécessaires pour arriver à la précision qu'avait atteint Archimède. Cependant, en transformant la série de la façon suivante

Madhava a été capable de donner une valeur approchée de π de 3,14159265359, qui a 11 décimales correctes. Le record a été battu en 1424 par le mathématicien perse Al-Kachi, qui a réussi à donner 16 décimales.

La première contribution importante venant d'Europe depuis Archimède a été faite par l'allemand Ludolph van Ceulen (1540–1610), qui a utilisé une méthode géométrique afin de donner une estimation de π correcte à 35 décimales près. Il a été si fier de son calcul, qui lui a demandé une grande partie de sa vie, qu'il a fait graver les décimales sur sa pierre tombale.

Dans la même période, les méthodes de calcul intégral et de détermination de séries et produits infinis pour des quantités géométriques ont commencé à émerger en Europe. La première formule de ce type est la formule de Viète :

trouvée par François Viète en 1593. Un autre résultat célèbre est le produit de Wallis :

que l'on doit à John Wallis, qui l'a mis en évidence en 1655. Isaac Newton lui-même a utilisé le développement en série de π/6=arcsin 1/2 pour calculer 15 décimales de π ; bien plus tard, il a déclaré : « J'ai honte de vous dire combien de décimales j'ai trouvé grâce à ces calculs, n'ayant aucune autre occupation à l'époque. ».

En 1706, John Machin a été le premier à trouver 100 décimales de π, en utilisant la formule

avec

Les formules de ce type, maintenant connues sous le nom de formules de Machin, ont été utilisés pour battre plusieurs records de décimales connues de π, et demeurent aujourd'hui les formules les plus connues pour calculer π grâce à des ordinateurs. Un record remarquable est détenu par le calculateur prodigue Johann Dase qui, en 1844, à l'aide d'une formule de Machin, a calculé 200 décimales de π de tête, à la demande de Gauss. La meilleure valeur obtenue à la fin du XIX^e siècle est due à William Shanks, qui a passé 15 ans à calculer 707 décimales de π, bien qu'à cause d'une erreur, seules les 527 premières étaient correctes. De nos jours, il est aisé d'éviter de telles erreurs, en faisant faire les calculs par l'ordinateur, ou en utilisant deux formules différentes pour éliminer les risques d'erreur de calcul, de programmation, ou du microprocesseur.

Les avancées théoriques du XVIII^e siècle ont amené les mathématiciens à s'interroger sur la nature de π, notamment sur l'absence de motifs périodiques dans ses décimales, une hypothèse raisonnable au vu des calculs numériques, mais pour laquelle il fallait une approche radicalement différente pour la prouver rigoureusement. Ce tour de force a été réalisé par Johann Heinrich Lambert en 1761, qui fut ainsi le premier à prouver l'irrationalité de π, par la suite Adrien-Marie Legendre a aussi prouvé que π² aussi était irrationnel. Cette constante (π²) jouait un rôle notable en mathématique, puisqu'elle apparaissait dans la solution du problème de Bâle, qui consistait à trouver la valeur exacte de qui est π²/6 (comme prouvé par Leonhard Euler qui a établi à cette occasion une connexion profonde entre π et les nombres premiers). Dans la foulée, Legendre et Euler ont tous les deux conjecturé que π était un nombre transcendant, ce qui a finalement été prouvé en 1882 par Ferdinand von Lindemann.

Origine de la notation

C'est au cours du XVIII^e siècle siècle que s'établit l'usage de la lettre grecque « π », première lettre des mots grecs περιφέρεια (périphérie) et περίμετρος (périmètre, c'est-à-dire circonférence) pour le rapport de la circonférence du cercle sur son diamètre.

À partir du XVII^e siècle siècle certains mathématiciens utilisent la notation π/δ où π désigne la circonférence et δ le diamètre. Le premier a utiliser simplement π est William Jones dans son livre A New Introduction to Mathematics publié en 1706, à propos du calcul astucieux de ce nombre par la série de son ami Machin. Les mathématiciens continuent cependant d'utiliser d'autres notations. Parmi ceux-ci Euler se met à la notation de Jones dans sa correspondance à partir de 1736. Il l'adopte dans son livre Introductio in analysin infinitorum publié en 1748, ce qui eut certainement une grande influence. La notation finit par s'imposer vers la fin du XVIII^e siècle.

Ère informatique

Alors que quelques dizaines de décimales de π sont largement suffisantes pour les calculs pratiques qu'effectue un physicien, la conquête des décimales du nombre π n'a pas cessé avec l'arrivée des ordinateurs, qui ont permis de calculer un très grand nombre de ces décimales.

En 1949, à l'aide de l'ENIAC, John von Neumann a obtenu 2037 décimales de π, suite à un calcul qui a duré 70 heures. Des milliers de décimales supplémentaires ont été trouvées au cours des décennies suivantes, l'étape du million de chiffres ayant été passée en 1973. Les progrès n'ont pas seulement été dus aux ordinateurs de plus en plus rapides, mais aussi aux nouveaux algorithmes utilisés. L'une des avancées les plus significatives a été la découverte de la transformée de Fourier rapide dans les années 1960, qui a permis aux ordinateurs de manipuler rapidement de très grands nombres.

Au début du XX^e siècle, le mathématicien indien Srinivasa Ramanujan a trouvé de nombreuses nouvelles formules faisant intervenir π ; certaines d'entre elles sont remarquables par leur élégance et leur profondeur mathématique. L'une de ces formules est la série suivante :

La formule ci-dessous, possédant un lien étroit avec celle énoncée ci-dessus, a été découverte par David et Gregory Chudnovsky en 1987 :

Cette formule donne 14 nouvelles décimales de π à chaque terme. Vers la fin des années 1980, les frères Chudnovsky l'ont utilisé pour battre plusieurs records de décimales de π calculées. Elle demeure la formule la plus utilisée pour calculer π sur des ordinateurs personnels.

Alors que les séries permettent d'obtenir des valeurs approchées de π avec un taux de précision supplémentaire à chaque terme qui est constant, il existe des algorithmes itératifs qui multiplient le nombre de décimales correctes à chaque étape, avec cependant l'inconvénient que chaque étape demande généralement un calcul « coûteux ». Une grande avancée a eu lieu en 1975 lorsque Richard Brent et Eugene Salamin ont découvert indépendamment l'algorithme Salamin-Brent, qui double le nombre de décimales correctes à chaque étape. Il s’appuie sur un vieux résultat pressenti puis démontré par Gauss. En 1818, celui-ci démontre le lien existant entre la moyenne arithmético-géométrique de 1 et √2 (M(1,√2)), la longueur de la lemniscate de Bernoulli et π. La longueur de la lemniscate est où r représente la distance OA entre le centre et un sommet de la lemniscate et où est la constante de la lemniscate. Si on note G, la constante de Gauss, c’est-à-dire l’inverse de M(1,√2) alors

Salamin et Brent ont utilisé ce résultat pour construire l'algorithme qui porte leur nom, et grâce auquel la conquête des décimales de π va alors avancer conjointement avec celle des décimales de √2.

L'algorithme consiste à poser

,

puis à définir les relations de récurrence suivantes

et enfin à calculer ces termes jusqu'à ce que a_n et b_n soient assez proches. On a alors une valeur approchée de π donnée par

En utilisant cet algorithme, seuls 25 termes sont nécessaires pour calculer 45 millions de décimales. Un algorithme similaire qui quadruple la précision à chaque étape a été trouvé par Jonathan et Peter Borwein. C'est grâce à ces méthodes qu'en 1999, Yasumasa Kanada et son équipe ont battu le record du nombre de décimales de π qui datait de 1980, en atteignant les 206 158 430 000 chiffres.

En août 2010, le record est à nouveau battu par deux informaticiens (un japonais et un américain) avec 5000 milliards de décimales.

En 1997, la formule BBP, découverte par Simon Plouffe, a fait de nouveau progresser la connaissance de π. La formule,

est remarquable car elle permet de calculer n'importe chiffre de l'écriture de π en base hexadécimale ou binaire, sans calculer les précédents. Entre 1998 et 2000, le projet de calcul distribué PiHex a utilisé une variante de la formule BBP due à Fabrice Bellard pour calculer le 1 000 000 000 000 000 chiffre en binaire de π, qui s'est révélé être 0.

Si une formule de la forme

était trouvée, avec b et c des entiers positifs et p et q des polynômes de degrés fixés à coefficients entiers (comme pour la formule BBP ci-dessus), ce serait l'un des moyens les plus efficaces pour calculer n'importe quel chiffre dans l'écriture de π en base b^c sans avoir à calculer les précédents, en un temps dépendant uniquement du nombre de termes de la série calculé et du degré des polynômes.

En 2006, Simon Plouffe a trouvé plusieurs formules faisant intervenir π. En posant q = e^π (constante de Gelfond), on a

ainsi que

où k est un nombre impair, et a, b, c sont des nombres rationnels.