Périmètre - Définition
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Courbes fractales
![](https://static.techno-science.net/illustration/Definitions/1200px/v/von-koch-curve_4af4771ae59accc05c023cf65e4ac902.gif")
Un exemple : Le flocon de von Koch
Le flocon de Koch est construit par une suite de polygones à la fois très simple et aux propriétés étonnantes.
- On part d'un triangle équilatéral.
- On partage chaque côté de la figure en trois segments de même longueur. On construit, sur chaque segment central et à l'extérieur de la figure précédente, un triangle équilatéral.
- On répète le procédé de l'étape 2 indéfiniment.
À chaque itération, le polygone obtenu possède un périmètre égal à 4⁄3 de celui du précédent, la suite des périmètres obtenus tend vers l'infini. Pourtant, tous ces polygones sont inclus dans le cercle circonscrit au premier triangle, et ont une aire finie.
Fractales et dimension de Hausdorff
Si plusieurs surfaces ont des périmètres infinis, il est toutefois possible que certaines aient un « plus long périmètre » que d'autres. La dimension de Hausdorff introduite en 1918, permet de les comparer en étendant encore la notion de longueur, et donc celle de périmètre.
Courbe rectifiable
Mis à part les cas des polygones et des cercles, le périmètre de la plupart des surfaces est malaisé à calculer : il fait intervenir une intégrale qui ne s'exprime pas souvent au moyen de fonctions élémentaires (polynômes, sinus, etc.)
Un exemple : l'ellipse
![](https://static.techno-science.net/illustration/Definitions/1200px/c/comete-trajectoire-5.svg_7c74aa3553fcf652099d146d41286810.png")
L'ellipse peut paraître simple : il ne s'agit après tout que d'un « cercle écrasé ».
Soit une ellipse de demi-grand axe a et de demi-petit axe b.
L'aire est aisée à calculer : πab.
Mais le périmètre P de l'ellipse ne peut être obtenu qu'à l'aide d'une intégrale elliptique :
qui s'exprime sous forme de série, en notant e l'excentricité de l'ellipse (formule de J.H.Lambert(1772)):
![P = 2\pi a \left[{1 - \left({1\over 2}\right)^2e^2 - \left({1\cdot 3\over 2\cdot 4}\right)^2{e^4\over 3} - \left({1\cdot 3\cdot 5\over 2\cdot 4\cdot 6}\right)^2{e^6\over5} - \cdots}\right]](https://static.techno-science.net/illustration/Definitions/autres/8/87be10004db90cdd3d8d01d679874e59_04e97443952ae0d36c4c2ec2f7a1e8bc.png)
où 
La difficulté de ces calculs a conduit à développer des approximations. La deuxième proposée, plus précise, est l'œuvre de Ramanujan :
![P \approx \pi\sqrt {2(a^2 + b^2)}\approx \pi \left[3(a+b) - \sqrt{(3a+b)(a+3b)}\right]](https://static.techno-science.net/illustration/Definitions/autres/1/148cb5aa22aa1c84c07b8f94ca1cee79_de9b194dcad3797aa5ee9e06ac78152e.png)
Courbe rectifiable
Le problème du calcul d'un périmètre est plus ardu si la frontière est courbe et non plus polygonale.
Il est toujours possible d'approcher la longueur d'une courbe par celle d'un polygone d'approximation. La longueur du polygone d'approximation est la somme des longueurs de ses côtés. Lorsque le pas, c'est-à-dire la longueur maximale entre deux sommets consécutifs du polygone, tend vers zéro, la limite supérieure de la longueur du polygone tend vers la longueur de la courbe. Si la longueur de la courbe est finie, celle-ci est dite rectifiable. Ce raisonnement permet de calculer des valeurs approchées de nombreuses courbes.
Une valeur exacte est possible lorsque la courbe est paramétrée par une fonction continûment dérivable. Alors la courbe est rectifiable. Si la courbe est un arc paramétré par une fonction f définie sur un intervalle [c;d], alors sa longueur est :
En particulier, si f(t) = (x(t) ; y(t)) et si les coordonnées s'expriment dans une base orthonormale, la longueur L de la courbe est donnée par :
Cette formule permet d'établir celle donnée plus haut, pour le périmètre de l'ellipse ( x(t)=a cos t, y(t)=b sin t, I=]0, π/4[ ).
Il est également possible d'utiliser les coordonnées polaires (θ, r(θ)) où r est une fonction continûment dérivable de θ définie sur un intervalle [θ1;θ2]. Dans ce cas :
