Pendule simple - Définition et Explications

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Introduction

Schéma montrant un pendule simple.

En physique, le pendule simple est une masse ponctuelle fixée à l'extrémité d'un fil sans masse, inextensible et sans raideur et oscillant sous l'effet de la pesanteur (Le champ de pesanteur (ou plus couramment pesanteur) est un champ attractif auquel sont soumis tous les corps matériels au voisinage de la Terre : on observe ainsi qu'en un lieu donné...). Il s'agit du modèle de pendule pesant (On appelle pendule pesant tout solide mobile autour d'un axe (en principe horizontal) ne passant pas par son centre de gravité et placé dans un champ de pesanteur....) le plus simple. Il est parfois appelé pendule de gravité (La gravitation est une des quatre interactions fondamentales de la physique.) idéal (En mathématiques, un idéal est une structure algébrique définie dans un anneau. Les idéaux généralisent de façon féconde...) et, par opposition, tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) pendule de gravité réel est appelé pendule pesant composé (Un pendule pesant composé est un dispositif utilisé en physique.). Par extension on appelle aussi parfois pendule simple un dispositif dans lequel le fil inextensible et remplacé par une tige (La tige est chez les plantes à fleurs, l'axe, généralement aérien, qui prolonge la racine et porte les bourgeons et les feuilles. La tige se ramifie...) rigide de masse (Le terme masse est utilisé pour désigner deux grandeurs attachées à un corps : l'une quantifie l'inertie du corps (la masse inerte) et l'autre la contribution du corps à la force de gravitation...) nulle pouvant tourner sans frottement (Les frottements sont des interactions qui s'opposent à la persistance d'un mouvement relatif entre deux systèmes en contact.) dans un plan vertical (Le vertical (rare), ou style vertical, est un style d’écriture musicale consistant en accords plaqués.) autour (Autour est le nom que la nomenclature aviaire en langue française (mise à jour) donne à 31 espèces d'oiseaux qui, soit appartiennent au genre Accipiter, soit...) de son extrémité fixe (liaison parfaite).

Il est possible d'approcher expérimentalement cet objet (De manière générale, le mot objet (du latin objectum, 1361) désigne une entité définie dans un espace à trois dimensions, qui a une fonction précise, et qui peut être...) théorique en suspendant une masse de faible dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son diamètre si c'est une pièce de...) au bout d'un fil (voir illustration). À cause de sa nature relativement simple, il se prête à des études théoriques poussées sur le plan mathématique. Ces études ont trouvé plusieurs applications en physique théorique (La physique théorique est la branche de la physique qui étudie l’aspect théorique des lois physiques et en développe le formalisme mathématique.), notamment dans les systèmes harmoniques simples.

Sous l'effet de son poids (Le poids est la force de pesanteur, d'origine gravitationnelle et inertielle, exercée par la Terre sur un corps massique en raison uniquement du voisinage de la Terre. Elle est égale à l'opposé de la...), lorsque le pendule est écarté de sa position d'équilibre (la verticale), le point (Graphie) matériel de masse m se déplace sur un arc de cercle : l'effet du poids tendant constamment à ramener le pendule vers sa position d'équilibre stable, celui-ci se met à osciller.

Les équations du mouvement

Mise en équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre l'équation consiste à déterminer toutes les façons de donner...)

On repère la position du pendule simple par l'angle (En géométrie, la notion générale d'angle se décline en plusieurs concepts apparentés.) qu'il fait avec la verticale (La verticale est une droite parallèle à la direction de la pesanteur, donnée notamment par le fil à plomb.) descendante. On choisit une orientation (Au sens littéral, l'orientation désigne ou matérialise la direction de l'Orient (lever du soleil à l'équinoxe) et des points cardinaux (nord de la boussole) ;) positive : la position de la masse est donc repérée par l'élongation angulaire algébrique \theta\,.
On note \overrightarrow{g} l'accélération (L'accélération désigne couramment une augmentation de la vitesse ; en physique, plus précisément en cinématique,...) due à la pesanteur (sous nos latitudes, g \simeq 9,81\ m.s^{-2}).

Bilan des forces :

  • Le poids \overrightarrow P = m \overrightarrow{g}
  • La tension (La tension est une force d'extension.) \overrightarrow T de la tige, toujours perpendiculaire (En géométrie plane, on dit que deux droites sont perpendiculaires quand elles se coupent en formant un angle droit. Le terme de perpendiculaire vient...) au mouvement circulaire de G.

Dans ce modèle les autres forces sont oubliées, notamment les forces de frottement ; or un pendule s'arrête d'osciller sous l'action des frottements : le mouvement perpétuel (Le mouvement perpétuel désigne l'idée d'un mouvement (généralement périodique), au sein d'un système, capable de durer indéfiniment sans apport...) n'existe pas à cette échelle d'énergie.

Énergie mécanique (Dans le langage courant, la mécanique est le domaine des machines, moteurs, véhicules, organes (engrenages, poulies, courroies, vilebrequins, arbres de transmission, pistons, ...), bref, de tout...) du pendule :

  • La somme de l'énergie cinétique (L'énergie cinétique (aussi appelée dans les anciens écrits vis viva, ou force vive) est l’énergie que possède un corps du fait de son mouvement. L’énergie cinétique...) du pendule et de son énergie potentielle de pesanteur, mesurée à partir du point le plus bas vaut (la vitesse (On distingue :) de la masse valant v = l\frac{d \theta}{d t}) :
E_m = E_c+E_p= \frac{1}{2}m l^2 \dot{\theta}^2+mgl(1-\cos\theta) avec  \dot{\theta} = \frac{d \theta}{d t}
  • Puisque la tension de la tige est à tout instant (L'instant désigne le plus petit élément constitutif du temps. L'instant n'est pas intervalle de temps. Il ne peut donc être considéré comme une durée.) perpendiculaire au mouvement circulaire de G, cette force (Le mot force peut désigner un pouvoir mécanique sur les choses, et aussi, métaphoriquement, un pouvoir de la volonté ou encore une vertu morale « cardinale » équivalent au courage (cf. les articles « force...) exerce un travail nul. De plus comme le poids est une force conservative (Une force est dite conservative lorsque le travail produit par cette force est indépendant du chemin suivi par son point d'action. Si ce n'est pas le cas elle alors...) et que toute autre force est négligée, l’énergie mécanique du système est conservée. Dire que cette quantité (La quantité est un terme générique de la métrologie (compte, montant) ; un scalaire, vecteur, nombre d’objets ou d’une autre manière de dénommer la valeur d’une...) est conservée au cours du mouvement, c'est dire que sa valeur est constante au cours du temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le changement dans le monde.), ou encore que sa variation est nulle à tout instant. Ceci peut se traduire mathématiquement en écrivant que la dérivée (La dérivée d'une fonction est le moyen de déterminer combien cette fonction varie quand la quantité dont elle dépend, son argument, change. Plus précisément, une...) par rapport au temps est nulle. On obtient alors :
\ddot{\theta} + \omega_0^2 \sin\theta = 0 avec  \omega_0^2 = \frac{g}{l} et \ddot{\theta} = \frac{d {\dot{\theta}}}{d t}
  • Cette équation peut également être déduite du Principe Fondamental de la Dynamique (Le mot dynamique est souvent employé désigner ou qualifier ce qui est relatif au mouvement. Il peut être employé comme :), en projetant les deux forces \vec T et \vec P sur la tangente au mouvement.
Puits de potentiel du pendule simple

Puits de potentiel :

Si on trace (TRACE est un télescope spatial de la NASA conçu pour étudier la connexion entre le champ magnétique à petite échelle du Soleil et la géométrie du plasma coronal,...) en fonction de θ le graphe (Le mot graphe possède plusieurs significations. Il est notamment employé :) de l'énergie potentielle mgl(1-\cos\theta)\,, on obtient la figure suivante. On a tracé en gris le niveau de l'énergie potentielle maximale 2mgl.

  • Si l'énergie mécanique (L'énergie mécanique est une quantité utilisée en mécanique classique pour désigner l'énergie d'un système emmagasinée sous forme d'énergie cinétique et d'énergie...) E du pendule se situe à un niveau E1 inférieur à 2mgl, le pendule est confiné dans un puits de potentiel. Il existe une élongation maximale θ0 du pendule pour laquelle la vitesse s'annule, et le pendule oscille périodiquement. On a alors :
\frac{m l^2  \dot{\theta}^2}{2}-mgl\cos\theta = -mgl\cos \theta_0

qui se simplifie en :

 \dot{\theta^2} + 2 \omega_0^2 ( \cos\theta_0 - \cos\theta) = 0
  • Si l'énergie E du pendule se situe à un niveau E2 supérieur à 2mgl, alors le pendule franchit les barrières de potentiel, sa vitesse angulaire (En physique, et plus spécifiquement en mécanique, la vitesse angulaire ω, aussi appelée fréquence angulaire, est une mesure de la vitesse de rotation.) ne peut s'annuler et le pendule tourne autour du point O.

Résolution

La résolution des équations du mouvement du pendule simple n'est pas aisé. Le pendule cycloïdal (Le pendule cycloïdal est le mouvement d'un petit anneau glissant sans frottement sur une cycloïde concave ayant pour base l'axe horizontal Ox et suivant l'équation :) de Huygens représente un mouvement dans un puits de potentiel plus facile à résoudre. Le pendule simple discret (Soit un pendule simple :c’est-à-dire un point matériel, M, de masse m, astreint à se déplacer sur un cercle vertical(C), de centre O, de rayon l, dans un champ de pesanteur g...) propose une approche pas à pas de la résolution.

1/ pour de petites oscillations, on peut confondre sin(θ) avec θ. On obtient alors l'équation :

\ddot{\theta} + \omega_0^2 \theta = 0 avec, rappelons-le,  \omega_0^2 = \frac{g}{l}

dont une solution est :

\theta(t) = \theta_0 \cos(\omega_0 t)\, ; de période  T_0 = \frac{2\pi}{\omega_0} = 2\pi\sqrt\frac{l}{g} .

2/ pour de plus grandes amplitudes, on peut utiliser pour la période :

  • La  : T(\theta_0) = T_0 ( 1 + \frac{\theta_0^2}{16} )
  • La formule exacte : T(\theta_0) = T_0 {2K(\sin\frac{\theta_0}{2}) \over \pi}, qui utilise une fonction elliptique de Jacobi.

D'autre part, l'oscillation (Une oscillation est un mouvement ou une fluctuation périodique. Les oscillations sont soit à amplitude constante soit amorties. Elles répondent aux mêmes équations quel...) périodique devient nettement anharmonique, comme le montre le taux d'harmoniques.

3/ pour une énergie mécanique supérieure à 2mgl, le pendule tournoie de façon périodique. À grande vitesse V, cette période T tend vers 2\pi l \over V.

Tension de la tige

Une quantité physique (Une grandeur physique est un ensemble d'unités de mesure, de variables, d'ordres de grandeur et de méthodes de mesure (qui sont l'objet de la métrologie) lié à un aspect...) dépend de la masse du pendule : la tension de la tige (pour sa mesure, on peut coller sur la barre une jauge ( En tant qu'instrument de mesure : Une jauge est un instrument de mesure. On trouve par exemple : La jauge de contrainte, traduisant un effort mécanique en résistance électrique, La jauge Hibernia et la...) de contrainte étalonnée).

La projection (La projection cartographique est un ensemble de techniques permettant de représenter la surface de la Terre dans son ensemble ou en partie sur la surface plane d'une...) sur la normale (\vec N) de la 2ème Loi de Newton (Principe Fondamental de la Dynamique) permet d'obtenir la relation :

m a_\vec N = T + P_\vec N

Or l'expression de l'accélération radiale en coordonnées polaires (Les coordonnées polaires sont, en mathématiques, un système de coordonnées à deux dimensions, dans lequel chaque point du plan est entièrement déterminé par...) avec une distance à l'origine constante (rayon constant) est l{\dot\theta^2} d'où T = mg \cos \theta + ml {\dot\theta^2}

et nous avons vu que

ml {\dot\theta^2} = 2mg ( \cos \theta - \cos \theta_0) , d'où
T = mg ( 3 \cos \theta - 2 \cos \theta_0) \,

T varie entre  mg \cos \theta_0\, et mg(3-2\cos \theta_0)\,. Par exemple, pour 90°, T varie entre 0 et 3mg. Si on remplace la tige par un fil, il faut prévoir un fil résistant à 3kg pour une masse de 1 kg, sinon le fil casse et la masse part ensuite en trajectoire parabolique (Une trajectoire est dite parabolique si le mouvement d'un corps dans l'espace décrit une parabole.). L'expérience est facile à montrer et assez spectaculaire mais il faut trouver le fil qui ne s'étire pas trop avant de casser. Une mise en évidence facile de l'augmentation de la tension T est d'utiliser un fil élastique. Mais il ne s'agit plus du tout du même problème et ce n'est plus du tout élémentaire ( cf botafumeiro).

Boucler la boucle

T s'annule pour certaines conditions initiales de lancement différentes de celle proposée ci-dessus, voire devient négative, la tige supportant alors la masse. Il est classique de montrer que, lancée du point le plus bas avec une énergie 2mgl, la masse arrivera au bout d'un temps infini (Le mot « infini » (-e, -s ; du latin finitus, « limité »), est un adjectif servant à qualifier quelque chose qui n'a pas de...) au sommet du cercle (Un cercle est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale distance d'un point nommé centre. La valeur de cette distance est appelée rayon du cercle. Celui-ci étant...) (et le cas est intégrable aisément). On se doute que si la tige est remplacée par un fil (liaison unilatérale), la trajectoire (La trajectoire est la ligne décrite par n'importe quel point d'un objet en mouvement, et notamment par son centre de gravité.) ne sera pas : montée au sommet, puis chute à la verticale ; il y aura décrochage quand T sera nulle, c’est-à-dire pour θ tel que \cos(\theta)=- {2 \over 3}, ce qui correspond à un angle d'amplitude (Dans cette simple équation d’onde :) 132° et une hauteur (La hauteur a plusieurs significations suivant le domaine abordé.) h = l + 2/3 l. L'expérience est facile à faire avec un pendule dont la masse est une pièce trouée, glissant d'abord sur un demi-cercle rigide, puis se retrouvant "dans l'air (L'air est le mélange de gaz constituant l'atmosphère de la Terre. Il est inodore et incolore. Du fait de la diminution de la pression de l'air avec l'altitude, il est nécessaire...)" attachée à son fil pour la deuxième partie du mouvement (ou évidemment avec la jauge de contrainte !).

Alors que pour une tige, il suffit que l'énergie E dépasse 2mgl pour que le pendule se mette à tourner (looping the loop), dans le cas d'un fil il faut une énergie cinétique (Le mot cinétique fait référence à la vitesse.) initiale supérieure à {5\over 2}mgl afin que le fil reste tendu.

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