Pendule simple - Définition

Histoire des sciences

L'analyse de Evangelista Torricelli

Dans le cas de petites oscillations, Torricelli est certainement un des premiers à obtenir une mesure du coefficient 2π en partant de considérations sur la chute ralentie (cf chute libre).

On peut pour considérer le mouvement du pendule d'amplitude 3, l'approximer par une chute sur un plan incliné de 2., de longueur BC = 2l.sinθ₀, suivi d'une trajectoire horizontale de C en A , de longueur BC/2.

On aura ainsi le quart de la trajectoire. La période T dans cette cuvette BCAC'B' est :

soit par approximation , soit une approximation de π :

Une autre approximation donne

Mais mieux encore, Torricelli remarque à juste titre que

, avec , soit

Il lui suffit de vérifier que la fonction sinus satisfait l'équation et il a le résultat. En bon élève de Cavalieri, est-il capable de faire ce raisonnement avant 1647? La mystérieuse cassette ayant disparu à sa mort , on ne saura sans doute jamais rien des travaux ultimes de Torricelli (1608-1647) [Rappel : élève de Castelli et Galilée, il a vécu une époque où on ne plaisantait pas avec l'Inquisition en Italie: abjuration de Galilée, le 22 juin 1633].

En tout cas, son disciple ( via Mersenne), Huygens, trouve la valeur de 2π avant 1659, et montre que la courbe telle que h = s² / 2l exactement est la cycloïde. Rappelons que Dettonville publie son Traité de la Roulette en janvier 1659].

Remarque : ces termes sont anachroniques : g n'existe pas encore, car il n'y aura des unités que tard dans le siècle mais on compare au temps de chute libre de la hauteur H=l : ce fameux rapport : , qui intriguait Mersenne.

L'isochronicité

La section qui suit emprunte aux Études galiléennes d'Alexandre Koyré.

Il pourrait paraître surprenant que Galilée et ses élèves n'aient pas vu ce phénomène, alors que 4K devient infini lorsque les amplitudes pendulaires tendent vers 180°. Or, Galilée a affirmé que les oscillations du pendule étaient isochrones (voir pendule pesant). Il s'agit d'une cécité expérimentale, qui vaut la peine d'être mise en exergue.

1. À la décharge de Galilée, il opérait vraisemblablement avec des fils (liaison unilatérale), donc le lancement sans vitesse initiale (chute « libre ralentie ») s'effectuait avec une amplitude inférieure à 90° : on pourra s'essayer, grâce à la simulation présentée dans [1], à retracer (sans regarder les valeurs tabulées) les valeurs de 4K . À 18% près, 4K est constante dans ces conditions : Galilée a donc pu se laisser abuser.
2. À la charge de Galilée, Koyré fait remarquer que c'est peu vraisemblable : si on dispose de plusieurs pendules identiques, on constate immédiatement le non-isochronisme : le déphasage est visible au bout de 10 oscillations. Or Galilé prétend avoir observé les oscillations sur de plus grands nombres. Mais il avait une thèse à défendre : l'isochronisme. Plus vraisemblablement, il a défendu des positions personnelles, philosophiques.
3. Compte-tenu de la résistance de l'air et du problème de la pseudo-période des oscillations amorties,
   Compte-tenu du fait que ce même problème de la résistance de l'air a dû être écarté avec la chute libre,
   Compte-tenu du fait qu'à 90°, un pendule à boule de liège et un pendule à boule d'acier ne se comportent pas de la même manière,
   il est vraisemblable que l'attitude de Galilée n'était pas malhonnête : les différences ont été portées sur le compte de la résistance de l'air.
4. Le texte cité de Galilée dans le Dialogo est donc à prendre avec précaution, ainsi que la conclusion qui en est tirée. Une preuve en est la lettre de Mersenne au jeune Huygens : après avoir dit grande merveille de Torricelli, la question est posée : qu'en est-il du facteur K(k)/K(0) (en notations modernes) ?