On introduit progressivement la non-linéarité:
On considère donc l'équation différentielle approchée, dite de Duffing, obtenue en remplaçant sinθ par :
On montre alors que la période dépend de l'amplitude. La formule de Borda donne :
Le terme négligé qui suit est . Cette formule suffit jusqu'à π/2, à 3% de précision (1 + 10/64 = 1.156 au lieu de 1.18). Il en existe plusieurs démonstrations :
d'où par la formule de Wallis : ,soit .
On considère le cas pleinement non-linéaire. Ecrivons la conservation de l'énergie mécanique
sous la forme : , avec
Posons H = 2lk2. Il existe trois cas :
Entre 0 et θ0, on a . Un petit angle élémentaire dθ est parcouru pendant un intervalle de temps élémentaire . La période totale des oscillations est donc , et on montre que : avec où K, sn et cn sont des fonctions elliptiques de Jacobi, K étant tabulée ci-dessous.
θ en degré | θ en radian | |||
---|---|---|---|---|
10 | 0,175 | 1,00 | 1,00 | 1,00 |
20 | 0,349 | 1,01 | 1,01 | 1,01 |
30 | 0,524 | 1,02 | 1,02 | 1,02 |
40 | 0,698 | 1,03 | 1,03 | 1,03 |
50 | 0,873 | 1,05 | 1,05 | 1,05 |
60 | 1,047 | 1,07 | 1,07 | 1,07 |
70 | 1,222 | 1,09 | 1,10 | 1,10 |
80 | 1,396 | 1,12 | 1,14 | 1,14 |
90 | 1,571 | 1,15 | 1,18 | 1,18 |
100 | 1,745 | 1,19 | 1,22 | 1,23 |
110 | 1,920 | 1,23 | 1,28 | 1,30 |
120 | 2,094 | 1,27 | 1,34 | 1,37 |
130 | 2,269 | 1,32 | 1,42 | 1,47 |
140 | 2,443 | 1,37 | 1,50 | 1,60 |
150 | 2,618 | 1,43 | 1,60 | 1,76 |
160 | 2,793 | 1,49 | 1,71 | 2.01 |
170 | 2,967 | 1,55 | 1,83 | 2,44 |
180 | 3,142 | 1,62 | 1,96 |
La fonction K admet également le développement suivant : , où est un coefficient binomial. En remplaçant k par et en se limitant aux deux premiers termes, on retrouve la formule de Borda.
Temps infini pour monter à la verticale où ch et th sont respectivement le cosinus et la tangente hyperbolique.
Il est parfois judicieux de prendre pour période le temps mis pour faire deux tours. En effet, pour k légèrement inférieur à 1, le pendule effectue une trajectoire de longueur voisine de 4π. Avec cette convention, on a alors (Voir Chenciner (Pendule à Gazette).
On a également : où sn et dn sont des fonctions elliptiques de Jacobi.
On appelle orbite de phase la représentation paramétrée en temps du couple (θ(t),), ou de fonctions monotones de celles-ci. Dans le graphe ci-dessous, θ est en abscisse et en ordonnée. On discerne :
Il paraît clair dorénavant que si l'on établit un mécanisme quelconque qui peut soustraire ou ajouter une petite énergie au pendule au voisinage de l'élongation π, on aura un phénomène difficile à prévoir même s'il est déterministe: exemple , placer un tout petit pendule accroché à la masse m: on a ainsi un pendule double ; les oscillations non-linéaires de ce pendule, lesté d'un tel minuscule pendule, laissent pantois quand on les enregistre: Poincaré fut , avec Liapunov , un des premiers à considérer ce genre de problème; puis Birkhoff; puis l'école russe entraînée par la haute figure de Kolmogorov, et puis celle de Bogoliubov et de Krylov, puis Arnold,... jusqu'au moment où un article de 1971 de Ruelle et Takens vînt suggérer que la situation était normale dès que l'espace des phases était à trois dimensions ou plus [on utilise parfois l'expression 1.5 degré de liberté].