Opérateur différentiel - Définition

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- Introduction - Notations - Transformée de Fourier - Définition d'un opérateur différentiel - Exemples importants pour la physique théorique - Classification des opérateurs différentiels - Cas général - Opérateur différentiel à coefficients constants

Introduction

Un opérateur différentiel est un opérateur agissant sur des fonctions différentiables.

Lorsque la fonction est à une seule variable, l'opérateur différentiel est construit à partir des dérivées ordinaires.

Lorsque la fonction est à plusieurs variables, l'opérateur différentiel est construit à partir des dérivées partielles.

Notations

Soit $Ω$ un ouvert de $\R^n$ , et $x$ un point de $Ω$ . On introduit les $n$ coordonnées $x k (k = 1,..., n)$ . Supposons que l'on ait une fonction des $n$ variables : $x k$ .

Dérivées du premier ordre

Pour simplifier les écritures, on note usuellement la dérivée partielle première par rapport à la coordonnée $x k$ par le symbole :

On est également amené à introduire l'opérateur différentiel $D k$ du premier ordre défini par :

Dans cette définition, $i$ est la « racine de l'unité » complexe : $i 2 = - 1$ . L'intérêt de définir cet opérateur $D k$ apparaitra plus tard, en relation avec la transformée de Fourier.

On utilise les notations sous forme de multi-indices : un multi-indice $α$ est un $n$ -uplet d'entiers

Sa longueur $| α |$ est définie comme la somme des $α i$ et on définit enfin la multi-factorielle :

Dérivées d'ordres plus élevés

La dérivée partielle d'ordre $α k$ par rapport à la coordonnée $x k$ correspond au symbole : $\partial^{\alpha_k}_k$
On définit alors les dérivées partielles, d'ordre global $| α |$ : $\partial^{\alpha} \ = \ \partial^{\alpha_1}_1 \ \dots \ \partial^{\alpha_n}_n$
Et les opérateurs différentiels $D α$ , d'ordre global $| α |$ : $\mathrm D^{\alpha} \ = \ \mathrm D^{\alpha_1}_1 \ \dots \ \mathrm D^{\alpha_n}_n$

Transformée de Fourier

Introduction de la transformée de Fourier

On définit ici la transformée de Fourier de la fonction $f (x)$ de $n$ variables $x k (k = 1,..., n)$ par :

$\hat{f}(\xi) \ = \ \int_{\mathbb{R}^n} \mathrm dx \ e^{- \, i \, < \, \xi \, , \, x \, >} \ f(x)$

Dans cette définition :

on note $ξ$ le $n$ -uplet constitué des variables : $ξ k (k = 1,..., n)$ .
la mesure est : $\mathrm dx = \prod_{k=1}^{n} \mathrm dx_k$ .
le facteur $<\xi \, , \, x>$ dans l'exponentielle oscillante désigne le produit scalaire : $<\xi \, , \, x> = \sum_{k=1}^{n} x_k \, \xi_k$ .

La formule de transformation inverse s'écrit alors :

$f(x) \ = \ \int_{\mathbb{R}^n} \mathrm d \tilde{\xi} \ e^{+ \, i \, < \, \xi , \, x \, >} \ \hat{f}(\xi)$

où la mesure est : $\mathrm d \tilde{\xi} \ = \ \frac{\mathrm d \xi}{(2\pi)^n} \quad$ avec $\mathrm d\xi = \prod_{k=1}^{n} \mathrm d\xi_k$ .

Application aux opérateurs différentiels

Appliquons l'opérateur différentiel $\mathrm D_k = - \, i \, \partial_k$ à la représentation de Fourier de la fonction $f (x)$ . En supposant qu'on puisse intervertir la dérivation et l'intégration, on obtient :

$\mathrm D_k \, f(x) \ = \ \int_{\mathbb{R}^n} \mathrm d \tilde{\xi} \ \left( \ - \ i \ \partial_k \ e^{+ \, i \, < \, \xi \, , \, x \, >} \ \right) \ \hat{f}(\xi) \ = \ \int_{\mathbb{R}^n} \mathrm d \tilde{\xi} \ e^{+ \, i \, < \, \xi \, , \, x \, >} \ \xi_k \ \hat{f}(\xi)$

qu'on peut écrire : $(\widehat{\mathrm D_k \, f})(\xi) = \xi_k \ \hat{f}(\xi)$ . On en déduit que :

où : $\xi^{\alpha} = \xi_1^{\alpha_1} \ \times \ \dots \ \times \ \xi_n^{\alpha_n}$ . L'opérateur différentiel $\mathfrak{D}$ d'ordre $m$ vérifie donc la relation :

$(\mathfrak{D} \,f)(x) \ = \ \sum_{|\alpha| = 0}^m \ a_{\alpha}(x) \ \int_{\mathbb{R}^n} \mathrm d \tilde{\xi} \ e^{+ \, i \, < \, \xi \, , \, x \, >} \ \xi^{\alpha} \ \hat{f}(\xi)$

On peut intervertir la somme et l'intégrale pour écrire :

$(\mathfrak{D} \,f)(x) \ = \ \int_{\mathbb{R}^n} \mathrm d \tilde{\xi} \ e^{+ \, i \, < \, \xi \, , \, x \, >} \ \left( \ \sum_{|\alpha| = 0}^m \ a_{\alpha}(x) \ \xi^{\alpha} \ \right) \ \hat{f}(\xi)$

Symbole d'un opérateur différentiel

On appelle symbole de l'opérateur différentiel $\mathfrak{D}$ d'ordre $m$ la fonction $σ(x,ξ)$ des $2 n$ variables $(x,ξ)$ polynomiale en $ξ$ de degré $m$ :

de telle sorte que :

$(\mathfrak{D} \,f)(x) \ = \ \int_{\mathbb{R}^n} \mathrm d \tilde{\xi} \ e^{+ \, i \, < \, \xi \, , \, x \, >} \ \sigma (x,\xi) \ \hat{f}(\xi)$

On constate que cette formule pourrait en fait permettre de définir l'opérateur $\mathfrak{D}$ à partir de son symbole $σ$ . Cette idée sera mise à profit dans la théorie des opérateurs pseudo-différentiels.

Attention : pour un opérateur différentiel dont les coefficients $a α (x)$ ne sont pas constants, le symbole $σ(x,ξ)$ dépend des coordonnées d'espace $x$ , et l'expression $\sigma(x,\xi) \, \hat{f}(\xi)$ n'est pas la transformée de Fourier de $(\mathfrak{D} \, f)(x)$ , c’est-à-dire que :

La formule correcte de la transformée de Fourier est calculée dans le paragraphe « ».

Symbole principal d'un opérateur différentiel

On appelle symbole principal de l'opérateur différentiel $\mathfrak{D}$ d'ordre $m$ la fonction :

Définition d'un opérateur différentiel

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