Opérateur différentiel - Définition

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- Introduction - Notations - Transformée de Fourier - Définition d'un opérateur différentiel - Exemples importants pour la physique théorique - Classification des opérateurs différentiels - Cas général - Opérateur différentiel à coefficients constants

Définition d'un opérateur différentiel

Définition

Un opérateur différentiel linéaire d'ordre $m$ est défini par :

où les $a α (x)$ sont des fonctions de $n$ variables, appelées coefficents de l'opérateur $\mathfrak{D}$ .

Propriété de localité

Un opérateur différentiel $\mathfrak{D}$ est local au sens où, pour déterminer ses effets $\mathfrak{D} \, f(x)$ sur une fonction $f (x)$ suffisamment différentiable, seule la connaissance de la fonction dans le voisinage du point $x$ est nécessaire.

Exemples importants pour la physique théorique

La physique théorique fait un usage abondant de trois opérateurs d'ordre 2 :

Opérateur laplacien

L'opérateur laplacien est un opérateur elliptique, qui s'écrit :

en coordonnées cartésiennes dans $\R^n$ : $\Delta \ = \ \sum_{k=1}^n \ \frac{\partial^2 ~~}{\partial x_k^2}$

soit en coordonnées cartésiennes tridimensionnelles : $\Delta \ = \ \frac{\partial^2 ~~}{\partial x^2} \ + \ \frac{\partial^2 ~~}{\partial y^2} \ + \ \frac{\partial^2 ~~}{\partial z^2}$

Cet opérateur est notamment utilisé en mécanique newtonienne, en électromagnétisme, et en mécanique quantique non relativiste.

Opérateur d'alembertien

L'opérateur d'alembertien est un opérateur hyperbolique, qui s'écrit en coordonnées cartésiennes $(x, t)$ dans $\R^{n+1}$ :

où $Δ$ est le laplacien à $n$ variables d'espace, $t$ est le temps, et $c$ une constante positive, homogène à une vitesse. Cet opérateur est utilisé pour décrire la propagation des ondes à la vitesse $c$ dans l'espace-temps. Il est notamment utilisé en acoustique, en électromagnétisme, et en théorie quantique des champs.

Opérateur de la chaleur

L'opérateur de la chaleur, qui s'écrit en coordonnées cartésiennes $(x, t)$ dans $\R^{n+1}$ :

où $Δ$ est le laplacien à $n$ variables d'espace, $t$ est le temps, et $\tilde{D}$ est ici une constante, appelée coefficient de diffusion. Cet opérateur est dit parabolique.

Classification des opérateurs différentiels

Opérateur elliptique

L'opérateur différentiel $\mathfrak{D}$ est dit elliptique au point $x \ \in \ \Omega$ si et seulement si :

$\mathfrak{D}$ est dit elliptique dans $Ω$ s'il est elliptique pour tout point $x \ \in \ \Omega$ .

Opérateur hyperbolique

L'opérateur différentiel $\mathfrak{D}$ est dit hyperbolique dans la direction $η$ au point $x \ \in \ \Omega$ si et seulement si : $\sigma_m (x, \eta) \ne 0$ et si, pout tout $ξ$ non colinéaire à $η$ , les racines $λ i$ de l'équation :

sont toutes réelles. Si, de plus, les $m$ racines réelles sont toutes distinctes, l'opérateur $\mathfrak{D}$ est dit strictement hyperbolique dans la direction $η$ .

$\mathfrak{D}$ est dit (strictement) hyperbolique dans la direction $η$ dans $Ω$ s'il est strictement hyperbolique dans la direction $η$ pour tout point $x \ \in \ \Omega$ .

Cas général

On a vu que plus haut :

$(\mathfrak{D} \,f)(x) \ = \ \int_{\mathbb{R}^n} \mathrm d \tilde{\xi} \ e^{+ \, i \, < \, \xi \, , \, x \, >} \ \sigma (x,\xi) \ \hat{f}(\xi)$

Pour un opérateur différentiel dont les coefficients $a α (x)$ ne sont pas constants, le symbole $σ(x,ξ)$ dépend des coordonnées d'espace $x$ , et on a :

Expression de la transformée de Fourier

Partons de la relation générale :

$(\mathfrak{D} \,f)(x) \ = \ \sum_{|\alpha| = 0}^m \ a_{\alpha}(x) \ \int_{\mathbb{R}^n} \mathrm d \tilde{\xi} \ e^{+ \, i \, < \, \xi \, , \, x \, >} \ \xi^{\alpha} \ \hat{f}(\xi)$

Si l'on introduit la transformée de Fourier des coefficients :

$a_{\alpha}(x) \ = \ \int_{\mathbb{R}^n} \mathrm d \tilde{\eta} \ e^{+ \, i \, < \, \eta \, , \, x \, >} \ \hat{a}_{\alpha}(\eta)$

on obtient :

$(\mathfrak{D} \,f)(x) \ = \ \sum_{|\alpha| = 0}^m \ \int_{\mathbb{R}^n} \mathrm d \tilde{\eta} \ e^{+ \, i \, < \, \eta \, , \, x \, >} \ \hat{a}_{\alpha}(\eta) \ \times \ \int_{\mathbb{R}^n} \mathrm d \tilde{\xi} \ e^{+ \, i \, < \, \xi \, , \, x \, >} \ \xi^{\alpha} \ \hat{f}(\xi)$

soit :

$(\mathfrak{D} \,f)(x) \ = \ \sum_{|\alpha| = 0}^m \ \int_{\mathbb{R}^n} \mathrm d \tilde{\eta} \ \int_{\mathbb{R}^n} \mathrm d \tilde{\xi} \ e^{+ \, i \, < \, (\xi + \eta ) \, , \, x \, >} \ \hat{a}_{\alpha}(\eta) \ \xi^{\alpha} \ \hat{f}(\xi)$

A $ξ$ fixé, on fait le changement de variable : $\eta \to t = \xi + \eta$ , ce qui donne :

$(\mathfrak{D} \,f)(x) \ = \ \sum_{|\alpha| = 0}^m \ \int_{\mathbb{R}^n} \mathrm d \tilde{t} \ e^{+ \, i \, < \, t \, , \, x \, >} \ \int_{\mathbb{R}^n} \mathrm d \tilde{\xi} \ \hat{a}_{\alpha}(t - \xi) \ \xi^{\alpha} \ \hat{f}(\xi)$

On reconnait le produit de convolution :

d'où :

$(\mathfrak{D} \,f)(x) \ = \ \sum_{|\alpha| = 0}^m \ \int_{\mathbb{R}^n} \mathrm d \tilde{t} \ e^{+ \, i \, < \, t \, , \, x \, >} \ \left( \, \hat{a}_{\alpha} \ * \ \xi^{\alpha} \ \hat{f} \, \right)(t)$

qu'on peut réécrire :

Opérateur différentiel à coefficients constants

Si les coefficients $a α$ sont indépendants des $n$ variables d'espace $x k$ , le symbole de l'opérateur différentiel $\mathfrak{D}$ d'ordre $m$ est seulement une fonction $σ(ξ)$ des $n$ variables $ξ$ polynomiale en $ξ$ :

de telle sorte que :

Le symbole principal de l'opérateur différentiel $\mathfrak{D}$ d'ordre $m$ à coefficients constants est la fonction des $n$ variables $ξ$ :

Transformée de Fourier

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