Nombre transcendant - Définition

Problèmes ouverts

Les nombres dont on ignore s'ils sont transcendants ou non incluent :

• , , , , , ,

• La constante d'Euler-Mascheroni (dont on ignore même si elle est irrationnelle)

• La constante de Catalan (dont on ignore aussi si elle est irrationnelle)

• La constante d'Apéry (dont on sait qu'elle est irrationnelle)

Tous les nombres de Liouville sont transcendants, néanmoins les nombres transcendants ne sont pas tous des nombres de Liouville. Tout nombre de Liouville doit avoir des termes non bornés dans son développement en fraction continue, donc en utilisant un argument de dénombrement, on peut montrer qu'il existe des nombres transcendants qui ne sont pas des nombres de Liouville. En utilisant le développement explicite en fraction continue de e, on peut montrer que e n'est pas un nombre de Liouville. Kurt Mahler montra en 1953 que n'est pas non plus un nombre de Liouville. Il a été conjecturé que toutes les fractions continues à termes bornés qui ne sont pas périodiques à partir d'un certain rang sont transcendantes (les fractions continues périodiques à partir d'un certain rang correspondent aux irrationnels quadratiques).

La généralisation du septième problème de Hilbert qui serait de caractériser les transcendants parmi tous les nombres lorsque et est algébrique, reste non résolue^{[réf. souhaitée]}. On sait que si est rationnel alors est algébrique, et (d'après le théorème de Gelfond-Schneider mentionné plus haut) que si est algébrique irrationnel alors est transcendant, mais qu'en est-il si est transcendant ? (Il peut arriver que soit algébrique, comme dans l'exemple , .)

Quelques nombres transcendants connus

• Par le théorème d'Hermite-Lindemann,
  • le nombre e (base des logarithmes néperiens), et plus généralement
  • les nombres e^a pour tout nombre a algébrique non nul ;
  • le nombre sin(1), et plus généralement
  • les nombres cos(a) et sin(a), pour tout nombre a algébrique non nul.
• Par la contraposée de ce même théorème,
  • Le nombre (voir l'article pi),
  • les nombres log(a) si a est un réel algébrique strictement positif et différent de 1.
• Par le théorème de Gelfond-Schneider,
  • le nombre (constante de Gelfond-Schneider),
  • le nombre réel (constante de Gelfond),
  • le nombre réel (racine carrée de l'inverse du précédent),
  • plus généralement les nombres a^b où a est un nombre algébrique différent de 0 et de 1 et où b est algébrique mais non rationnel.
• Par la contraposée de ce même théorème,
  • des nombres tels que log(3)/log(2).
• Des nombres tels que xlog(2)+ylog(3)+zlog(5) avec x, y, z algébriques non tous nuls (voir le théorème de Baker).
• , et , où Γ est la fonction gamma d'Euler.
• Le nombre de Champernowne 0,12345678910111213… obtenu en écrivant à la suite les entiers naturels en base dix (théorème de Mahler, 1961)
• 

où est la partie entière de . Par exemple, si , ce nombre est 0,11010001000000010000000000000001000…

• , constante de Chaitin, et plus généralement : chaque nombre non-calculable est transcendant (puisque tous les nombres algébriques sont calculables).
• constante de Prouhet-Thue-Morse

Toute fonction algébrique non constante à une variable donne une valeur transcendante lorsqu'on lui applique une valeur transcendante. Donc, par exemple, en sachant que est transcendant, nous pouvons immédiatement déduire que , , et sont aussi transcendants.

Néanmoins, une fonction algébrique à plusieurs variables peut donner un nombre algébrique lorsqu'elle est appliquée aux nombres transcendants si ces nombres ne sont pas algébriquement indépendants. Par exemple, et sont tous les deux transcendants, mais ne l'est évidemment pas. On ignore si , par exemple est transcendant, mais au moins l'un des deux nombres et doit être transcendant. Plus généralement, pour deux nombres transcendants a et b, au moins l'un de a+b et ab doit être transcendant. Pour voir cela, considérons le polynôme  ; si (a+b) et a b étaient tous deux algébriques, alors ce polynôme serait à coefficients algébriques. Comme les nombres algébriques forment un corps algébriquement clos, ceci impliquerait que les racines du polynôme, a et b soient algébriques. Mais ceci est une contradiction et ainsi, au moins un des deux coefficients est transcendant.