Nombre premier - Définition

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Questions ouvertes

Il y a beaucoup de questions ouvertes sur les nombres premiers. Par exemple :

  • La conjecture de Goldbach : tout nombre pair strictement supérieur à 2 peut-il s'écrire comme somme de deux nombres premiers ?
  • La conjecture de De Polignac : tout entier naturel pair peut-il s'écrire comme différence de deux nombres premiers consécutifs et cela d'une infinité de manières?
  • Conjecture des nombres premiers jumeaux : un couple de nombres premiers jumeaux est une paire de nombres premiers dont la différence est égale à 2, comme 11 et 13. Existe-t-il une infinité de jumeaux premiers ? (cas particulier de la conjecture de De Polignac pour n=2)
  • Toute suite de Fibonacci généralisée dont les deux termes initiaux sont premiers entre eux contient-elle une infinité de nombres premiers ?
  • Existe-t-il une infinité de nombres premiers de Fermat ou de Mersenne?
  • Y a-t-il une infinité de nombres premiers de la forme n² + 1 ?
  • Y a-t-il une infinité de nombres premiers factoriels ?
  • Y a-t-il une infinité de nombres premiers primoriels ?
  • Soit la suite, dite d'Euclide-Mullin, de premier terme u1=2 et telle que le terme un soit le plus petit nombre premier diviseur du produit des termes ui, pour i, augmenté de 1. Tous les nombres premiers apparaissent-ils dans cette suite ? C'est une conjecture de Daniel Shanks.
  • La conjecture de Legendre affirme qu'il existe toujours au moins un nombre premier entre n² et (n+1)². Cette conjecture non démontrée est liée à l'hypothèse de Riemann et, comme cette dernière, non démontrée.
  • L'hypothèse H de Schinzel, qui englobe la conjecture des nombres premiers jumeaux, dit que si on a une famille finie de polynômes à coefficients entiers, alors il existe une infinité d'entiers n tels que tous les polynômes de la famille donnent des nombres premiers quand on les évalue en n (à condition qu'il n'y ait pas d'obstruction évidente pour ce soit le cas: par exemple, si un des polynôme est n(n+1) ou 2n, ce n'est clairement pas possible).
  • La conjecture de Bateman-Horn qui précise l'hypothèse de Schinzel en donnant une valeur approchée du nombre de n ayant cette propriété.

Généralisations des nombres premiers

La notion de nombre premier s'est vue généralisée au cours du dix-neuvième siècle dans d'autres structures algébriques que l'anneau des entiers relatifs. Pour résoudre des problèmes arithmétiques tels que le théorème des deux carrés, le théorème des quatre carrés, ou encore la loi de réciprocité quadratique (dont la première preuve est due à Carl Friedrich Gauss dans ses Disquisitiones Arithmeticae), les mathématiciens ont été amenés à mener des raisonnements sur la divisibilité analogues à ceux qui impliquent les nombres entiers dans d'autres anneaux, par exemple celui des entiers de Gauss ou celui des entiers d'Eisenstein.

Le point de vue moderne trouve sa source dans les travaux de Kummer, qui introduit la notion de « nombre premier idéal », dans sa tentative de démontrer le grand théorème de Fermat. Cette notion est à l'origine de la théorie moderne des anneaux d'entiers algébriques, suite aux travaux de Dedekind et Kronecker : en termes modernes, on dit que ces anneaux ont une structure d'anneaux de Dedekind ; notamment, le théorème sur la factorisation des nombres premiers y est remplacé par un résultat de factorisation des idéaux de l'anneau (c'est-à-dire les sous-groupes absorbants pour la multiplication, qui dans ce contexte sont en rapport avec ce que Kummer appelait « nombres idéaux ») en produit d'idéaux premiers. L'arithmétique dans ces anneaux a en général des liens profonds et difficiles avec l'arithmétique des nombres premiers classiques : par exemple, dans ses travaux sur le théorème de Fermat, Kummer parvient à démontrer l'impossibilité de trouver des solutions non triviales (c'est-à-dire avec x, y et z non nuls) à l'équation xp+yp=zp si p est un nombre premier vérifiant une condition portant sur la nature de l'anneau des entiers algébriques engendré par une racine primitive p-ème de l'unité ; c'est-à-dire si p est ce qu'on appelle un nombre premier régulier.

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