Nombre premier - Définition

Nombres premiers particuliers

Nombres premiers de Mersenne

Marin Mersenne.

Les nombres premiers de la forme :

M_p = 2^p − 1

où p est lui-même un nombre premier, sont appelés nombres premiers de Mersenne. Les grands nombres premiers sont souvent recherchés sous cette forme car il existe un test efficace, le test de primalité de Lucas-Lehmer, pour déterminer si un tel nombre est premier ou non.

En 2009, le plus grand nombre premier connu est M_43 112 609=2^43 112 609-1, qui comporte 12 978 189 chiffres en écriture décimale. Il s'agit (chronologiquement) du 45^e nombre premier de Mersenne connu et sa découverte a été annoncée le 23 août 2008 grâce aux efforts du projet collaboratif de calcul distribué « Great Internet Mersenne Prime Search ». Le 46^e nombre premier de Mersenne, 2^37 156 667-1, qui est inférieur au précédent a été découvert deux semaines plus tard ; le 12 avril 2009 était découvert, par le même projet GIMPS, le 47^e nombre premier de Mersenne, 2^{42 643 801}-1, lui aussi "légèrement" inférieur au premier cité.

L'Electronic Frontier Foundation offre un prix de calcul coopératif d'un montant de 100 000 USD pour la découverte d'un nombre premier d'au moins 10 millions de chiffres décimaux, afin d'encourager les internautes à contribuer à la résolution de problèmes scientifiques par le calcul distribué; ce prix devrait donc être attribué à GIMPS ; l'EFF offre également des prix plus importants (de 150 000 et 250 000 USD respectivement) pour la découverte de nombres premiers de 100 millions et 1 milliard de chiffres décimaux.

Nombres premiers jumeaux

Deux nombres premiers sont dits jumeaux s'ils ne différent que de deux. Hormis pour la paire (2, 3), cette distance de deux est la plus petite distance possible entre deux nombres premiers. Les plus petits nombres premiers jumeaux sont 3 et 5, 5 et 7, 11 et 13.

Au 15 janvier 2007, les plus grands nombres premiers jumeaux connus sont 2003663613 × 2¹⁹⁵⁰⁰⁰±1, qui possèdent 58 711 chiffres en écriture décimale et furent découverts par Éric Vautier dans le cadre des projets de calcul distribué Twin Prime Search et PrimeGrid.

Il est conjecturé qu'il existe une infinité de nombres premiers jumeaux.

Nombres premiers et nombres de Fermat

Pierre de Fermat.

Les nombres de la forme :

sont appelés les nombres de Fermat. Pierre de Fermat avait conjecturé que tous ces nombres devaient être premiers. Cependant, les seuls nombres de Fermat premiers connus sont F₀,F₁,F₂,F₃ et F₄. Le calcul donne :

Le nombre de Fermat F₅ n’est pas premier : il est divisible par 641.

Il s'agit du premier contre-exemple à cette conjecture de Fermat, découvert par Euler en 1732.

Structures algébriques, topologiques, et nombres premiers

12 n'est pas un nombre premier car il est l'aire d'un rectangle de côtés 3 et 4.

La notion de nombre premier est liée à l'étude de la structure multiplicative de l'anneau des entiers relatifs. Le théorème fondamental de l'arithmétique, basé sur le lemme d'Euclide, élucide cette structure en assurant que tout entier strictement positif se factorise en un produit de nombres premiers, de manière unique à l'ordre des facteurs près. Ce théorème permet de déterminer des notions de pgcd, ppcm, et de nombres premiers entre eux, qui sont utiles pour la résolution de certaines équations diophantiennes, notamment la caractérisation des triplets pythagoriciens.

D'autres problèmes naturels sont envisagés, comme la détermination de la proportion d'entiers premiers à un entier fixé. L'introduction de structures algébriques plus avancées permet de résoudre ce problème rapidement dans le cadre de l'arithmétique modulaire. De nombreux théorèmes classiques de nature arithmétique peuvent être énoncés, comme le petit théorème de Fermat, ou le théorème de Wilson ; ou des théorèmes de nature plus algébrique comme le théorème des restes chinois.

Le théorème des restes chinois est un premier résultat dans l'étude des groupes abéliens finis. Il est en fait suffisant pour décrire entièrement la structure de ces groupes, qui est donc en partie liée à la décomposition en produit de facteurs premiers de leurs cardinaux. Les choses sont plus compliquées pour les groupes non abéliens, cependant, l'étude se base à nouveau sur la décomposition en facteurs premiers de leurs cardinaux, à travers la théorie de Sylow.

Les nombres premiers interviennent aussi dans les structures topologiques. Le corps des nombres rationnels admet une structure topologique habituelle, qui donne par complétion le corps des nombres réels. Pour chaque nombre premier p, une autre structure topologique peut être construite, à partir de la norme suivante : si est un nombre rationnel non nul sous forme irréductible et que p^α et p^β sont les plus grandes puissances de p divisant a et b, la norme p-adique de x est p^{β − α}. En complétant le corps des rationnels suivant cette norme, on obtient le corps des nombres p-adiques, introduit par Kurt Hensel au début du XX^e siècle. Le théorème d'Ostrowski assure que ces normes p-adiques et la norme habituelle sont les seules sur le corps des nombres rationnels, à équivalence près.