Nombre premier de Mersenne - Définition

Historique

Les nombres premiers de Mersenne sont liés aux nombres parfaits, qui sont les nombres égaux à la somme de leurs diviseurs propres. C'est cette connexion qui a motivé historiquement l'étude des nombres premiers de Mersenne. Dès le IV^e siècle av. J.-C., Euclide démontrait que si M = 2^p - 1 est un nombre premier, alors M(M+1)/2 = 2^(p-1)(2^p - 1) est un nombre parfait. Deux millénaires plus tard, au XVIII^e siècle, Euler prouvait que tous les nombres parfaits pairs ont cette forme. Aucun nombre parfait impair n'est connu.

M_a divise M_p si a divise p. Donc pour que M_p soit premier, il faut que p soit premier. Cela simplifie déjà la recherche de nombres premiers de Mersenne. La réciproque n'est pas vraie: M_p peut être composé alors que p est premier ; le plus petit exemple est 2¹¹-1 = 23×89.

Pour les nombres de Mersenne il existe une méthode (comparativement) très rapide pour déterminer s'ils sont premiers, développée à l'origine par Lucas en 1878 et améliorée par Derrick Lehmer dans les années 1930. On peut effectivement montrer que pour un nombre premier p impair M_p = 2^p − 1 est premier si et seulement si M_p divise S_{p − 1}, où S₁ = 4 et pour k > 1, .

Mersenne n'a pas inventé les nombres de Mersenne, mais il a fourni une liste de nombres premiers de Mersenne jusqu’à l'exposant 257. Malheureusement cette liste était fausse : elle incluait par erreur 67 et 257, et omettait 61, 89 et 107.

Les quatre premiers nombres premiers de Mersenne étaient connus dès l'Antiquité. Le cinquième (2¹³-1) a été découvert avant 1461 par un inconnu. Les deux suivants ont été trouvés par Cataldi en 1588. Plus d'un siècle plus tard, en 1750, Euler en trouva encore un. Le suivant dans l'ordre chronologique (mais non numérique) a été trouvé par Lucas en 1876, puis un par Pervushin en 1883. Deux autres ont été trouvés au début du XX^e siècle par Powers en 1911 et en 1914.

La recherche pour les nombres premiers de Mersenne fut révolutionnée par l'introduction des calculateurs électroniques. La première identification d'un nombre de Mersenne par ce moyen eut lieu à 22 heures le 30 janvier 1952 par un ordinateur SWAC à l'Institut d'Analyse Numérique (Institute for Numerical Analysis) du campus de Université de Californie - Los Angeles, sous la direction de Derrick Lehmer, avec un programme écrit par R.M. Robinson.

C'était le premier nombre premier de Mersenne identifié depuis 38 ans. Le suivant fut trouvé moins de deux heures plus tard par le même ordinateur, qui en trouva trois de plus dans les mois suivants.

En juin 2009, 47 nombres premiers de Mersenne étaient connus, le plus grand étant 2^43 112 609-1. Comme plusieurs de ses prédécesseurs, il a été découvert par un calcul distribué sous l'égide du projet GIMPS, Great Internet Mersenne Prime Search (qui signifie « grande recherche par Internet de nombres premiers de Mersenne »).