Numérations selon les cultures | |
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Numération arabo-indienne | |
arabe khmer indienne | mongole thaï |
Numérations à l’origine chinoise | |
chinoise japonaise | à bâtons suzhou |
Numérations alphabétiques | |
arménienne cyrillique d'Âryabhata éthiopienne | hébraïque grecque gotique tchouvache |
Autres systèmes : | |
attique brahmi champs d'urnes égyptienne étrusque | forestière inuite maya mésopotamienne romaine |
Notations positionnelles par base | |
Décimal (10) | |
2, 4, 8, 16, 32, 64 | |
1, 3, 6, 9, 12, 20, 24, 30, 36, 60, plus… | |
L’idée de quantité et sa codification visuelle sont vraisemblablement antérieures à l’apparition de l’écriture. Plusieurs procédés de comptage sont progressivement développés pour décrire la taille d’un troupeau et contrôler son évolution, suivre un calendrier ou mesurer des récoltes.
Au IVe millénaire avant notre ère, les civilisations mésopotamiennes utilisent ainsi des boules creuses d’argile contenant des jetons, puis des tablettes d’argile munies de marques. Un système de notation (dit « système S ») est employé pour la désignation des quantités discrètes, tandis que les surfaces et autres grandeurs sont représentées chacune selon un système de notation propre. Il faut attendre la fusion de ces systèmes, à la fin du IIIe millénaire avant notre ère, pour voir se former véritablement le concept du nombre abstrait, indépendant de ses réalisations concrètes.
Dans les systèmes de numération additifs, certains symboles (variables selon les cultures) représentent des quantités précises et sont juxtaposés pour désigner tous les nombres utiles.
Les systèmes alphabétiques associent la liste des lettres de l’alphabet (employant en renfort des lettres inusitées, désuètes ou inventées) aux neuf unités, neuf dizaines et neuf centaines pour écrire chaque nombre entre 1 et 999 en trois caractères maximum. Pour écrire des valeurs supérieures, un nouveau groupe de trois lettres maximum désignant les milliers est placé à gauche, séparé par une apostrophe.
Ce système est proche de l’écriture positionnelle chiffrée, dans laquelle chaque position ne contient (au plus) qu’un seul chiffre.
L’évaluation d’une quantité d’objets se fait plus ou moins rapidement selon la manière dont les objets sont rangés. Par exemple, seize jetons se comptent bien plus facilement s’ils sont disposés en carré que s’ils sont jetés en désordre sur une table. De même, la tetraktys des pythagoriciens est le rangement de dix points en triangle. D’autres formes sont étudiées sous cet angle dans le plan (hexagones par exemple) ou dans l’espace par des empilements de figures.
Cette vision des nombres comme des configurations géométriques permet entre autres d’interpréter le produit de deux nombres comme le rectangle dont les côtés sont décrits par ces deux nombres, d’où la nécessaire commutativité de la multiplication, c’est-à-dire que l’ordre dans lequel on effectue la multiplication n’a pas d’influence sur le résultat. D’autres propriétés arithmétiques peuvent s’énoncer géométriquement. Ainsi, un nombre est pair s’il est représentable par un rectangle sur deux lignes ; il est premier si la seule manière de le représenter sous forme de rectangle est une ligne de plusieurs points.
Certains nombres proviennent de rapports géométriques comme pi, rapport de la circonférence du cercle à son diamètre, ou le nombre d’or, né du problème de la division « en extrême et moyenne raison ».