Nombre ordinal - Définition

Propriétés

On montre que :

• Si deux ordinaux α et β sont donnés, alors ou bien , ce qu'on note également α < β, ou bien α = β, ou bien . On a l'équivalence entre et ( ou α = β), ce qu'on note .
• Tous les éléments d'un ordinal sont des ordinaux.
• Si est un ensemble bien ordonné, il existe un unique ordinal α et un unique isomorphisme d'ordre entre E et α ; en particulier si α et β sont deux ordinaux isomorphes alors α = β et l'isomorphisme est l'identité.
• L'intersection de deux ordinaux est un ordinal, égal au plus petit des deux ordinaux.
• La réunion de deux ordinaux est un ordinal, égal au plus grand des deux ordinaux.
• Si α est un ordinal, aussi. Ce dernier ordinal est noté α + 1. Si α < β, alors . Il n'existe donc aucun ordinal entre α et α + 1, qu'on peut donc qualifier d'ordinal successeur de α.
• Si A est un ensemble dont les éléments sont des ordinaux, alors est un ordinal, borne supérieure de A pour la relation d'appartenance. (On note la réunion des ordinaux éléments de A).
• Si α est un ordinal non vide, alors :

ou bien α possède un élément maximal β. Alors , mais (puisque β est maximal), donc β + 1 = α.

ou bien α ne possède pas d'élément maximal. Alors et on montre alors que . Dans ce dernier cas, on dit que α est un ordinal limite. Un exemple d'un tel ordinal est donné par ω, plus petit ordinal infini.

• On dit que l'ordinal α est fini si α n'est pas un ordinal limite et ne contient aucun ordinal limite ; autrement dit α est infini s'il existe un ordinal limite .
• Récurrence transfinie. Cette récurrence généralise le principe de récurrence qu'on applique sur les entiers à tous les ordinaux. Si est une propriété portant sur les ordinaux, telle que, pour tout ordinal α, l'implication suivante soit vraie :

alors est vraie pour tous les ordinaux. Dans le cas contraire, il suffirait de considérer le plus petit ordinal α tel que soit fausse pour obtenir une contradiction.

On utilise souvent une variante de ce principe pour définir une fonction sur les ordinaux par récurrence. Il suffit de donner trois cas  ;

• Cas de base : f(0) = X₀ où X₀ est un ensemble donné ;
• Cas successeur : f(α + 1) = g(α,f(α)) où g est une fonction donnée ;
• Cas limite : .

Les deux premiers cas sont les deux usuels de la récurrence sur les entiers, le troisième est nécessaire pour étendre le schéma à tous les ordinaux.

Définition

On définit un nombre ordinal de l'une des deux manières suivantes :

• La première définition est basée sur les classes d'équivalence d'ensembles ordonnés. Un ordinal est un ensemble bien ordonné, considéré à un isomorphisme d'ordre près (dans la catégorie des bons ordres où les morphismes sont les applications croissantes et les isomorphismes les bijections croissantes). Ainsi, si on change les noms des éléments d'un bon ordre, tant qu'on ne change pas la manière dont les éléments se comparent entre eux, on parle toujours du même ordinal.

• La seconde définition est due à John von Neumann, et traduit le fait qu'un ordinal est défini par l'ensemble des ordinaux qui le précèdent. Un ordinal α est un ensemble vérifiant les deux propriétés suivantes :

(i) La relation d'appartenance ∈ sur cet ensemble est un bon ordre strict (c'est-à-dire un ordre strict dont l'ordre large associé est un bon ordre).

(ii) Cet ensemble est transitif, ce qui signifie que : .

C'est cette dernière définition que nous adopterons dans la suite de l'article. Usuellement, les ordinaux sont désignés par des lettres grecques, les ensembles en général par des lettres latines.

En appliquant la définition précédente, les entiers naturels peuvent être construits de la façon suivante :

0 = {} (ensemble vide)

n+1 = n U {n}

Un entier positif est ainsi identifié à l'ensemble de ses prédécesseurs sur N. Exemples :

1 = {0} = { {} }

2 = {0,1} = { {}, { {} } }

3 = {0,1,2} = {{}, { {} }, { {}, { {} } }}

4 = {0,1,2,3} = { {} , { {} }, { {}, { {} } } , {{}, { {} }, { {}, { {} } }} } etc.

De cette manière, tout entier naturel est un ensemble bien ordonné par la relation d'appartenance , et l'inclusion des ensembles se traduit par un ordre sur les entiers naturels.

L'existence des ordinaux infinis est assuré par l'axiome de l'infini. Le premier nombre ordinal transfini (i.e. infini) est noté ω. Il correspond à l'ensemble des nombres entiers naturels .

L'ordinal qui suit est , noté ω + 1.

Pour définir une notation adaptée aux ordinaux suivants, nous aurons besoin de définir des opérations arithmétiques sur les ordinaux.

Les ordinaux sont totalement ordonnés au sens large par l'inclusion ou au sens strict par l'appartenance, mais ne forment pas un ensemble au sens des axiomes ZFC (la théorie des ensembles habituelle), mais une classe propre. Ceci peut-être mis en évidence grâce au paradoxe de Burali-Forti : l'ensemble des ordinaux serait par définition un ordinal ... mais qui serait strictement plus grand (aussi par définition) que tous les ordinaux. Et donc que lui-même, ce qui est contradictoire.