Nombre d'or - Définition

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Introduction

La proportion définie par a et b est dite d'extrême et de moyenne raison lorsque a est à b ce que a + b est à a - Soit lorsque (a+b)/a = a/b. Le rapport a / b est alors égal au nombre d'or.

Le nombre d'or est la proportion, définie initialement en géométrie, comme l'unique rapport entre deux longueurs telles que le rapport de la somme des deux longueurs (a+b) sur la plus grande (a) soit égal à celui de la plus grande (a) sur la plus petite (b) c'est-à-dire lorsque (a+b)/a = a/b. Le découpage d'un segment en deux longueurs vérifiant cette propriété est appelé par Euclide découpage en extrême et moyenne raison. Le nombre d'or est maintenant souvent désigné par la lettre φ (phi) en l'honneur du sculpteur Phidias qui l'aurait utilisé pour concevoir le Parthénon.

Ce nombre irrationnel est l'unique solution positive de l'équation x2 = x + 1. Il vaut exactement :

\frac{1+\sqrt{5}}{2}

soit approximativement 1,618 033 989. Il intervient dans la construction du pentagone régulier et du rectangle d'or. Ses propriétés algébriques le lient à la suite de Fibonacci et permettent de définir une arithmétique du nombre d'or source de nombreuses démonstrations.

L'histoire de cette proportion commence à une période reculée de l'antiquité grecque. À la Renaissance, Luca Pacioli, un moine franciscain italien, la met à l'honneur dans un manuel de mathématiques et la surnomme divine proportion en l'associant à un idéal envoyé du ciel. Cette vision se développe et s'enrichit d'une dimension esthétique, principalement au cours des XIXe et XXe siècles où naissent les termes de section dorée et de nombre d'or.

Le nombre d'or se trouve parfois dans la nature ou des œuvres humaines, comme dans les étamines du tournesol ou dans certains monuments à l'exemple de ceux conçus par Le Corbusier. Il est aussi étudié comme une clé explicative du monde, particulièrement pour la beauté. Il est érigé en théorie esthétique et justifié par des arguments d'ordre scientifique ou mystique : omniprésence dans les sciences de la nature et de la vie, proportions du corps humain ou dans les arts comme la peinture, l'architecture ou la musique.

Certains artistes, tels le compositeur Xenakis ou le poète Paul Valéry ont adhéré à une partie plus ou moins vaste de cette vision, soutenue par des livres très populaires. À travers la médecine, l'archéologie ou les sciences de la nature et de la vie, la science infirme les théories de cette nature car elles sont fondées sur des généralisations abusives et des hypothèses inexactes.

Géométrie

Proportion

Figure 1
Les triangles OAB et OCA sont semblables si et seulement si les longueurs a et b respectent la proportion d'or.

Le nombre d'or possède une première définition d'origine géométrique, fondée sur la notion de proportion :

Définition de la proportion d'or — Deux longueurs strictement positives a et b respectent la proportion d'or si et seulement si, le rapport de a sur b est égal au rapport de a + b sur a :

 \frac{a}{b} = \frac{a+b}{a} \quad (1)

Il existe une interprétation graphique de cette définition, conséquence des propriétés des triangles semblables illustrée par la figure 1. Les segments bleus sont de longueur a et le rouge de longueur b. Dire que la proportion définie par a et b est d'or revient à dire que les triangles OAB et OCA sont semblables. Euclide exprime la proportion d'or, qu'il appelle extrême et moyenne raison, de la manière suivante : Une droite est dite coupée en extrême et moyenne raison lorsque la droite entière est au plus grand segment comme le plus grand segment est au plus petit.

Si a et b sont en proportion d'extrême et de moyenne raison, alors le rapport a / b est constant, ce qui donne une nouvelle définition du nombre d'or :

Définition du nombre d'or — Le nombre d'or est le nombre réel positif, noté φ, égal à la fraction a / b si a et b sont deux nombres en proportion d'extrême et de moyenne raison. Il est donné par la formule :

\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \simeq 1,618\, 033\, 988\, 749\, 894\, 848\, 204\, 586\, 834\, 365

La proportion (1), définissant la proportion d'or, peut être écrite de la manière suivante, obtenue en multipliant l'égalité par a / b :

 \frac {a+b}a =\frac ab \Leftrightarrow 1 + \frac ba = \frac ab \Leftrightarrow \frac ab + 1 = \left(\frac ab\right)^2 \Leftrightarrow  \left(\frac ab\right)^2 - \frac ab - 1 =  0

Ce qui revient à dire que φ est solution d'une équation du second degré. Cette propriété donne lieu à une troisième définition :

Définition alternative du nombre d'or — Le nombre d'or est l'unique solution positive de l'équation du second degré suivante :

x^2 - x - 1 = 0 \;

Cette équation est équivalente à celle indiquant que l'inverse de l'inconnue x est égal à x - 1 ou encore que le développement décimal de 1/x est le même que celui de x, auquel on a retranché sa partie entière.

Il existe deux modes de définition du nombre d'or, celle géométrique qui s'exprime en termes de proportion et celle algébrique qui définit le nombre comme l'unique racine positive d'une équation. Cette double approche permet de résoudre un problème d'algèbre, en l'occurrence une équation du second degré, à l'aide de méthode géométrique, on parle d'algèbre géométrique.

Rectangle et spirale d'or

Construction, à la règle et au compas d'un segment de longueur égale au nombre d'or.

Les calculs précédents permettent, à l'aide d'une règle et d'un compas de dessiner une proportion d'extrême et de moyenne raison. La méthode est illustrée sur la figure de gauche. On dessine un cercle de centre C et de rayon 1 (en orange). Puis, de l'extrémité du rayon, on élève un segment (en vert) perpendiculaire au rayon, de longueur 1/2, et on trace le cercle de centre C' et de rayon 1/2. Le segment bleu qui a pour extrémités C et le point du cercle C' dans le prolongement de C C' est de longueur φ.

Rectangles d'or et divine proportion

Cette méthode permet aussi de construire un rectangle d'or, c'est-à-dire un rectangle de longueur a et de largeur b tel que a et b soient en proportion d'extrême et de moyenne raison. En d'autres termes, un rectangle est dit d'or si le rapport entre la longueur et la largeur est égal au nombre d'or.

Pour tracer un rectangle d'or de longueur a et de largeur b, le plus simple est de dessiner un carré de côté b. En prenant le milieu de la base comme centre, on trace un cercle passant par les deux sommets opposés. L'intersection de la droite prolongeant la base du carré et du cercle détermine l'extrémité de la base du rectangle d'or. Il apparait comme construit par l'adjonction à un carré de côté de longueur b, d'un rectangle de côtés de longueur b et a - b, comme le montre la figure de droite. Un rapide calcul montre que ce rectangle est encore d'or :

 \frac {a-b}b = \frac ab - 1 = \frac {a+b}a - 1 = \frac ba = \frac 1{\varphi} \quad\text{donc}\quad \frac b{a-b} = \varphi \;
Fibonacci spiral 34.svg

Il est possible de réitérer le processus précédent et d'intégrer un carré de côté a - b dans le rectangle d'or de côté b, a - b, comme indiqué sur la figure de gauche. Cette méthode peut être prolongée indéfiniment. Si, dans chaque carré est dessiné un quart de cercle d'extrémités deux côtés du carré, comme sur la figure, on obtient une spirale. Ce graphique est une bonne approximation d'une spirale d'or, d'équation polaire :

 r (\theta) = r.\varphi^{-\frac{\theta}{\pi/2}}

Cette spirale est un cas particulier de spirale logarithmique. Comme toute spirale de cette famille, elle possède une propriété caractéristique, si A est un point de la spirale, l'angle entre la droite passant par le centre de la spirale et A fait un angle constant avec la tangente à la spirale en A. Une telle spirale est dite équiangle.

D'autres figures se dessinent à l'aide du nombre d'or à l'instar de l'oeuf d'or.

Pentagone et pentagramme

Figure 3 : Une fois la proportion d'extrême et de moyenne raison construite, il est simple de dessiner un pentagone.

Un pentagone se construit à l'aide de la proportion d'extrême et moyenne raison. Soit un cercle de diamètre OP1 et de rayon a, illustré sur la figure de gauche. Si b est le nombre réel plus petit que a tel que a et b soit en proportion d'or, et P2, P3, P4 et P5 les intersections du cercle de diamètre OP1 avec les deux cercles de centre O et de rayon a + b et b, alors les cinq points Pi définissent un pentagone.

Nombre d'or Pentagramme.svg

Le pentagramme associé, c'est-à-dire la figure composée des cinq diagonales du pentagone (cf figure de droite), contient aussi de multiples proportions d'extrêmes et moyennes raisons. Elles s'expriment simplement à l'aide de triangles isocèles dont les longueurs des côtés sont en proportion d'or. De tels triangles sont appelés triangles d'or. Il en existe de deux types différents, les jaunes ayant une base proportionnelle à a et deux côtés à b et les orange ayant une base proportionnelle à b et deux côtés à a. Les triangles foncés sont semblables aux plus clairs de même couleur, la proportion entre clair et foncé est encore d'or.

Les triangles jaunes possèdent deux angles de 36°, soit le cinquième d'un angle plat et un de 108°, soit les trois cinquièmes d'un angle plat. Un tel triangle est parfois appelé triangle d'argent. Les triangles orange possèdent deux angles de 72°, soit les deux cinquièmes d'un angle plat et un angle de 36°. Avec des triangles d'or et d'argent dont les côtés sont toujours a et b, il est possible de paver intégralement un plan euclidien de manière non périodique. Un tel pavage est dit de Penrose.

Trigonométrie

Nombre d'or trigonométrie.svg

L'analyse des mesures des triangles d'argent et d'or permettent de déterminer les valeurs trigonométriques associées au pentagone. Considérons un triangle d'argent de base φ et donc de côtés adjacents de longueur 1. Ce triangle, coupé en son milieu, comme sur la figure de droite, est un triangle rectangle d'hypoténuse de longueur 1. Sa base est de longueur φ/2 car elle correspond à la demi-base du rectangle d'argent. On en déduit que le cosinus de 36° est égal à φ/2. Un raisonnement analogue s'applique au triangle d'or. Les côtés ont toujours une longueur 1, la base est en proportion d'or donc de longueur φ - 1. On en déduit que le cosinus de 72° est égal à (φ - 1)/2. À partir de ces valeurs et de différentes formules, il est possible de calculer les images par les fonctions trigonométriques des multiples ainsi que les moitiés de l'angle 36°.

Une autre manière de déterminer les différentes valeurs caractéristiques d'un pentagone consiste à utiliser le plan complexe. Les sommets sont les racines du polynôme cyclotomique X5 - 1. Sa résolution est particulièrement aisée car 5 est un nombre premier de Fermat, c'est-à-dire qu'il existe un entier n tel que 5 est égal à 2n + 1. Si p est un nombre premier, le polynôme régulier à p côtés est constructible à la règle et au compas si et seulement si, p est un nombre de Fermat. Dans ce cas, l'extraction des racines du polynôme cyclotomique s'obtient à l'aide de résolution d'équations du second degré. Ce cas est traité dans l'article Polynôme cyclotomique.

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