Nombre complexe - Définition et Explications

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Historique

Les nombres complexes apparaissent plus clairement au XVIe siècle, quand est établie une formule de calcul pour les racines polynomiales des équations cubiques et quartiques polynomiales par les mathématiciens italiens Niccolo Fontana Tartaglia (Niccolò Fontana Tartaglia, né à Brescia en 1499 et décédé à Venise en 1557, est un mathématicien  italien.) et Girolamo Cardano. On réalise très tôt que ces formules, même si l'on ne s'intéresse qu'aux solutions réelles, nécessitent parfois de manipuler la racine carrée (La racine carrée d’un nombre réel positif x est le nombre positif dont le carré vaut x. On le note ou x½; dans cette expression, x est appelé le radicande.) de nombres négatifs. Par exemple, la formule cubique de Tartaglia donne la solution suivante à l'équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre l'équation consiste à déterminer toutes les façons de donner...) x³ − x = 0:

\frac{1}{\sqrt{3}}\left(\sqrt{-1}^{1/3}+\frac{1}{\sqrt{-1}^{1/3}}\right).

Le calcul formel (Le calcul formel est un procédé de transformation d'expressions mathématiques.) avec les nombres complexes montre que l'équation z³ = i a pour solution −i, {\scriptstyle\frac{\sqrt{3}}{2}}+{\scriptstyle\frac{1}{2}}i et {\scriptstyle\frac{-\sqrt{3}}{2}}+{\scriptstyle\frac{1}{2}}i. En substituant ces résultats dans {\scriptstyle\sqrt{-1}^{1/3}} et en simplifiant, on obtient 0, 1 et −1 comme solutions de x³ − x = 0.

Ces méthodes de calcul sont obtenues alors que la notion de nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) négatif n'est pas encore validée à l'époque. L'appellation nombre imaginaire pour ces quantités est introduite, tant leur réalité est contestable, par René Descartes (René Descartes, né le 31 mars 1596 à La Haye en Touraine (localité rebaptisée Descartes par la suite) et mort à Stockholm...) en 1637. Une source de confusion supplémentaire réside dans le fait que l’équation \sqrt{-1}^2=\sqrt{-1}\sqrt{-1}=-1 combinée avec l'identité algébrique \sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab} (valide avec des réels positifs a et b) aboutit au résultat absurde -1=\sqrt{-1}\sqrt{-1}=\sqrt{(-1)^2}=\sqrt 1=1. L’utilisation incorrecte de cette identité (et de l’identité liée \frac{1}{\sqrt{a}}=\sqrt{\frac{1}{a}}) dans le cas où à la fois a et b sont négatifs tient notamment Leonhard Euler (Leonhard Paul Euler, né le 15 avril 1707 à Bâle et mort le 18 septembre 1783 à Saint-Pétersbourg, est un mathématicien et physicien...) en échec. C’est cette difficulté qui mène les mathématiciens de l’époque à convenir d’utiliser le symbole spécial i à la place de \sqrt{-1} pour se préserver de cette erreur.

Au XVIIIe siècle, en 1730, Abraham de Moivre énonce la formule bien connue qui porte son nom (formule de De Moivre) :

(\cos \theta + i\sin \theta)^{n} = \cos n \theta + i\sin n \theta \,

Peu de temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le changement dans le monde.) après, en 1748, Euler donne, quant à lui, la formule suivante (formule d'Euler) :

\cos \theta + i\sin \theta = e ^{i\theta }. \,

Ce n'est qu'en 1799 que l'existence des nombres complexes est complètement (Le complètement ou complètement automatique, ou encore par anglicisme complétion ou autocomplétion, est une fonctionnalité informatique permettant à l'utilisateur de limiter la...) admise avec l’interprétation géométrique décrite par Caspar Wessel. Plusieurs années après, Carl Friedrich Gauss (Johann Carl Friedrich Gauß (traditionnellement transcrit Gauss en français) (30 avril 1777 — 23 février 1855) est un mathématicien, astronome et...) la redécouvre et la popularise et c'est alors que cette théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une idée ou une connaissance spéculative, souvent basée sur...) prend un essor considérable. Il a noté cependant que l’idée d’une représentation graphique des nombres complexes est déjà mentionnée, en 1685, dans l’ouvrage de John Wallis De Algebra tractatus.

Un mémoire (D'une manière générale, la mémoire est le stockage de l'information. C'est aussi le souvenir d'une information.) de Wessel, clair et complet, apparaît dans les minutes ( Forme première d'un document : Droit : une minute est l'original d'un acte. Cartographie géologique ; la minute de terrain est la carte originale, au crayon, levée sur le terrain. ...) de l’Académie de Copenhague en 1799. Il y reconsidère la sphère (En mathématiques, et plus précisément en géométrie euclidienne, une sphère est une surface constituée de tous les...) et fournit une théorie des quaternions à partir de laquelle il développe une théorie complète sur la trigonométrie sphérique (La trigonométrie sphérique est un ensemble de relations analogues à celles de la trigonométrie euclidienne mais portant sur les angles et distances repérés sur une sphère.). Dans une publication de 1806, l’Abbé Buée reprend l’idée, suggérée par Wallis, que \pm\sqrt{-1} pourrait représenter 1 et -1 sur une ligne perpendiculaire (En géométrie plane, on dit que deux droites sont perpendiculaires quand elles se coupent en formant un angle droit. Le terme de perpendiculaire vient du latin per-pendiculum (fil à plomb) et justifie la généralisation de la...) à l’axe réel ; Jean-Robert Argand publie sur le même sujet au même moment. En 1831, Gauss établit une théorie relativement peu connue, et en 1832 publie son mémoire principal sur le sujet. On peut aussi mentionner le petit traité de Mourey (1828), dans lequel les fondements de la théorie des nombres (Traditionnellement, la théorie des nombres est une branche des mathématiques qui s'occupe des propriétés des nombres entiers, qu'ils soient entiers naturels ou entiers relatifs, et contient...) directionnels sont posés. L’acceptation générale de la théorie doit aussi beaucoup aux travaux de Augustin Louis Cauchy (Augustin Louis, baron Cauchy, né à Paris le 21 août 1789 et mort à Sceaux (Hauts-de-Seine) le 23 mai 1857, est un mathématicien...) et Niels Henrik Abel, ce dernier étant spécialement connu comme le premier à avoir fait, avec succès, un usage (L’usage est l'action de se servir de quelque chose.) massif (Le mot massif peut être employé comme :) des nombres complexes.

La plupart des termes communément utilisés dans la théorie sont dus aux fondateurs :

  • Argand appele cosφ + isinφ le facteur direction, et r = \sqrt{a^2+b^2} le module ;
  • Cauchy (1828) appelle cosφ + isinφ l'expression réduite ;
  • Gauss utilise i pour \sqrt{-1}, introduit le terme nombre complexe pour a + bi et appelle a2 + b2 la norme ;
  • Hankel (1867) appelle cosφ + isinφ coefficient directionnel ;
  • Weierstrass, quant à lui, emploie valeur absolue pour module.

Après Cauchy et Gauss suivront nombre de contributeurs. Parmi ceux-ci :

  • Kummer (1844) ;
  • Kronecker (1845),
  • Scheffler (1845, 1851, 1880) ;
  • Bellavitis (1835, 1852) ;
  • Peacock (1845) ;
  • De Morgan (1849) ;
  • Möbius à qui l'on doit de nombreuses publications sur les applications géométriques des nombres complexes ;
  • Dirichlet pour avoir étendu la théorie des nombres complexes et y incluant les nombres premiers, la notion de congruence, de réciprocité, etc., comme dans le cas des nombres réels.

Un anneau ou un corps est un ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble),...) de nombres stable par addition (L'addition est une opération élémentaire, permettant notamment de décrire la réunion de quantités ou l'adjonction de grandeurs extensives de même nature, comme les longueurs, les aires,...), soustraction (La soustraction est l'une des opérations basiques de l'arithmétique. La soustraction combine deux ou plusieurs grandeurs du même type, appelées...) et multiplication (La multiplication est l'une des quatre opérations de l'arithmétique élémentaire avec l'addition, la soustraction et la division .) (et division (La division est une loi de composition qui à deux nombres associe le produit du premier par l'inverse du second. Si un nombre est non nul, la fonction "division par ce...) dans le cas d'un corps. Gauss étudie les nombres complexes de la forme a + bi, où a et b sont entiers, ou rationnels. Son élève, Ferdinand Eisenstein, étudie les nombres de la forme a + bω, où ω est une racine complexe de x3 − 1 = 0. D’autres corps, dits cyclotomique, sont obtenus à partir des racines de l’unité xk − 1 = 0 pour k entier positif quelconque. Cette généralisation (La généralisation est un procédé qui consiste à abstraire un ensemble de concepts ou d'objets en négligeant les détails de façon...) est largement due à Kummer, qui invente aussi les nombres idéaux.

Enfin, parmi les derniers contributeurs (après 1884) de la théorie générale :

  • Weierstrass ;
  • Schwarz ;
  • Dedekind ;
  • Hölder ;
  • l'abbé Berloty ;
  • Poincaré ;
  • Eduard Study ;
  • MacFarlane.

Une définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.) formelle correcte, utilisant des paires de nombres réels, a été donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction, d'un événement, etc.) au XIXe siècle.

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