Nombre complexe - Définition et Explications

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Emplois en physique et ingénierie

Représentation des phénomènes périodiques et analyse de Fourier

La forme trigonométrique a permis de simplifier la modélisation et l’écriture de nombreux phénomènes, par exemple les phénomènes ondulatoires notamment à propos des ondes (Une onde est la propagation d'une perturbation produisant sur son passage une variation réversible de propriétés physiques locales. Elle transporte de l'énergie sans transporter de matière.) électromagnétiques, ou en électronique et plus précisément dans le domaine de l'analyse électronique des circuits contenant des auto-inductances (selfs ou bobines) notées L, des capacités notées C et des résistances notées R (exemples, R+jLw ou R-j/Cw). Dans le domaine de l'électronique, le i représentant l'imaginaire en mathématiques (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les figures, les structures et les transformations. Les mathématiques...), se note j. On peut tracer alors le diagramme (Un diagramme est une représentation visuelle simplifiée et structurée des concepts, des idées, des constructions, des relations, des données statistiques, de l'anatomie etc. employé...) de Fresnel et ce, quelle que soit l'expression.

En fait, on se sert du fait que \mathbb{C} contient \mathbb{R} pour simplifier les écritures. En effet, si l’on doit écrire qu’un paramètre (Un paramètre est au sens large un élément d'information à prendre en compte pour prendre une décision ou pour effectuer un calcul.) vaut r cos(θ), il faut deux réels, r et θ. Mais avec des complexes, il suffit d’UN nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».), ce qui est bien plus simple.

En électromagnétisme (L'électromagnétisme est une branche de la physique qui fournit un cadre très général d'étude des phénomènes électriques et magnétiques dans leur synthèse du champ électromagnétique : le champ électromagnétique...) toujours, mais dans un contexte (Le contexte d'un évènement inclut les circonstances et conditions qui l'entourent; le contexte d'un mot, d'une phrase ou d'un texte inclut les mots qui l'entourent. Le concept de contexte issu...) différent, on peut écrire le champ électromagnétique (Un champ électromagnétique est la représentation dans l'espace de la force électromagnétique qu'exercent des particules...) comme une combinaison (Une combinaison peut être :) complexe du champ électrique (En physique, on désigne par champ électrique un champ créé par des particules électriquement chargées. Un tel champ permet de déterminer en...) et du champ magnétique (En physique, le champ magnétique (ou induction magnétique, ou densité de flux magnétique) est une grandeur caractérisée par la donnée d'une intensité et d'une direction, définie en tout point de...). Pur artifice de calcul, on peut associer l’un ou l’autre de ces champs à la partie « imaginaire » du champ (Un champ correspond à une notion d'espace défini:) complexe obtenu : cela simplifie grandement les opérations.

On utilise également les complexes pour l’analyse de Fourier, très utilisée dans de nombreux domaines, comme le traitement du signal ( Termes généraux Un signal est un message simplifié et généralement codé. Il existe sous forme d'objets ayant des formes particulières. Les signaux lumineux sont employés depuis la nuit des...).

Mécanique des fluides (La mécanique des fluides est la branche de la physique qui étudie les écoulements de fluides c'est-à-dire des liquides et des gaz lorsque ceux-ci...) dans le plan

En mécanique (Dans le langage courant, la mécanique est le domaine des machines, moteurs, véhicules, organes (engrenages, poulies, courroies, vilebrequins, arbres de transmission, pistons, ...), bref, de tout ce qui produit ou...) des fluides (hydro/aérodynamique), on fait apparaître des potentiels et des vitesses complexes. En effet, pour un écoulement à deux dimensions, on peut décomposer la vitesse (On distingue :) du fluide (Un fluide est un milieu matériel parfaitement déformable. On regroupe sous cette appellation les gaz qui sont l'exemple des fluides compressibles, et les liquides, qui sont des fluides peu...) en vx et vy. Or, on montre que :

V_x = \frac{\partial\phi}{\partial x} = \frac{\partial\psi}{\partial y}
V_y = \frac{\partial\phi}{\partial y} = -\frac{\partial\psi}{\partial x}

Satisfaire à ces conditions (conditions de Cauchy-Riemann) équivaut à dire qu’il existe une fonction analytique telle que

f(z) = \phi + i \psi \,z=x+iy \,

Ceci permet encore d’écrire :

\frac{df}{dz}=\frac{\partial\phi}{\partial x} + i \frac{\partial\psi}{\partial x} = V_x -i V_y \,

On appelle f(z) le potentiel complexe, et sa dérivée (La dérivée d'une fonction est le moyen de déterminer combien cette fonction varie quand la quantité dont elle dépend, son argument, change. Plus précisément, une...) par rapport à z, la vitesse complexe. Grâce à cette fonction, on obtient directement le module de la vitesse, et sa direction (en prenant la forme trigonométrique). Surtout, on peut modéliser simplement un écoulement autour (Autour est le nom que la nomenclature aviaire en langue française (mise à jour) donne à 31 espèces d'oiseaux qui, soit appartiennent au genre Accipiter, soit constituent les 5 genres...) d’un obstacle, d’une manière simple et compacte. La fonction ψ doit être constante le long du profil de cet obstacle, ce qui permet une résolution simple de f, grâce à des résultats simples d’analyse complexe.

Mécanique quantique (La mécanique quantique est la branche de la physique qui a pour but d'étudier et de décrire les phénomènes fondamentaux à l'œuvre dans les systèmes...)

Autre simplification pour physiciens : la mécanique quantique nécessite les nombres complexes. Les fonctions d’ondes quantiques sont ainsi toutes complexes (voir Postulats de la mécanique quantique). Dans ce cas, toutefois, il est possible (selon des théories non quantiques) que cela corresponde à la structure réelle de l’univers : non plus à 4 dimensions (espace-temps), mais de 5 et plus - dans certaines théories jusqu’à 11 - aux échelles quantiques (petites). Malgré notre perception (adaptée aux échelles plus grandes), la dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son diamètre si c'est une pièce de révolution.) imaginaire pourrait donc fort bien correspondre aussi à une « réalité physique » et non pas représenter seulement une commodité d’écriture.

Si tant est d’ailleurs qu’on ait lieu d’établir une différence, car on remarque que les notations efficaces pour engendrer des objets le sont tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) autant pour les décrire avec précision ensuite (voir Fractale (On nomme fractale ou fractal (nom masculin moins usité), une courbe ou surface de forme irrégulière ou morcelée qui se crée en suivant des règles déterministes ou stochastiques. Le terme « fractale »...), Complexité (La complexité est une notion utilisée en philosophie, épistémologie (par exemple par Anthony Wilden ou Edgar Morin), en physique, en biologie (par exemple par Henri Atlan), en sociologie,...) de Kolmogorov, Compression, Entropie (En thermodynamique, l'entropie est une fonction d'état introduite en 1865 par Rudolf Clausius dans le cadre du deuxième principe, d'après les travaux de Sadi Carnot. Clausius a montré que le...) de Shannon et même Notation neumatique en musique).

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