Nombre complexe - Définition

Emplois en physique et ingénierie

Représentation des phénomènes périodiques et analyse de Fourier

La forme trigonométrique a permis de simplifier la modélisation et l’écriture de nombreux phénomènes, par exemple les phénomènes ondulatoires notamment à propos des ondes électromagnétiques, ou en électronique et plus précisément dans le domaine de l'analyse électronique des circuits contenant des auto-inductances (selfs ou bobines) notées L, des capacités notées C et des résistances notées R (exemples, R+jLw ou R-j/Cw). Dans le domaine de l'électronique, le i représentant l'imaginaire en mathématiques, se note j. On peut tracer alors le diagramme de Fresnel et ce, quelle que soit l'expression.

En fait, on se sert du fait que contient pour simplifier les écritures. En effet, si l’on doit écrire qu’un paramètre vaut r cos(θ), il faut deux réels, r et θ. Mais avec des complexes, il suffit d’UN nombre, ce qui est bien plus simple.

En électromagnétisme toujours, mais dans un contexte différent, on peut écrire le champ électromagnétique comme une combinaison complexe du champ électrique et du champ magnétique. Pur artifice de calcul, on peut associer l’un ou l’autre de ces champs à la partie « imaginaire » du champ complexe obtenu : cela simplifie grandement les opérations.

On utilise également les complexes pour l’analyse de Fourier, très utilisée dans de nombreux domaines, comme le traitement du signal.

Mécanique des fluides dans le plan

En mécanique des fluides (hydro/aérodynamique), on fait apparaître des potentiels et des vitesses complexes. En effet, pour un écoulement à deux dimensions, on peut décomposer la vitesse du fluide en v_x et v_y. Or, on montre que :

Satisfaire à ces conditions (conditions de Cauchy-Riemann) équivaut à dire qu’il existe une fonction analytique telle que

Ceci permet encore d’écrire :

On appelle f(z) le potentiel complexe, et sa dérivée par rapport à z, la vitesse complexe. Grâce à cette fonction, on obtient directement le module de la vitesse, et sa direction (en prenant la forme trigonométrique). Surtout, on peut modéliser simplement un écoulement autour d’un obstacle, d’une manière simple et compacte. La fonction ψ doit être constante le long du profil de cet obstacle, ce qui permet une résolution simple de f, grâce à des résultats simples d’analyse complexe.

Mécanique quantique

Autre simplification pour physiciens : la mécanique quantique nécessite les nombres complexes. Les fonctions d’ondes quantiques sont ainsi toutes complexes (voir Postulats de la mécanique quantique). Dans ce cas, toutefois, il est possible (selon des théories non quantiques) que cela corresponde à la structure réelle de l’univers : non plus à 4 dimensions (espace-temps), mais de 5 et plus - dans certaines théories jusqu’à 11 - aux échelles quantiques (petites). Malgré notre perception (adaptée aux échelles plus grandes), la dimension imaginaire pourrait donc fort bien correspondre aussi à une « réalité physique » et non pas représenter seulement une commodité d’écriture.

Si tant est d’ailleurs qu’on ait lieu d’établir une différence, car on remarque que les notations efficaces pour engendrer des objets le sont tout autant pour les décrire avec précision ensuite (voir Fractale, Complexité de Kolmogorov, Compression, Entropie de Shannon et même Notation neumatique en musique).