Moyenne - Définition

Les différentes moyennes

Selon la manière dont le 'total' des individus est calculé (voir ci-dessus en Statistique), il existe différentes moyennes :

Moyenne arithmétique

La moyenne arithmétique est la moyenne « ordinaire », c'est-à-dire la somme des valeurs numériques (de la liste) divisée par le nombre de ces valeurs numériques. Exemple : la hauteur moyenne des toits d'une rue.

La moyenne arithmétique se note A(x) quand des moyennes différentes sont présentes.

Exemple: Si un rectangle a pour côtés 3 et 7, alors le carré (c'est-à-dire le rectangle moyen) qui a le même périmètre P a pour côté la moyenne arithmétique de 3 et 7, c'est-à-dire 5.

Si les valeurs sont affectées de coefficients, on peut définir la moyenne arithmétique pondérée :

Étant donné un ensemble de données

ainsi que les poids non-négatifs correspondants

la moyenne arithmétique pondérée est calculée suivant la formule :

, quotient de la somme pondérée des x_i par la somme des poids;

Moyenne géométrique

La moyenne géométrique est définie de la manière suivante :

On peut illustrer la moyenne géométrique avec les deux cas suivants :

1. Si l'inflation d'un pays est de 5% la première année et de 15% la suivante, l'augmentation moyenne des prix se calcule grâce à la moyenne géométrique des coefficients multiplicateurs 1,05 et 1,15 soit une augmentation moyenne de 9,88% et non grâce à la moyenne arithmétique 10% (réponse intuitive).
2. Le carré (c'est-à-dire le rectangle moyen à deux côtés égaux) qui a même surface (le total considéré ici) qu'un rectangle de côtés 3 et 7 a pour côté la moyenne géométrique des deux côtés du rectangle = 4,5826. (voir le même exemple mais en moyenne quadratique).

La moyenne géométrique se note G(x) quand des moyennes différentes sont présentes.

Il existe une moyenne géométrique pondérée, définie ci-dessous.

Étant donné en ensemble de données

,

ainsi que les poids correspondants

,

la moyenne géométrique pondérée est calculée comme étant:

Moyenne harmonique

La moyenne harmonique est définie de la manière suivante :

Si un train fait un trajet aller-retour entre 2 villes à la vitesse constante v₁ pour l'aller et à la vitesse constante v₂ au retour, la vitesse moyenne du trajet total n'est pas la moyenne arithmétique des 2 vitesses, mais leur moyenne harmonique.

Exemple: Si un rectangle a pour côtés 3 et 7, alors le carré (c'est-à-dire le rectangle moyen) qui a le même rapport (Surface sur Périmètre) a pour côté la moyenne harmonique de 3 et 7, c'est-à-dire 4,2.

La moyenne harmonique se note H(x) quand des moyennes différentes sont présentes.

Il existe une moyenne harmonique pondérée, définie ci-dessous.

Étant donné en ensemble de données

,

ainsi que les poids correspondants,

la moyenne harmonique pondérée est calculée comme étant:

Moyenne quadratique

La moyenne quadratique, ou RMS (pour Root Mean Square), est définie de la manière suivante :

Exemple: Si un rectangle a pour côtés 3 et 7, le carré (c'est-à-dire le rectangle moyen) qui a même diagonale (le total considéré ici) que ce rectangle, a pour côté la moyenne quadratique de 3 et 7, c'est-à-dire 5,3852.

La racine carrée de la moyenne du carré des valeurs instantanées d'une grandeur est appelée valeur quadratique moyenne, ou encore (par analogie avec l'électricité) valeur efficace.

La moyenne quadratique se note Q(x) quand des moyennes différentes sont présentes.

Comparaison entre les moyennes précédentes

Si a et b sont deux réels strictement positifs tels que a < b, alors on a :

Pour démontrer ces comparaisons et les généraliser, on fait appel à la notion de fonction convexe.

Moyenne énergétique

La moyenne énergétique est définie de la manière suivante :

C'est la moyenne de valeurs données en décibels, par exemple en acoustique.

Cas général

Si nous notons la loi de composition qui donne le total pour deux individus, alors la valeur moyenne de n individus est la valeur, la même pour tous, qu'ils devraient avoir pour que leur total suivant la loi reste inchangé; c'est donc la solution de l'équation :

Cette équation peut être résolue s'il existe un isomorphisme (que nous noterons ) ramenant la loi à l'addition.

Rappelons qu'un isomorphisme est une bijection telle que l'image d'un composé est le composé des images, c'est-à-dire que, pour tout x et tout y :

Nous pouvons alors écrire :

Cette formule généralise et synthétise tous les cas précédents. Nous retrouvons par exemple :

• la moyenne énergétique si :

 ;

• ou la moyenne géométrique quand :

.

Un cas particulier important est celui où l'isomorphisme est une fonction puissance, c'est-à-dire que, pour tout x :

La moyenne, notée dans ce cas , s'exprime alors selon la formule :

où l'on retrouve :

• pour m = 1, la moyenne arithmétique,
• pour m = 2, la moyenne quadratique,
• pour m = -1, la moyenne harmonique;
• lorsque m → 0, la limite de est la moyenne géométrique;
• lorsque m → +∞, la limite de est le maximum de la série.
• lorsque m → -∞, la limite de est le minimum de la série.