Mécanique quantique - Définition et Explications

Les inégalités de Heisenberg

Les relations d'incertitude de Heisenberg traduisent l'impossibilité de préparer un état quantique correspondant à des valeurs précises de certains couples de grandeurs conjuguées. Ceci est lié au fait que les opérateurs quantiques associés à ces grandeurs classiques ne commutent pas.

Inégalité position-impulsion

Considérons par exemple la position x\, et l'impulsion p_x\, d'une particule. En utilisant les règles de la quantification canonique, il est facile de vérifier que les opérateurs de position et d'impulsion vérifient :

 \left[ \hat{x}^i ,  \hat{p}_j \right] f( \vec{r} ) \ = \ \left(  \hat{x}^i  \hat{p}_j - \hat{p}_j \hat{x}^i \right) f( \vec{r} ) \ = \ i  \hbar \ \delta^i_j \ f( \vec{r} )

La relation d'incertitude est définie à partir des écarts quadratiques moyens de grandeurs conjuguées. Dans le cas de la position x\, et de l'impulsion p_x\, d'une particule, elle s'écrit par exemple :

 {\Delta}x \, \cdot \, {\Delta}p_x  \ {\ge} \ \frac{\hbar}{2}

Plus l'état possède une distribution resserrée sur la position, plus sa distribution sur les valeurs de l'impulsion qui lui est associée est large. Cette propriété rappelle le cas des ondes (Une onde est la propagation d'une perturbation produisant sur son passage une variation réversible de propriétés physiques locales. Elle transporte de l'énergie sans transporter de matière.), via un résultat de la transformée de Fourier (En analyse, la transformation de Fourier est un analogue de la théorie des séries de Fourier pour les fonctions non périodiques, et permet de leur associer un spectre en fréquences. On cherche ensuite à...), et exprime ici la dualité onde-corpuscule. Il est clair que ceci mène à une remise en cause de la notion classique de trajectoire (La trajectoire est la ligne décrite par n'importe quel point d'un objet en mouvement, et notamment par son centre de gravité.) comme chemin continu différentiable.

Inégalité temps-énergie

Il existe également une relation d'incertitude portant sur l'énergie (Dans le sens commun l'énergie désigne tout ce qui permet d'effectuer un travail, fabriquer de la chaleur, de la lumière, de produire un mouvement.) d'une particule et la variable (En mathématiques et en logique, une variable est représentée par un symbole. Elle est utilisée pour marquer un rôle dans une formule, un prédicat ou un algorithme. En statistiques, une...) temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le changement dans le monde.). Ainsi, la durée \Delta t\, nécessaire à la détection d'une particule d'énergie E\, à \Delta E\, près vérifie la relation :

 {\Delta}E \, \cdot \, {\Delta}t  \ {\ge} \ \frac{\hbar}{2}

Cependant, la dérivation de cette inégalité énergie-temps est assez différente (En mathématiques, la différente est définie en théorie algébrique des nombres pour mesurer l'éventuel défaut de dualité d'une application définie à l'aide de la trace,...) de celle des inégalités position-impulsion.

En effet, si le hamiltonien est bien le générateur des translations dans le temps en mécanique (Dans le langage courant, la mécanique est le domaine des machines, moteurs, véhicules, organes (engrenages, poulies, courroies, vilebrequins, arbres de transmission, pistons, ...), bref, de tout ce qui produit ou...) hamiltonienne, indiquant que temps et énergie sont conjuguées, il n'existe pas d'opérateur temps en mécanique quantique (La mécanique quantique est la branche de la physique qui a pour but d'étudier et de décrire les phénomènes fondamentaux à l'œuvre dans les systèmes physiques, plus...) (« théorème » de Pauli), c'est-à-dire qu'on ne peut pas construire d'opérateur  \hat{T}\, qui obéirait à une relation de commutation canonique avec l'opérateur hamiltonien  \hat{H}\, :

 \left[ \hat{H} ,  \hat{T} \right] \ = \ i  \hbar \ \hat{1}

ceci pour une raison très fondamentale : la mécanique quantique a en effet été inventée pour que chaque système physique (La physique (du grec φυσις, la nature) est étymologiquement la « science de la nature ». Dans un sens général et ancien, la...) stable possède un état fondamental d'énergie mininum. L'argument de Pauli est le suivant : si l'opérateur temps existait, il posséderait un spectre continu. Or, l'opérateur temps, obéissant à la relation de commutation canonique, serait aussi le générateur des translations en énergie. Ceci entraîne alors que l'opérateur hamiltonien posséderait lui aussi un spectre continu, en contradiction (Une contradiction existe lorsque deux affirmations, idées, ou actions s'excluent mutuellement.) avec le fait que l'énergie de tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) système physique stable se doit d'être bornée inférieurement.

Mécanique quantique et relativité

La mécanique quantique est une théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une idée ou une connaissance spéculative, souvent basée sur...) non relativiste : elle n'incorpore pas les principes de la relativité restreinte (La relativité restreinte est la théorie formelle élaborée par Albert Einstein en 1905 en vue de tirer toutes les conséquences physiques...). En appliquant les règles de la quantification canonique à la relation de dispersion (La dispersion, en mécanique ondulatoire, est le phénomène affectant une onde dans un milieu dispersif, c'est-à-dire dans lequel les différentes fréquences constituant l'onde ne se propagent pas...) relativiste, on obtient l'équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre l'équation consiste à déterminer toutes les façons de...) de Klein-Gordon (1926). Les solutions de cette équation présentent toutefois de sérieuses difficultés d'interprétation dans le cadre d'une théorie censée décrire une seule particule : on ne peut notamment pas construire une densité de probabilité de présence partout positive, car l'équation contient une dérivée (La dérivée d'une fonction est le moyen de déterminer combien cette fonction varie quand la quantité dont elle dépend, son argument, change. Plus précisément, une dérivée est une expression (numérique ou algébrique)...) temporelle seconde ( Seconde est le féminin de l'adjectif second, qui vient immédiatement après le premier ou qui s'ajoute à quelque chose de nature identique. La seconde est une unité de...). Dirac cherchera alors une autre équation relativiste du premier ordre en temps, et obtiendra l'équation de Dirac (L'équation de Dirac est une équation formulée par Paul Dirac en 1928 dans le cadre de sa mécanique quantique relativiste de l'électron.), qui décrit très bien les fermions de spin (Le spin est une propriété quantique intrinsèque associée à chaque particule, qui est caractéristique de la nature de la particule, au même titre que sa masse et sa charge électrique. Comme...) un-demi comme l'électron (L'électron est une particule élémentaire de la famille des leptons, et possèdant une charge électrique élémentaire de signe négatif. C'est un des composants de l'atome.).

La théorie quantique des champs (La théorie quantique des champs est l'application des concepts de la physique quantique aux champs. Issue de la mécanique quantique relativiste, dont l'interprétation comme...) permet d'interpréter toutes les équations quantiques relativistes sans difficulté.

L'équation de Dirac incorpore naturellement l'invariance de Lorentz avec la mécanique quantique, ainsi que l'interaction (Une interaction est un échange d'information, d'affects ou d'énergie entre deux agents au sein d'un système. C'est une action réciproque qui suppose l'entrée en contact de sujets.) avec le champ électromagnétique (Un champ électromagnétique est la représentation dans l'espace de la force électromagnétique qu'exercent des particules chargées. Concept...) mais qui est traité encore de façon classique (on parle d'approximation (Une approximation est une représentation grossière c'est-à-dire manquant de précision et d'exactitude, de quelque chose, mais encore assez significative pour être utile. Bien qu'une approximation soit le...) semi-classique). Elle constitue la mécanique quantique relativiste. Mais du fait précisément de cette interaction entre les particules et le champ (Un champ correspond à une notion d'espace défini:), il est alors nécessaire, afin d'obtenir une description cohérente de l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une...), d'appliquer la procédure de quantification également au champ électromagnétique. Le résultat de cette procédure est l'électrodynamique quantique (L'électrodynamique quantique relativiste est une théorie physique ayant pour but de concilier l'électromagnétisme avec la mécanique quantique en utilisant un formalisme Lagrangien relativiste.) dans laquelle l'unité entre champ et particule est encore plus transparente puisque désormais la matière (La matière est la substance qui compose tout corps ayant une réalité tangible. Ses trois états les plus communs sont l'état solide, l'état liquide, l'état gazeux. La matière occupe de...) elle aussi est décrite par un champ. L'électrodynamique (L'électrodynamique est la discipline physique qui étudie et traite des actions dynamiques entre les courants électriques.) quantique est un exemple particulier de théorie quantique des champs.

D'autres théories quantique des champs ont été développées par la suite au fur (Fur est une petite île danoise dans le Limfjord. Fur compte environ 900 hab. . L'île couvre une superficie de 22 km². Elle est située dans la Municipalité de Skive.) et à mesure que les autres interactions fondamentales ont été découvertes (théorie électrofaible, puis chromodynamique quantique).

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