Mécanique quantique - Définition et Explications

Formulation de la mécanique quantique par intégrale de chemin

Richard Feynman dans sa thèse en 1942 introduit la notion d'intégrale de chemin afin de présenter une nouvelle formulation de la mécanique quantique. Ces résultats ne seront publiés qu'en 1948 en raison de la seconde ( Seconde est le féminin de l'adjectif second, qui vient immédiatement après le premier ou qui s'ajoute à quelque chose de nature identique. La seconde est une unité de mesure du temps. La seconde d'arc est une mesure d'angle plan. La...) guerre mondiale. A terme, le but de cette approche serait de formuler une théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une idée ou une connaissance spéculative,...) de l'électrodynamique quantique (L'électrodynamique quantique relativiste est une théorie physique ayant pour but de concilier l'électromagnétisme avec la mécanique quantique en...) en développant la quantification par intégrale de chemin (Une intégrale de chemin («path integral» en anglais) est une intégrale fonctionnelle, c'est-à-dire que l'intégrant est une fonctionnelle et que la somme est prise...). Si de nos jours (Le jour ou la journée est l'intervalle qui sépare le lever du coucher du Soleil ; c'est la période entre deux nuits, pendant laquelle les rayons du Soleil éclairent le ciel. Son début (par rapport...) on retient le formalisme Hamiltonien de la mécanique quantique (La mécanique quantique est la branche de la physique qui a pour but d'étudier et de décrire les phénomènes fondamentaux à l'œuvre dans les systèmes physiques, plus particulièrement à...) pour traiter des problèmes classiques (au sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine....) non relativiste), il s'avère que la formulation (La formulation est une activité industrielle consistant à fabriquer des produits homogènes, stables et possédant des propriétés spécifiques, en mélangeant différentes matières premières...) de Feynman est largement prédominante pour traiter les problèmes relativistes notamment en théorie quantique des champs (La théorie quantique des champs est l'application des concepts de la physique quantique aux champs. Issue de la mécanique quantique relativiste, dont l'interprétation comme théorie décrivant une seule particule s'était avérée...), l'avantage c'est que cette approche est non perturbative.

Par ailleurs en 1953 Feynman appliqua son approche pour formuler la mécanique (Dans le langage courant, la mécanique est le domaine des machines, moteurs, véhicules, organes (engrenages, poulies, courroies, vilebrequins, arbres de transmission, pistons, ...),...) statistique (Une statistique est, au premier abord, un nombre calculé à propos d'un échantillon. D'une façon générale, c'est le...) quantique par intégrale (Une intégrale est le résultat de l'opération mathématique, effectuée sur une fonction, appelé intégration. Une intégrale est donc composée d'un intégrande (la fonction à intégrer) et d'un opérateur que l'on appelle...) de chemin (intégrale de Wiener, formule de Feynman-Kac) et tenta d'expliquer la transition lambda dans l'hélium (L'hélium est un gaz noble ou gaz rare, pratiquement inerte. De numéro atomique 2, il ouvre la série des gaz nobles dans le tableau périodique des éléments. Son point d'ébullition est...) superfluide (La superfluidité est un état quantique de la matière qui a été découvert pour la première fois en 1937 par Pyotr Leonidovitch Kapitsa, simultanément avec, semble-t-il, John F. Allen et A. Don Misener,...).

Équation de Schrödinger

La formulation purement algébrique de Dirac peut paraître abstraite, mais elle eu le mérite de donner un cadre précis à la formulation alors en vogue à l'époque, en l'occurence la mécanique ondulatoire (La mécanique ondulatoire est, comme son nom l'indique, une mécanique régie par la propagation d'une onde de probabilité.) de Schrödinger.

La formulation de Schrödinger s'intéresse au mouvement d'une particule dans l'espace. La base de l'espace vectoriel (En algèbre linéaire, un espace vectoriel est un ensemble muni d'une structure permettant d'effectuer des combinaisons linéaires.) des états y est donc naturellement l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme un tout », comme...) |x\rangle des états de position parfaitement déterminée. Ainsi, dans cette base, l'état |\phi\rangle d'une particule s'écrit :

 |\phi\rangle = \int \phi(x, t) |x\rangle dx

φ(x,t) est une fonction scalaire (Un vrai scalaire est un nombre qui est indépendant du choix de la base choisie pour exprimer les vecteurs, par opposition à un pseudoscalaire, qui est un nombre qui peut dépendre de la base.), que Schrödinger appelle fonction d'onde. Schrödinger fait du temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le changement dans le monde.) un simple paramètre (Un paramètre est au sens large un élément d'information à prendre en compte pour prendre une décision ou pour effectuer un calcul.), et non une grandeur physique (Une grandeur physique est un ensemble d'unités de mesure, de variables, d'ordres de grandeur et de méthodes de mesure (qui sont l'objet de la métrologie) lié à un aspect ou phénomène particulier de la physique. Par...), ce qui fait de sa théorie une théorie essentiellement non-relativiste.

En s'inspirant de l'équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre l'équation consiste à déterminer toutes les façons de donner à certaines des quantités...) de propagation électromagnétique, et à l'aide des relations de Planck et de de Broglie, Schrödinger parvient alors à exprimer l'évolution temporelle de φ(x) :

 -i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\phi(x) = H\phi (x)

où H est un opérateur (Le mot opérateur est employé dans les domaines :) linéaire : l'hamiltonien du système considéré.

Interprétation physique (La physique (du grec φυσις, la nature) est étymologiquement la « science de la nature ». Dans un sens général et ancien, la physique désigne la connaissance de la...) de la fonction d'onde

L'interprétation physique de la fonction d'onde Ψ sera donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction, d'un événement, etc.) par Born en 1926, et Dirac en fera plus tard son deuxième postulat, connu sous le nom de règle de Born : le module au carré (Un carré est un polygone régulier à quatre côtés. Cela signifie que ses quatre côtés ont la même longueur et ses quatre...) de la fonction d'onde  \left| \Psi \right|^2  =  \overline{\Psi} \Psi représente la densité de probabilité de présence de la particule considérée, c'est-à-dire que :

 dP(\vec{r},t) \ = \ \left| \Psi(\vec{r},t) \right|^2 \ dV

s'interprète comme étant la probabilité (La probabilité (du latin probabilitas) est une évaluation du caractère probable d'un évènement. En mathématiques, l'étude des probabilités est un sujet de grande importance...) de trouver la particule dans un petit volume (Le volume, en sciences physiques ou mathématiques, est une grandeur qui mesure l'extension d'un objet ou d'une partie de l'espace.) dV situé au voisinage (La notion de voisinage correspond à une approche axiomatique équivalente à celle de la topologie. La topologie traite plus naturellement les notions globales comme la continuité qui s'entend ici...) du point (Graphie) \vec{r} de l'espace à l'instant (L'instant désigne le plus petit élément constitutif du temps. L'instant n'est pas intervalle de temps. Il ne peut donc être...) t. En particulier, la particule étant nécessairement située quelque part dans l'espace entier, on a la condition de normalisation :

 \iiint dP(\vec{r},t) \ = \ \iiint \left| \Psi(\vec{r},t) \right|^2 \ dV \ = \ 1

Cette interprétation statistique pose un problème lorsque le système quantique étudié est l'Univers (L'Univers est l'ensemble de tout ce qui existe et les lois qui le régissent.) entier, comme en cosmologie quantique (La cosmologie quantique est la branche, aujourd'hui quelque peu spéculative (2006), de la cosmologie qui vise à décrire les premiers instants de l'univers en le...). Dans ce cas, les physiciens théoriciens utilisent préférentiellement l'interprétation dite des « mondes multiples » d'Everett.

Méthodes de résolution

En dehors de quelques cas particuliers où on sait l'intégrer exactement, l'équation de Schrödinger (L'équation de Schrödinger, conçue par le physicien autrichien Erwin Schrödinger en 1925, est une équation fondamentale en physique quantique non-relativiste. Elle décrit l'évolution dans le temps d'une particule...) ne se prête en général pas à une résolution analytique exacte. Il faut alors :

  • soit développer des techniques d'approximations comme la théorie des perturbations (D'un point de vue heuristique, la théorie des perturbations est une méthode mathématique générale qui permet de trouver une solution approchée...).
  • soit la résoudre numériquement. Cette résolution numérique (Une information numérique (en anglais « digital ») est une information ayant été quantifiée et échantillonnée, par opposition à une information dite « analogique » qui...) permet notamment de visualiser la disposition curieuse des orbitales électroniques.
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