Matrice (mathématiques) - Définition

Espaces de matrices

On suppose maintenant que A est muni d'une structure d'anneau unitaire ; les éléments de A seront appelés scalaires, par opposition aux matrices dont nous allons voir qu'elles peuvent être considérées comme des vecteurs.

Addition et multiplication par un scalaire

On définit sur M_m,n(A) une loi de composition interne provenant de l'addition des scalaires :

(a_i,j) + (b_i,j) = (c_i,j) ou

On ne peut additionner que deux matrices de même taille.

• Exemple :

Pour chaque valeur du couple (m,n), l'espace M_m,n(A) devient alors un groupe abélien, d'élément neutre la matrice nulle, celle dont tous les coefficients valent 0.

On définit aussi une opération à gauche de A sur chaque espace M_m,n(A)en associant à chaque matrice (a_i,j) à coefficients dans A et chaque scalaire λ dans A, la matrice λ(a_i,j) = (λa_i,j) obtenue en effectuant la multiplication, dans A, de tous les coefficients de la matrice initiale par λ : c'est la multiplication par un scalaire.

En reprenant toujours la matrice M du premier exemple :

Les espaces M_m,n(A) ainsi obtenus ont donc une structure de A-module à gauche, et plus particulièrement de A-espace vectoriel, si A est un corps commutatif.

Base canonique de l'espace des matrices

Alors M_m,n(A) est un A-module libre de dimension mn, muni d'une base canonique . La matrice E_i,j est celle dont tous les coefficients sont nuls sauf celui d'indice (i,j), qui vaut 1.

Pour toute matrice M, les coordonnées dans la base canonique sont les coefficients

• Exemple :

Produit matriciel

On commence par définir le produit d'une matrice ligne par une matrice colonne. Soit n un nombre entier, L une matrice ligne, x_i ses coefficients, C une matrice colonne, y_i ses coefficients. On les suppose toutes deux de taille n. On définit alors le produit, considéré comme un scalaire ou une matrice de dimension (1,1) :

On remarque la condition de compatibilité sur les tailles des matrices (égalité du nombre de colonnes de la première avec le nombre de lignes de la deuxième). On définit maintenant plus généralement un produit entre deux matrices, la première, (x_i,j) dans M_m,n(A), la deuxième, (y_i,j) dans M_n,p(A), toujours avec une condition de compatibilité sur les tailles (et l'ordre des facteurs de la multiplication ne peut en général pas être changé). Le résultat obtenu est une matrice de M_m,p(A), dont les coefficients (z_i,j) sont obtenus par :

À la lumière de l'exemple de la multiplication d'une matrice ligne par une matrice colonne, on peut reformuler cette définition en disant que ce coefficient est égal au produit de la ligne i de la première matrice par la colonne j de la deuxième, ce qui s'écrit de la manière suivante, si les L_i sont les lignes de la première matrice, et les C_j les colonnes de la deuxième, le produit est : .

Pour calculer en pratique un produit, il est nécessaire de visualiser l'opération. On considère le coefficient c_1,2 de la matrice produit MN si M est une matrice de type (4, 2), et N est une matrice de type (2, 3).

Le produit matriciel est associatif, distributif à droite et à gauche par rapport à l'addition matricielle. En revanche, même si les dimensions permettent de donner un sens à la question, même si l'anneau des scalaires est commutatif, un produit de matrices ne commute en général pas : MN n'est pas égal à NM, par exemple :

Remarque : le produit de deux matrices non nulles est peut être nul, comme l'exemple au-dessus.

Ce contre-exemple prouve même que les matrices MN et NM ne sont pas toujours semblables.

Lorsque l'anneau des scalaires est commutatif, la transposition et le produit matriciel vérifient la propriété :

Matrice identité et inverse d'une matrice

Pour chaque nombre entier n, on note I_n la matrice carrée de taille n dont les coefficients diagonaux sont égaux à 1 et dont les autres coefficients sont nuls ; elle est appelée matrice identité de taille n.

où δ_i,j désigne le symbole de Kronecker.

Sous réserve de compatibilité des tailles, les matrices I_n sont neutres à droite et à gauche pour la multiplication.

Soit M une matrice de dimension (m,n). On dit que M est inversible à droite (respectivement à gauche) si et seulement s'il existe une matrice N de taille (n,m) telle que (respectivement ). Pour une matrice carrée, à coefficients dans un anneau commutatif, être inversible à droite et à gauche sont deux propriétés équivalentes. Une matrice les vérifiant sera dite inversible, sans plus de précision. Le déterminant est une fonction importante sur les matrices carrées, qui permet notamment de tester leur inversibilité. En effet si le déterminant d'une matrice est égal à 0, la matrice est non inversible. Le sous-ensemble de M_n(A) constitué des matrices inversibles possède une structure de groupe pour le produit matriciel, est appelé groupe linéaire et noté .

Algèbre des matrices carrées

Lorsque l'anneau A est commutatif, l'ensemble des matrices carrées M_n(A) est donc muni d'une structure d'algèbre associative et unitaire avec l'addition matricielle, le produit par un scalaire et le produit matriciel.

On appelle matrice scalaire une matrice de la forme aI_n où a est un élément de l'anneau K.

Ces matrices s'appellent matrices scalaires car elles se comportent comme des scalaires, vis-à-vis de la multiplication :

Lorsque A est commutatif, ou à défaut, lorsque a est central dans A, c'est-à-dire lorsque a commute avec tous les éléments de A, on a

Réciproquement, toute matrice N de M_n(A) telle que est une matrice scalaire aI_n où a est central dans M. Ceci se démontre en prenant pour M les matrices de la base canonique.

Une matrice de la forme :

sera dite matrice diagonale.

Outre le déterminant, une autre fonction à noter est la trace. Toutes deux apparaissent dans un objet plus général, le polynôme caractéristique, qui à son tour permet d'obtenir certaines caractérisations des matrices diagonalisables (c'est-à-dire semblable — voir plus bas — à une matrice diagonale), ou de la trigonalisation.

Actions du groupe linéaire

Il existe plusieurs manières de faire agir le groupe linéaire sur les espaces de matrices, et notamment :

• action par multiplication à gauche de sur , qui à P et M, associe PM,
• action (à droite) par multiplication à doite de sur , qui à et , associe MQ,
• action par conjugaison de sur M_n(A), qui à et , associe XMX ^{− 1}.

On décrit maintenant les résultats classiques sur ces actions, lorsque les scalaires forment un corps commutatif. Les deux premières actions sont souvent considérées simultanément ; on s'intéresse donc à la question : deux matrices M₁ et M₂ de dimension (m,n) étant données, existe-t-il des matrices et telles que M₁ = PM₂Q ? Si tel est le cas, les deux matrices M₁ et M₂ sont dites équivalentes. Le résultat principal est que deux matrices sont équivalentes si et seulement si elles ont même rang, ce qui s'exprime encore en disant que le rang est un invariant complet pour les doubles classes définies par les deux actions de multiplication à gauche et à droite. Par ailleurs, une matrice étant donnée, on peut trouver d'autres matrices privilégiées (les matrices échelonnées) dans la même orbite pour une de ces actions par la méthode du pivot de Gauss.

Pour l'action par conjugaison, deux matrices carrées M₁ et M₂ de taille n dans la même orbite admettent une relation de la forme M₁ = PM₂P ^{− 1}, pour une certaine matrice P inversible de taille n ; deux telles matrices sont dites semblables. La description d'un système complet d'invariants est plus délicate. On appelle ces invariants les invariants de similitude. D'un point de vue algorithmique, la réduction d'une matrice quelconque à une matrice sous une forme privilégiée se fait par un algorithme inspiré de celui du pivot de Gauss, voir théorème des facteurs invariants.