Matrice diagonalisable - Définition et Explications

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Introduction

\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}

En mathématiques, une matrice diagonalisable est une matrice carrée semblable à une matrice diagonale. Cette propriété est équivalente à l'existence d'une base de vecteurs propres, ce qui permet de définir de manière analogue un endomorphisme diagonalisable d'un espace vectoriel (En algèbre linéaire, un espace vectoriel est un ensemble muni d'une structure permettant d'effectuer des combinaisons linéaires.).

Le fait qu'une matrice soit diagonalisable dépend du corps dans lequel sont cherchées les valeurs propres, ce que confirme la caractérisation par le fait que le polynôme minimal (Le polynôme minimal est un outil qui permet d'utiliser des résultats de la théorie des polynômes à l'algèbre linéaire. Il est en effet possible d'appliquer un polynôme à un endomorphisme, comme expliqué dans l'article...) soit scindé à racines simples.

Cette caractérisation permet notamment de montrer que les projecteurs sont toujours diagonalisables, ainsi que les involutions si le corps des coefficients est de caractéristique différente (En mathématiques, la différente est définie en théorie algébrique des nombres pour mesurer l'éventuel défaut de dualité d'une application définie à l'aide de la trace, dans...) de 2. Plus généralement, les endomorphismes et matrices d'ordre fini sont diagonalisables sur le corps des complexes. Au contraire, un endomorphisme nilpotent (Un endomorphisme nilpotent est un endomorphisme c’est-à-dire une application linéaire d'un espace vectoriel dans lui même, qui, composé par lui-même un nombre suffisant de fois, donne l'application nulle. Un exemple...) non nul ne peut pas être diagonalisable.

Les matrices réelles symétriques sont diagonalisables par une matrice orthogonale (Une matrice carrée A (n lignes, n colonnes) à coefficients réels est dite orthogonale si elle vérifie :). Plus généralement les matrices normales, parmi lesquelles les matrices hermitiennes, antihermitiennes et unitaires sont diagonalisables à l'aide d'une matrice unitaire (En algèbre linéaire, une matrice A est une matrice unitaire si elle vérifie l'égalité suivante: , avec A * la matrice adjointe de la matrice A et I la matrice identité.), ce qui conduit au théorème spectral (En mathématiques, une quadrique désigne une surface d’un espace euclidien. Elle est définie par un polynôme du second degré dont les variables correspondent aux coordonnées...).

La diagonalisation (La diagonalisation est un procédé d'algèbre linéaire. Il s'applique à des endomorphismes d'un espace vectoriel. Il consiste à rechercher une base de l'espace vectoriel constituée de vecteurs propres.) est la détermination effective d'une matrice de passage (Une matrice de passage permet d'écrire des formules de changement de base pour les représentations matricielles des vecteurs, des endomorphismes, des formes bilinéaires.) transformant une matrice diagonalisable (En mathématiques, une matrice diagonalisable est une matrice carrée semblable à une matrice diagonale. Cette propriété est équivalente à l'existence d'une base de vecteurs propres, ce qui permet de définir...) en une matrice diagonale (En algèbre linéaire, une matrice diagonale est une matrice carrée dont les coefficients en dehors de la diagonale principale sont nuls. Les coefficients de la diagonale peuvent être ou ne pas être nuls....), ou la décomposition (En biologie, la décomposition est le processus par lequel des corps organisés, qu'ils soient d'origine animale ou végétale dès l'instant qu'ils...) d'un espace vectoriel en une somme directe (En mathématiques, et plus précisément en algèbre, le terme de somme directe désigne des ensembles munis de certaines structures, construits à partir de la réunion d'autres...) de droites stables par un endomorphisme.

Fig. 1. Modification par un endomorphisme diagonalisable d'un parallélotope dont les côtés sont dirigés par des vecteurs propres.

Définitions

Approche matricielle

Une matrice carrée M à coefficients dans un corps k est dite diagonalisable sur k s'il existe une matrice inversible (En mathématiques et plus particulièrement en algèbre linéaire, une matrice carrée A d'ordre n est dite inversible ou régulière ou encore non...) P et une matrice diagonale (On appelle diagonale d'un polygone tout segment reliant deux sommets non consécutifs (non reliés par un côté). Un polygone à n...) D à coefficients dans k satisfaisant la relation :

M = P D P^{-1}\,.

Dans ce cas, chaque vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet d'effectuer des opérations d'addition et de multiplication par un...) colonne Y de la matrice P est un vecteur propre (En mathématiques, le concept de vecteur propre est une notion algébrique s'appliquant à une application linéaire d'un espace dans lui-même. Il correspond à...) pour la matrice M, c'est-à-dire qu'il existe un scalaire (Un vrai scalaire est un nombre qui est indépendant du choix de la base choisie pour exprimer les vecteurs, par opposition à un pseudoscalaire, qui est un nombre qui peut...) λ sur la diagonale de D tel que MY = λY.

Réciproquement, si une matrice admet une famille de vecteurs propres qui forment une base de l'espace des vecteurs colonnes alors cette matrice est diagonalisable. Il suffit de construire la matrice inversible formée par une juxtaposition de ces vecteurs, la matrice diagonale étant définie par la suite des valeurs propres associées.

Endomorphisme

Un endomorphisme d'un espace vectoriel est dit diagonalisable s'il existe une base de vecteurs propres. Cela signifie que l'espace vectoriel peut être décomposé en une somme directe de droites stables par l'endomorphisme, ou autrement dit que l'espace vectoriel est la somme directe des sous-espaces propres de l'endomorphisme.

En dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son diamètre si c'est une pièce de révolution.) finie, cette définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.) signifie que l'endomorphisme est représenté par une matrice diagonale dans cette base, donc que n'importe quelle représentation matricielle de l'endomorphisme est une matrice diagonalisable par changement de base.

Dans une base orthonormale

Matrices symétriques

Toute matrice réelle symétrique est diagonalisable par une matrice orthogonale, c'est-à-dire que l'endomorphisme associé dans l'espace euclidien (En mathématiques, un espace euclidien est un objet algébrique permettant de généraliser de façon naturelle la géométrie traditionnelle...) de dimension n est diagonalisable dans une base orthonormale. Réciproquement, si U est une matrice orthogonale et D une matrice diagonale réelle, alors le produit de matrices réelles UDU − 1 est une matrice symétrique (ce qui exige que A soit une matrice carrée.).

Lorsqu'une matrice symétrique A est positive, c'est-à-dire si ses valeurs propres sont toutes positives, il existe une unique matrice symétrique positive dont le carré (Un carré est un polygone régulier à quatre côtés. Cela signifie que ses quatre côtés ont la même longueur et ses quatre angles la même mesure. Un carré est à la fois un rectangle et un...) soit A. Cette racine carrée (La racine carrée d’un nombre réel positif x est le nombre positif dont le carré vaut x. On le note ou x½; dans cette expression, x est appelé le radicande.) de A est en effet diagonalisable et a nécessairement les mêmes espaces propres avec des valeurs propres en racine carrée de celles de A.

Matrices normales

\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}

De même, toute matrice complexe hermitienne est diagonalisable par une matrice unitaire en une matrice diagonale réelle. Plus généralement, les matrices complexes diagonalisables par une matrice unitaire sont les matrices normales, c'est-à-dire qui commutent avec leur adjointe. Cette définition comprend à la fois les matrices hermitiennes, les antihermitiennes, les unitaires et en particulier leurs versions réelles : symétriques, antisymétriques et orthogonales. Cependant, ces deux dernières familles de matrice n'admettent pas en général de diagonalisation sur le corps des réels.

Application au théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un...) spectral

Fig. 1. La sphère (En mathématiques, et plus précisément en géométrie euclidienne, une sphère est une surface constituée de tous les points...) rouge (La couleur rouge répond à différentes définitions, selon le système chromatique dont on fait usage.) représente la sphère unité pour la première distance, la figure bleue représente la sphère unité pour la deuxième distance. La figure bleue est un ellipsoïde (En mathématiques, un ellipsoïde est une surface du second degré de l'espace euclidien à trois dimensions. Il fait donc partie des quadriques, avec pour caractéristique...) dont les axes peuvent être choisis orthogonaux pour la première distance.

Le théorème spectral stipule (En botanique, les stipules sont des pièces foliaires, au nombre de deux, en forme de feuilles réduites située de part et d'autre du pétiole, à sa base, au point d'insertion sur la tige.) qu'étant données (Dans les technologies de l'information (TI), une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction d'affaire, d'un...) deux formes bilinéaires symétriques sur un espace vectoriel réel ou complexe de dimension finie, si l'une d'entre elle est définie positive, il existe une base orthonormale pour celle-ci qui soit orthogonale pour l'autre.

Autrement dit, il existe une base dans laquelle les deux formes soient représentées par des matrices diagonales, la première étant même la matrice identité (En algèbre linéaire, la matrice unité ou matrice identité (cette dernière dénomination étant un anglicisme) est une matrice carrée avec des 1 sur la diagonale et des 0 partout ailleurs. Nous pouvons...) I. Si les deux formes ont respectivement pour matrice A et B dans une base arbitraire, et pour matrices I et B' dans la base particulière fournie par le théorème, les nouvelles matrices ne sont pas semblables aux anciennes, mais congruentes, via la matrice de passage P (inversible) et sa matrice adjointe P* :

I=P^*\ A\ P,\quad B'=P^*\ B\ P.

Pour démontrer le théorème il suffit de considérer, sur l'espace euclidien ou hermitien (Plusieurs entités mathématiques sont qualifiées d'hermitiennes en référence au mathématicien Charles Hermite.) défini par la première forme, l'endomorphisme autoadjoint canoniquement associé à la seconde : il existe une base orthonormée (par rapport à la première forme) qui est propre pour cet endomorphisme (donc qui est orthogonale pour la seconde ( Seconde est le féminin de l'adjectif second, qui vient immédiatement après le premier ou qui s'ajoute à quelque chose de nature identique. La seconde est une unité de mesure...) forme).

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