En algèbre linéaire, la notion de matrice définie positive est analogue à celle de nombre réel strictement positif : une matrice définie positive est une matrice positive inversible.
On introduit tout d'abord les notations suivantes ; si a est une matrice à éléments réels ou complexes :
désigne la matrice transposée de a
a* désigne la matrice transconjuguée de a (conjuguée de la transposée)
On rappelle que :
désigne le corps des nombres réels
désigne le corps des nombres complexes
Matrice symétrique réelle définie positive
Soit M une matrice symétrique réelle d'ordre n. Elle est dite définie positive si elle vérifie l'une des 3 propriétés équivalentes suivantes :
1.
Pour toute matrice colonne non nulle à n éléments réels, on a
.
(autrement dit, la forme quadratique définie par
est strictement positive pour
)
2.
Toutes les valeurs propres de M sont strictement positives, c'est-à-dire :
est un produit scalaire sur
(identifié ici à l'espace vectoriel des matrices colonnes à n éléments réels).
Une matrice symétrique réelle est dite définie négative si son opposée (symétrique elle aussi) est définie positive.
La propriété 1 signifie que M définit sur
une forme quadratique définie positive, la propriété 2 que sur
, vu comme espace euclidien avec le produit scalaire
, M définit un opérateur auto-adjoint positif. L'équivalence entre 1 et 2 vient de cette double interprétation, à la lumière de la réduction de Gauss et du théorème spectral. Si 1 est vraie, sachant que les valeurs propres d'une matrice symétrique réelle sont réelles, on voit en appliquant 1 aux vecteurs propres que les valeurs propres sont strictement positives. Si 2 est vraie, il existe une matrice orthogonale telle que
soit diagonale (parce que
est symétrique réelle) à coefficients diagonaux strictement positifs (c'est l'hypothèse 2 sur les valeurs propres). Mais comme Q− 1 = tQ, la matrice
est aussi congrue à la matrice diagonale en question, donc la forme quadratique
est définie positive.
Exemple de base
Pour toute matrice réelle
, les matrices symétriques
et
sont positives ; elles sont définies positives si et seulement si
est inversible. Les matrices de Gram donnent un exemple de cette situation.
Plus précisément, c'est un exemple générique, puisque:
Une matrice
est définie positive si et seulement si il existe une matrice
inversible telle que
, c'est-à-dire si et seulement si elle est congruente à la matrice identité.
La matrice A n'est pas unique. Elle l'est si on impose qu'elle soit elle-même définie positive.
Si
, alors
, et si ce terme est nul, alors
, et si l'on suppose A inversible, alors x est nul.
Inversement, si M est définie positive, elle est diagonalisable avec une matrice de passageP orthogonale (puisque symétrique réelle), la matrice
ayant des valeurs propres λi strictement positives. Il suffit de définir la matrice
comme étant la matrice diagonale dont les termes diagonaux sont les
, et de poser
, car alors
. Si l'on veut une matrice définie positive, il suffit de poser plutôt .
Exemple : matrice de Hilbert
On appelle matrice de Hilbert la matrice (symétrique d'ordre n)
, telle que
. Elle est définie positive.
En effet, soit une matrice colonne quelconque
à n éléments réels
.
On remarque que
. Alors, par linéarité de l'intégrale :
,
d'où enfin :
.
Dans cette dernière intégrale, l'intégrande est continu et à valeurs positives. Par conséquent :
;
si
, alors pour tout
.
Donc pour tout
.
Il en résulte que les
, coefficients d'un polynôme admettant une infinité de racines, sont tous nuls, c'est-à-dire
.
Ceci prouve que pour toute matrice colonne non nulle
à n éléments réels.
Nota : ceci est un cas particulier d'une propriété des matrices de Gram. La matrice de Gram d'une famille de n vecteurs d'un espace préhilbertien (réel ou complexe) est définie positive si et seulement si la famille est libre.
Intérêt des matrices définies positives
Les problèmes de résolution de systèmes linéaires les plus faciles à traiter numériquement sont ceux dont les matrices sont symétriques définies positives.
Toute matrice symétrique réelle positive est limite d'une suite de matrices symétriques réelles définies positives, ce qui est à la base de nombreux raisonnements par densité.
.
![\ \mathrm{sp}(M) \subset\, ]0,\, +\infty[\,](https://static.techno-science.net/illustrationWebp/Definitions/autres/7/72bacc4282291424eb1bfc3ffecdb90e_adb88ad67a03e8ea117ffbc91f151a8d.png)
![t \in\, [0,\, 1],\, \left(\sum_{i = 1}^nx_i\, t^{i - 1}\right)^2 = 0](https://static.techno-science.net/illustration/Definitions/autres/9/96cce4f327d06e4b1a2d5b320cf8b599_cfc443898ba5718a226bea39ded5bef2.png)
![t \in\, [0,\, 1],\, \sum_{i = 1}^nx_i\, t^{i - 1} = 0](https://static.techno-science.net/illustration/Definitions/autres/d/da2dbaf428a077efc68b426d5caedf63_396f87cb98c78baab2d303e9fc657e03.png)
pour toute matrice colonne non nulle
![t \in\, [0,\, 1],\, \left(\sum_{i = 1}^nx_i\, t^{i - 1}\right)^2 = 0](https://static.techno-science.net/illustrationWebp/Definitions/autres/9/96cce4f327d06e4b1a2d5b320cf8b599_cfc443898ba5718a226bea39ded5bef2.png)
![t \in\, [0,\, 1],\, \sum_{i = 1}^nx_i\, t^{i - 1} = 0](https://static.techno-science.net/illustrationWebp/Definitions/autres/d/da2dbaf428a077efc68b426d5caedf63_396f87cb98c78baab2d303e9fc657e03.png)
