Mathématiques - Définition et Explications

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Mathématiques et philosophie

Gauss, « le prince des mathématiciens »

Les questions traditionnelles que se pose la philosophie au sujet des mathématiques peuvent se classer selon trois thèmes :

  1. La nature des objets mathématiques : s'ils existent par eux-mêmes, ou bien s'ils sont des constructions mentales ? Quelle est la nature d'une démonstration ? Quelles sont les liens entre la logique (La logique (du grec logikê, dérivé de logos (λόγος), terme inventé par Xénocrate signifiant à la fois raison, langage, et raisonnement) est dans une...) et les mathématiques ?
  2. L'origine de la connaissance mathématique : d'où vient la vérité des mathématiques, et de quelle nature est-elle ? Quelles sont les conditions pour que des mathématiques existent, et leur lien avec l'homme ? Quels sont les impacts de la structure de la pensée humaine sur la forme et le développement des mathématiques actuelles ? Les limites qu'elle induit (L'induit est un organe généralement électromagnétique utilisé en électrotechnique chargé de recevoir l'induction de l'inducteur et de la transformer en électricité (générateur) ou en force (moteur).)?
  3. La relation des mathématiques avec la réalité : quelle relation les mathématiques abstraites entretiennent-elles avec le monde (Le mot monde peut désigner :) réel ? Quels sont les liens avec les autres sciences ?

Les mathématiques sont parfois surnommées « reine des sciences ». Cependant, l'expression remonte à Carl Friedrich Gauss : Regina Scientiarum et le mot scientiarium signifie en réalité « des connaissances ».

Impact culturel

Expression artistique

Page couverture du Traité de l'harmonie réduite à ses principes naturels de Jean-Philippe Rameau.

Les notes qui sonnent bien ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme un tout », comme...) à une oreille (L'oreille est l'organe qui sert à capter le son et est donc le siège du sens de l'ouïe, mais elle joue également un rôle important dans...) occidentale sont des sons dont les fréquences fondamentales de vibration sont dans des rapports simples. Par exemple, l'octave est un doublement de fréquence (En physique, la fréquence désigne en général la mesure du nombre de fois qu'un phénomène périodique se reproduit par unité de temps. Ainsi lorsqu'on emploie le mot fréquence sans précision, on...), la quinte une multiplication (La multiplication est l'une des quatre opérations de l'arithmétique élémentaire avec l'addition, la soustraction et la division .) par 3/2.

Ce lien entre les fréquences et l'harmonie a été notamment détaillé dans le Traité de l'harmonie réduite à ses principes naturels de Jean-Philippe Rameau, compositeur baroque français et théoricien de la musique. Il repose en partie sur l'analyse des harmoniques (notées 2 à 15 dans la figure suivante) d'un son fondamental Do grave (noté 1), les premières harmoniques et leurs octaves sonnant bien entre elles.

Les harmoniques sur une portée.

Si la courbe (En géométrie, le mot courbe, ou ligne courbe désigne certains sous-ensembles du plan, de l'espace usuels. Par exemple, les droites, les segments, les lignes...) tracée en rouge (La couleur rouge répond à différentes définitions, selon le système chromatique dont on fait usage.), qui suit les notes harmoniques, a une allure logarithmique, cela correspond au rapport entre deux phénomènes:

  • d'une part, la représentation de la hauteur (La hauteur a plusieurs significations suivant le domaine abordé.) d'un son par notre système auditif qui est proportionnelle au logarithme (En mathématiques, une fonction logarithme est une fonction définie sur à valeurs dans , continue et transformant un produit en somme. Le logarithme de base a où a est un réel strictement positif différent de 1 est...) de la fréquence du son (une fréquence double correspond toujours à la même « distance sonore » appelée octave).
  • d'autre part, les fréquences harmoniques qui sont des multiples entiers de la fréquence fondamentale (En acoustique, la fréquence fondamentale ou son fondamental est l'harmonique de premier rang d'un son.).
Fractale (On nomme fractale ou fractal (nom masculin moins usité), une courbe ou surface de forme irrégulière ou morcelée qui se crée en suivant des règles déterministes ou stochastiques....) possédant une symétrie d'échelle et une symétrie centrale.

Les Occidentaux associent une certaine beauté aux figures symétriques. Une symétrie d'une figure géométrique (Les figures géométriques sont un mode d'expression décoratif développé par les civilisations anciennes, basé sur la répétition de figures et motifs suivant un tracé géométrique...) est, intuitivement, l'existence d'un motif de la figure qui se répète suivant une règle précise, tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) en étant partiellement transformé. Mathématiquement, une symétrie est l'existence d'une action non triviale d'un groupe, très souvent par isométrie (En géométrie, une isométrie est une transformation qui conserve les longueurs. Une isométrie est donc un cas particulier de similitude.), c'est-à-dire qui préserve les distances sur la figure. En d'autres termes, l'intuition de la règle est mathématiquement réalisée par le fait que c'est un groupe qui agit sur la figure, et le sentiment qu'une règle régit la symétrie est précisément dû à la structure algébrique (En mathématiques, plus particulièrement en algèbre, une structure algébrique est formée d’un ensemble combiné à une ou plusieurs lois de composition, éventuellement complétées par un ordre ou une...) de ce groupe.

Par exemple, le groupe lié à la symétrie miroir (Un miroir est un objet possédant une surface suffisamment polie pour qu'une image s'y forme par réflexion et conçu à cet effet. C'est souvent une couche métallique fine, qui,...) est l'ensemble \Z/2\Z =\{0,1\} . Un test de Rorschach est une figure invariante par cette symétrie, de même qu'un papillon et plus généralement le corps des animaux, du moins en surface (Une surface désigne généralement la couche superficielle d'un objet. Le terme a plusieurs acceptions, parfois objet géométrique, parfois...). Lorsqu'on dessine la surface de la mer (Le terme de mer recouvre plusieurs réalités.), l'ensemble des vagues possède une symétrie par translation : bouger notre regard de la longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus éloignées. Lorsque l’objet est filiforme ou en forme de lacet, sa longueur est celle de...) séparant deux crêtes de vagues ne change pas la vue (La vue est le sens qui permet d'observer et d'analyser l'environnement par la réception et l'interprétation des rayonnements lumineux.) que l'on a de la mer. Un autre cas de symétrie, cette fois non isométrique et presque toujours seulement approximative, est celui présenté par les fractales : un certain motif se répète à toutes les échelles de vision.

Vulgarisation

La vulgarisation mathématique (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les figures, les structures et les transformations. Les...) a pour objectif de présenter les mathématiques en un langage dénué de termes techniques. Comme l'objet (De manière générale, le mot objet (du latin objectum, 1361) désigne une entité définie dans un espace à trois dimensions, qui a une fonction précise, et qui peut être désigné par une étiquette...) d'études des mathématiques n'est pas réel, elle use souvent d'un vocabulaire imagé, et de comparaisons ou analogies non rigoureuses, pour faire sentir l'idée des développements mathématiques. Parmi les ouvrages qui se fixent ce but, citons Oh, les maths de Yakov Perelman et Le livre qui rend fou de Raymond Smullyan (Raymond Smullyan est un logicien, mathématicien et magicien américain né en 1919.). Toutefois, les mathématiques font rarement l'objet de vulgarisation dans des journaux écrits ou télévisés.

La revue Tangente, l'aventure mathématique, est le principal magazine de vulgarisation mathématique édité en France.

La revue Images des mathématiques, soutenue par le Centre national de la recherche scientifique (La recherche scientifique désigne en premier lieu l’ensemble des actions entreprises en vue de produire et de développer les connaissances scientifiques. Par extension métonymique, la recherche scientifique désigne également le...) (CNRS), relève également le défi. Elle fait découvrir au plus grand nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) la recherche (La recherche scientifique désigne en premier lieu l’ensemble des actions entreprises en vue de produire et de développer les connaissances...) mathématique contemporaine et son environnement (L'environnement est tout ce qui nous entoure. C'est l'ensemble des éléments naturels et artificiels au sein duquel se déroule la vie humaine. Avec les enjeux écologiques actuels, le terme environnement tend actuellement à prendre une dimension...).

Littérature et filmographie

Si nombre de biographies portent sur les mathématiciens, les mathématiques sont un thème certes peu exploité dans la littérature ou la filmographie, mais présent.

Romans

  • Plusieurs livres de Denis Guedj, dont :
    • Le Théorème du Perroquet (Le terme perroquet ([pɛ.ʁɔ.kɛ]) désigne d'une manière générique l'ensemble des espèces d'oiseaux de l'ordre des Psittaciformes, et en particulier les grandes...)
    • Zéro, ou les cinq vies d'Aémer
  • Le Démon des maths de Hans Magnus Enzensberger
  • Mathématique du crime de Guillermo Martinez
  • Flatland, d'Edwin Abbott Abbott

Films

  • Will Hunting
  • Un homme d'exception, film de Ron Howard (2001)
  • Pi, film de Darren Aronofsky (1998)
  • La preuve irréfutable, (2005) [1]
  • Cube, Cube 2 et Cube Zero
  • Crimes à Oxford.
  • C'est la tangente que je préfère [2] .

Théâtre

Pièces de théâtre
  • La Preuve de David Auburn, 2000 (Proof, Ed. Dramatist's Play Service, 2002)
Spécialistes de théâtre de sciences
  • Le Théâtre scientifique de Louis Figuier, Fabienne Cardot, Revue Romantisme, 1989
  • Théâtre et sciences, Le double fondateur, Jacques Baillon, L'Harmattan, 1998
  • La Recherche théâtrale dans un institut technologique et scientifique, Ouriel Zohar, dans Théâtre et Science, Ed. Prof. Lucile Garbagnati, F. Montaclair and D. Vingler, Presses du Centre Unesco de Besançon et du Théâtre de l' Université de Franche-Comté (L'université de Franche-Comté est une université française, dont le siège est à Besançon. Le nombre moyen d'étudiants au fil des années est de 20 000, répartis...), Besançon, 1998.
  • Théâtre et matière, Les moteurs (Un moteur est un dispositif transformant une énergie non-mécanique (éolienne, chimique, électrique, thermique par exemple) en une énergie mécanique ou travail.[réf. nécessaire]) de représentation, Jacques Baillon, L'Harmattan, 2002
  • Le Théâtre de sciences, Michel Valmer, CNRS (Le Centre national de la recherche scientifique, plus connu sous son sigle CNRS, est le plus grand organisme de recherche scientifique public français (EPST).) Éditions, 2006
  • Science on stage, from Dr Faustus to Copenhagen, Kirsten Sheperd-Barr, Princeton University Press, 2006.
  • Le Modèle scientifique dans le théâtre de Tom Stoppard, Liliane Campos, dans Epistémocritique, Revue d'études et de recherches sur la littérature et les savoirs, vol. II, 2008
  • L'île logique, théâtre et clowns sur la logique, les mathématiques et la physique théorique (La physique théorique est la branche de la physique qui étudie l’aspect théorique des lois physiques et en développe le formalisme mathématique.) (CNRS, école Polytechnique), Cédric Aubouy. 2008.

Séries télévisées

  • Numb3rs, série de Nicolas Falacci et Cheryl Heuton.
  • Eureka, série télévisée créée par Andrew Cosby et Jaime Paglia.
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