Mathématiques - Définition et Explications

Rapport des mathématiques avec les autres sciences

Les mathématiques entretiennent des rapports particuliers avec toutes les sciences, au sens large du terme. L'analyse de données (interprétation graphique, données statistiques...) fait appel à des compétences mathématiques variées. Mais des outils avancés de mathématiques interviennent dans les modélisations.

Toutes les sciences dites dures, à l'exception des mathématiques, tendent à une compréhension du monde (Le mot monde peut désigner :) réel. Cette compréhension passe par la mise en place d'un modèle, prenant en compte un certain nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) de paramètres considérés comme causes d'un phénomène. Ce modèle constitue un objet (De manière générale, le mot objet (du latin objectum, 1361) désigne une entité définie dans un espace à trois dimensions, qui a une fonction précise, et...) mathématique (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les...), dont l'étude permet une meilleure compréhension du phénomène étudié, éventuellement une prédiction qualitative ou quantitative quant à son évolution future.

La modélisation fait appel à des compétences relevant essentiellement de l'analyse et des probabilités, mais les méthodes algébriques ou géométriques s'avèrent utiles.

Mathématiques et physique (La physique (du grec φυσις, la nature) est étymologiquement la « science de la nature ». Dans un sens général et ancien, la...)

Les mathématiques sont nées d'une volonté de compréhension de l'espace ambiant : la géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace de dimension 3 (géométrie euclidienne) et, depuis le XVIIIe siècle, les figures...) naît de la modélisation de formes idéalisées, et l'arithmétique (L'arithmétique est une branche des mathématiques qui comprend la partie de la théorie des nombres qui utilise des méthodes de la géométrie algébrique et de la théorie des groupes. On l'appelle plus généralement la « science des...) des besoins des gestions des quantités. Astronomie (L’astronomie est la science de l’observation des astres, cherchant à expliquer leur origine, leur évolution, leurs propriétés physiques et chimiques. Elle ne doit pas être...) et géométrie se sont longtemps confondues, jusque dans les civilisations islamiques. Les mathématiques et la physique, après s'être différenciées, ont gardé d'étroits liens. Dans l'histoire contemporaine de ces deux sciences, les mathématiques et la physique se sont influencées mutuellement. La physique moderne use à outrance des mathématiques, en faisant une modélisation systématique (En sciences de la vie et en histoire naturelle, la systématique est la science qui a pour objet de dénombrer et de classer les taxons dans un certain ordre, basé sur des principes...) pour comprendre les résultats de ses expériences :

  • Cette modélisation peut faire appel à des outils mathématiques déjà développés. Ainsi l'usage (L’usage est l'action de se servir de quelque chose.) des métriques en géométrie différentielle (En mathématiques, la géométrie différentielle est l'application des outils du calcul différentiel à l'étude de la géométrie. Les objets d'étude de base...) est un outil (Un outil est un objet finalisé utilisé par un être vivant dans le but d'augmenter son efficacité naturelle dans l'action. Cette augmentation se traduit par la...) essentiel sur lequel repose notamment la relativité générale (La relativité générale, fondée sur le principe de covariance générale qui étend le principe de relativité aux référentiels non-inertiels, est une théorie...), développée (En géométrie, la développée d'une courbe plane est le lieu de ses centres de courbure. On peut aussi la décrire comme l'enveloppe de la famille...) par le mathématicien (Un mathématicien est au sens restreint un chercheur en mathématiques, par extension toute personne faisant des mathématiques la base de son...) Minkowski puis par le physicien (Un physicien est un scientifique qui étudie le champ de la physique, c'est-à-dire la science analysant les constituants fondamentaux de l'univers et les...) Einstein. Cet usage est aussi utilisé dans les autres théories post-newtoniennes.
  • Cette modélisation encourage les mathématiciens à s'intéresser davantage à telle ou telle structure mathématique pour les besoins de la physique.
  • Cette modélisation demande parfois au contraire des outils mathématiques non encore développés et ouvre des nouvelles perspectives mathématiques. Ainsi, Isaac Newton (Isaac Newton (4 janvier 1643 G – 31 mars 1727 G, ou 25 décembre 1642 J – 20 mars 1727 J) est un philosophe, mathématicien, physicien,...) a-t-il développé le calcul différentiel (Un différentiel est un système mécanique qui a pour fonction de distribuer une vitesse de rotation de façon adaptative aux besoins d'un ensemble mécanique.) pour pouvoir écrire les lois (classiques) du mouvement ; s'intéressant à la diffusion (Dans le langage courant, le terme diffusion fait référence à une notion de « distribution », de « mise à disposition »...) de la chaleur (Dans le langage courant, les mots chaleur et température ont souvent un sens équivalent : Quelle chaleur !) dans les corps, Joseph Fourier découvre les séries qui portent son nom, porte ouverte sur la théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une idée ou une connaissance spéculative, souvent basée sur...) de Fourier ; ... Plus récemment, citons les problèmes de quantification géométrique, d'intégrales de Feynman, de polynômes de Donaldson...

Un domaine de recherche (La recherche scientifique désigne en premier lieu l’ensemble des actions entreprises en vue de produire et de développer les connaissances scientifiques. Par extension métonymique, la...) spécifique, la physique mathématique, tend précisément à développer les méthodes mathématiques mises à l'usage de la physique.

Le lien étroit entre mathématiques et physique se reflète dans l'enseignement (L'enseignement (du latin "insignis", remarquable, marqué d'un signe, distingué) est une pratique d'éducation visant à développer les...) supérieur des mathématiques. L'enseignement de la physique fait appel à des cours de mathématiques pour physiciens ; et il n'est pas rare que les cursus de mathématiques dans les universités incluent une initiation facultative à la physique.

Schéma de pendule (Le mot pendule (nom masculin) nous vient d'Huygens et du latin pendere. Il s'agit donc à l'origine d'un système oscillant sous l'effet de la pesanteur. Parmi les célèbres pendules, c'est sans doute celui de Foucault qui est le plus connu....).

Mathématiques et informatique (L´informatique - contraction d´information et automatique - est le domaine d'activité scientifique, technique et industriel en rapport avec le traitement automatique de l'information par des...)

L'essor des techniques au XXe siècle a ouvert la voie à une nouvelle science (La science (latin scientia, « connaissance ») est, d'après le dictionnaire Le Robert, « Ce que l'on sait pour...), l'informatique. Celle-ci est intimement liée aux mathématiques, de diverses manières : certains pans de la recherche en informatique théorique peuvent être considérés comme d'essence mathématique, d'autres branches de l'informatique faisant plutôt usage des mathématiques. Les nouvelles technologies de communication (La communication concerne aussi bien l'homme (communication intra-psychique, interpersonnelle, groupale...) que l'animal (communication intra- ou inter- espèces) ou la machine (télécommunications, nouvelles technologies...), ainsi que...) ont quant à elles ouvert la voie aux applications à des branches des mathématiques parfois très anciennes (arithmétique), notamment en ce qui concerne les problèmes de sécurité des transmissions : cryptographie (La cryptographie est une des disciplines de la cryptologie s'attachant à protéger des messages (assurant confidentialité, authenticité et intégrité) en s'aidant souvent de secrets ou...) et théorie des codes.

En contrepartie, les sciences informatiques influencent l'évolution moderne des mathématiques.

Les mathématiques discrètes forment un domaine de recherche actuel des mathématiques visant à développer les méthodes utilisées en science informatique, incluant la théorie de la complexité (La théorie de la complexité s'intéresse à l'étude formelle de la difficulté des problèmes en informatique. Elle se distingue de la théorie de la calculabilité qui s'attache à savoir si un...), la théorie de l'information, la théorie des graphes (Le terme de graphe désigne en mathématiques une opération d'application. Il possède deux acceptions :)... Parmi les problèmes ouverts, citons notamment le célèbre P=NP en théorie de la complexité (La complexité est une notion utilisée en philosophie, épistémologie (par exemple par Anthony Wilden ou Edgar Morin), en physique, en biologie (par exemple par Henri Atlan), en sociologie, en informatique ou en sciences...), qui fait partie des 7 problèmes du prix du millénaire (Un millénaire est une période de mille années, c'est-à-dire de dix siècles.). Celui qui arrivera à décider si P et NP sont différents ou égaux recevra un montant de 1 000 000 USD.

Les mathématiques et la biologie (La biologie, appelée couramment la « bio », est la science du vivant. Prise au sens large de science du vivant, elle recouvre une partie des sciences naturelles et de l'histoire naturelle des êtres...), la chimie (La chimie est une science de la nature divisée en plusieurs spécialités, à l'instar de la physique et de la biologie avec lesquelles elle partage des espaces d'investigations...) et la géologie (La géologie, du grec ancien γη- (gê-, « terre ») et λογος (logos, « parole »,...)

La biologie est grande consommatrice de mathématiques et notamment de probabilités. La dynamique (Le mot dynamique est souvent employé désigner ou qualifier ce qui est relatif au mouvement. Il peut être employé comme :) d'une population se modélise couramment par des chaînes de Markov (théorie des processus discrets) ou par des équations différentielles couplées. Il en va de même pour l'évolution des génotypes : le principe de Hardy-Weinberg, souvent évoquée en génétique (La génétique (du grec genno γεννώ = donner naissance) est la science qui étudie l'hérédité et les gènes.), relève de propriétés générales sur les processus à temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le changement dans le monde.) discret (existence de lois limites). Plus généralement, la phylogéographie fait appel à des modélisations probabilistes. De plus, la médecine (La médecine (du latin medicus, « qui guérit ») est la science et la pratique (l'art) étudiant l'organisation du corps humain (anatomie), son fonctionnement normal (physiologie), et cherchant...) use de tests (statistiques) pour comprendre la validité de tel ou tel traitement. Un domaine spécifique de recherche à la frontière (Une frontière est une ligne imaginaire séparant deux territoires, en particulier deux États souverains. Le rôle que joue une frontière peut fortement varier suivant les régions et les époques. Entre les pays de...) de la biologie est né : la biomathématique (La biomathématique sous entend l'association de deux sciences : la biologie et les mathématiques. De façon précise les biomathématiques sont constituées par l'ensemble des méthodes et...).

Depuis le début du XXIe siècle, la chimie organique (La chimie organique est une branche de la chimie concernant la description et l'étude d'une grande classe de molécules à base de carbone : les composés organiques.) a fait appel à l'informatique pour pouvoir modéliser les molécules en trois dimensions : il s'avère que la forme d'une macromolécule (Une macromolécule est une très grande molécule. La notion de macromolécule a été introduite en 1922 par le chimiste allemand Hermann Staudinger. Un système formé par un ensemble de...) en biologie est variable (En mathématiques et en logique, une variable est représentée par un symbole. Elle est utilisée pour marquer un rôle dans une formule, un prédicat ou un algorithme. En...) et détermine son action. Cette modélisation fait appel à la géométrie euclidienne ; les atomes (Un atome (du grec ατομος, atomos, « que l'on ne peut diviser ») est la plus petite partie d'un corps simple pouvant se combiner chimiquement avec une autre. Il est généralement...) forment une sorte de polyèdre (Un polyèdre est une forme géométrique à trois dimensions ayant des faces planes qui se rencontrent le long d'arêtes droites. Le mot polyèdre provient du...) dont les distances et les angles sont fixés par les lois d'interaction (Une interaction est un échange d'information, d'affects ou d'énergie entre deux agents au sein d'un système. C'est une action réciproque qui suppose l'entrée en contact de sujets.).

Les géologies structurales et climatologiques font appel à des modèles mêlant des méthodes probabilistes et analytiques, pour pouvoir prédire du risque de catastrophe (Une catastrophe est un événement brutal, d'origine naturelle ou humaine, ayant généralement la mort et la destruction à grande échelle pour conséquence.) naturelle. La complexité des modèles est telle qu'une branche de recherche est née à la frontière des mathématiques et de la géophysique, à savoir la géophysique mathématique. De même, la météorologie (La météorologie a pour objet l'étude des phénomènes atmosphériques tels que les nuages, les précipitations ou le vent dans le but de comprendre comment ils se forment et...), l'océanographie (L’océanographie (de « océan » et du grec γρ?φειν / gráphein, écrire) est l'étude des océans et des mers de la Terre. Les océanographes étudient un très grand nombre de sujets, incluant la...) et la planétologie (La planétologie est la science de l'étude des planètes. La discipline recouvre de nombreuses branches de la science ; son domaine d'étude...) sont grandes consommatrices de mathématiques car elles nécessitent des modélisations.

Rapport entre les mathématiques et les sciences humaines

Son rapport avec les sciences humaines se fait essentiellement par les statistiques et les probabilités, mais aussi par des équations différentielles, stochastiques ou non, en économie et en finance (sociologie, psychologie, économie, finance, gestion...).

Notamment, les mathématiques financières (Les mathématiques financières sont une branche des mathématiques appliquées ayant pour but la modélisation, la quantification et la compréhension des phénomènes régissant les marchés...) sont une branche des mathématiques appliquées visant à la compréhension de l'évolution des marchés financiers et de l'estimation des risques. Cette branche des mathématiques se développe à la frontière des probabilités et de l'analyse et use des statistiques.

Utilisation non scientifique (Un scientifique est une personne qui se consacre à l'étude d'une science ou des sciences et qui se consacre à l'étude d'un domaine avec la rigueur et les méthodes scientifiques.)

La mathématisation ou l'appel à des méthodes mathématiques ne justifie en aucun cas l'authenticité scientifique. En effet, les postulats d'une « pensée » peuvent être extrêmement problématiques, voire farfelus, mais s'ils sont de nature à être quantifiés, ils peuvent donner lieu à des calculs complexes.

Les théories astrologiques occidentales se défendent de suivre des méthodes scientifiques. En particulier, l'astrologie (L‘astrologie est l'ensemble des systèmes de croyances organisés en vue d'obtenir des renseignements sur les phénomènes terrestres à partir de l'observation des phénomènes...) statistique (La statistique est à la fois une science formelle, une méthode et une technique. Elle comprend la collecte, l'analyse, l'interprétation de données ainsi que la...) utilise les tests statistiques pour mettre en évidence d'éventuelles corrélations entre la position des astres et le devenir des hommes. Toutefois, ces études initiées par Choisnard et Gauquelin, menées à la marge de la recherche scientifique (La recherche scientifique désigne en premier lieu l’ensemble des actions entreprises en vue de produire et de développer les connaissances scientifiques. Par extension métonymique, la recherche...), n'ont en date de 2009 pas été productives et n'ont réussi à donner aucune preuve recevable d'un lien de cause à effet.

Dans l'essai polémique Impostures intellectuelles, Sokal et Bricmont dénoncent l'utilisation non fondée ou abusive d'une terminologie scientifique, en particulier mathématique et physique, dans le domaine des sciences humaines.

L'étude de systèmes complexes (évolution du chômage, capital d'une entreprise, évolution démographique d'une population...) fait appel à des connaissances mathématiques élémentaires (Les mathématiques élémentaires regroupent les mathématiques abordées et abordables dans l'enseignement primaire et secondaire. Une page méta est...). Le choix des critères de comptage, notamment dans le cas du chômage, est sujet à polémique.

Beaucoup plus subtil est le cas de l'économie mathématique. Le postulat fondamental de cette discipline est que l'activité (Le terme d'activité peut désigner une profession.) économique peut se comprendre à partir d'un axiome (Un axiome (du grec ancien αξιωμα/axioma, « considéré comme digne, convenable, évident en...) de nature anthropologique, celui de l'acteur (Un acteur est un artiste qui incarne un personnage dans un film, dans une pièce de théâtre, à la télévision, à la radio, ou même dans des spectacles...) individuel rationnel. Dans cette vision, chaque individu (Le Wiktionnaire est un projet de dictionnaire libre et gratuit similaire à Wikipédia (tous deux sont soutenus par la fondation Wikimedia).) cherche par ses actions à accroître un certain profit, et ce de façon rationnelle. Cette sorte de vision atomiste de l'économie permet à celle-ci de mathématiser relativement aisément sa réflexion, puisque le calcul individuel se transpose en calcul mathématique. Toutefois, certains sociologues, comme Bourdieu, et même certains économistes, refusent ce postulat de l'homo (Homo est le genre qui réunit l'Homme moderne et les espèces apparentées. Le genre apparaît entre environ 2,5 et 2 Ma. Toutes les espèces sont éteintes sauf Homo sapiens ; les dernières espèces...) œconomicus, en remarquant que les motivations des individus comprennent non seulement le don, mais aussi dépendent d'autres enjeux dont l'intérêt financier n'est qu'une partie, ou tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) simplement ne sont pas rationnelles. La mathématisation est donc selon eux un habillage permettant une valorisation scientifique de la matière (La matière est la substance qui compose tout corps ayant une réalité tangible. Ses trois états les plus communs sont l'état solide, l'état liquide, l'état gazeux. La matière occupe de l'espace et...).

Cela dit, la modélisation mathématique en économie permet de percer à jour (Le jour ou la journée est l'intervalle qui sépare le lever du coucher du Soleil ; c'est la période entre deux nuits, pendant laquelle les rayons du Soleil éclairent le...) des mécanismes économiques qui n'auraient pu être découverts que très difficilement par une analyse « littéraire ». Par exemple, les explications des cycles économiques ne sont pas triviales. Sans modélisation mathématique, on peut difficilement aller au-delà du simple constat statistique (Une statistique est, au premier abord, un nombre calculé à propos d'un échantillon. D'une façon générale, c'est le résultat de...) ou des spéculations non prouvées.

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