Losange
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Introduction

Dans un espace affine normé, un losange, anciennement appelé rhombe, est un parallélogramme ayant deux côtés consécutifs de même longueur.

Deux losanges. La figure de gauche montre que les quatre côtés sont congrus. La figure de droite est un losange (Dans un espace affine normé, un losange, anciennement appelé rhombe, est un parallélogramme ayant deux côtés consécutifs de même longueur.) où les propriétés du parallélogramme (Un parallélogramme, en géométrie, est un quadrilatère (convexe) dont les côtés sont parallèles deux à deux ; c'est un trapèze particulier.) sont mises en évidence.

Propriétés

Propriété 1

Pour tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) quadrilatère (En géométrie plane, un quadrilatère est un polygone à 4 côtés.) (quadrilatère est une forme geometrique qui a 4cotés) d'un plan affine (En mathématiques, affine peut correspondre à :) euclidien (espace affine euclidien de dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son diamètre si c'est une pièce...) 2) les propositions suivantes sont équivalentes :

  1. Le quadrilatère est un losange.
  2. Le quadrilatère a ses quatre côtés de même longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus éloignées. Lorsque l’objet est filiforme ou en forme de lacet, sa longueur est celle de...).
  3. Le quadrilatère est un parallélogramme et ses diagonales sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu.
  4. Le losange est un parallélogramme ayant 2 cotés consécutifs de même longueur.

Ces équivalences sont cependant en défaut dans le cas d'un losange aplati (le point (Graphie) 3 n'a alors pas de sens) :

Losange aplati ABCD

Preuve

Soit ABCD un quadrilatère. Soit I le milieu de [AC] et J le milieu de [BD].

Comme A \neq C on peut parler de la médiatrice (En géométrie plane, la médiatrice d'un segment est l'ensemble des points équidistants des extrémités du segment. Cet ensemble est la droite passant par le milieu...) dAC de [AC]. Comme B \neq D on peut parler de la médiatrice dBD de [BD].

Montrons (1) implique (2) :

On suppose que ABCD est un losange.

Comme c'est un parallélogramme, on a AB = CD, BC = AD et comme c'est un losange, on a AB = CB. Par transitivité, AB = BC = CD = DA.

Montrons (2) implique (3) :

On suppose que AB = BC = CD = DA.

De AB = BC et CD = DA, on conclut (DB) = dAC. Ainsi (DB) est perpendiculaire (En géométrie plane, on dit que deux droites sont perpendiculaires quand elles se coupent en formant un angle droit. Le terme de perpendiculaire vient du latin per-pendiculum (fil à plomb) et justifie la...) à (AC) et I appartient à (DB) et (AC).

De BC = CD, on conclut que C \in d_{BD}.

On a (DB)\perp(AC) et (d_{BD})\perp(BD) donc (d_{BD})\parallel(AC) . Comme dBD et (AC) ont le point C en commun, on conclut que dBD = (AC) et donc que J appartient à (AC) et (BD).

Comme (AC) et (BD) sont perpendiculaires, elles ont un unique point commun et donc I = J. ABCD a ses diagonales qui se coupent en leur milieu, c'est donc un parallélogramme.

Montrons (3) implique (1) :

On suppose que (AC) et (BD) sont perpendiculaires et que ABCD est un parallélogramme. Comme (AC) est perpendiculaire à (BD) et passe par J, on conclut que (AC) = dBD et donc que CB = CD.

Propriété 2

Les diagonales d'un losange sont les bissectrices de ses angles.

Preuve

Soit un losange ABCD de centre O. La propriété 1 entraîne que les triangles ABO, CBO, ADO (ADO, sigle de trois lettres où se retrouvent les deux sigles de deux lettres AD et DO, peut faire référence à :) et CDO sont superposables. D'où :

\widehat{OAB} = \widehat{OAD} = \widehat{OCB} = \widehat{OCD}


\widehat{OBA} = \widehat{OBC} = \widehat{ODA} = \widehat{ODC}

c'est-à-dire les diagonales du losange sont les bissectrices de ses angles

Propriété 3

Les angles opposés d'un losange ont la même mesure deux à deux.

Preuve

Soit un losange ABCD de centre O. D'après la preuve de la propriété 2 :

\widehat{OAB} = \widehat{OAD} = \widehat{OCB} = \widehat{OCD}

\widehat{OBA} = \widehat{OBC} = \widehat{ODA} = \widehat{ODC}

Donc, \widehat{DAB} = \widehat{DCB} et \widehat{ABC} = \widehat{ADC}.

Propriété 4

Un losange a au moins deux axes de symétrie : ses diagonales.

Preuve

Soit un losange ABCD de centre O. D'après 3. de la propriété 1, les diagonales se coupent en leur milieu (propriété du parallélogramme) et sont perpendiculaires. Donc C est l'image de A par la symétrie d'axe (BD) et D est l'image de B par la symétrie d'axe (AC).

Propriété 5

Condition pour qu'un parallélogramme soit un losange :

  • Si un parallélogramme possède 2 côtés consécutifs de même longueur alors c'est un losange.
  • Si un parallélogramme a ses diagonales perpendiculaires alors c'est un losange.

Aire


A=\frac{d \times D}{2}
où "d" représente la longueur de la petite diagonale (On appelle diagonale d'un polygone tout segment reliant deux sommets non consécutifs (non reliés par un côté). Un polygone à n...) et "D" représente la longueur de la grande diagonale du losange.

Remarque

La définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.) du losange comme étant un parallélogramme impose qu'un losange est une figure plane (La plane est un outil pour le travail du bois. Elle est composée d'une lame semblable à celle d'un couteau, munie de deux poignées, à chaque extrémité de la lame. Elle permet le dégrossissage et le creusage de...). Il existe des quadrilatères (avec quatre sommets bien distincts) ayant les quatre côtés de même longueur qui ne sont pas des losanges. Il suffit de se placer dans un espace affine (Historiquement, la notion d’espace affine est issue du choc dû à la découverte de nouvelles géométries parfaitement cohérentes, mais différant de celle d'Euclide par l'axiome des...) euclidien de dimension 3 et de faire subir à un côté d'un "vrai losange" une rotation suivant l'une de ses diagonales.

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