Loi normale - Définition

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- Introduction - La loi normale centrée réduite - Champ d'application - La loi normale générale - Stabilité de la loi normale par la somme - Critères et tests de normalité - Stabilité de la loi normale par la moyenne - Simulation - Mélange de populations - Le calcul de l'intégrale de Gauss

Introduction

Distribution gaussienne



Paramètres	$μ$ moyenne (nombre réel) $σ 2 > 0$ variance (nombre réel)
Support	$x \in\, ]-\infty;+\infty[\!$
Densité de probabilité (fonction de masse)	$\frac1{\sigma\sqrt{2\pi}}\; \exp\left(-\frac{\left(x-\mu\right)^2}{2\sigma^2} \right) \!$
Fonction de répartition	$\frac12 \left(1 + \mathrm{erf}\,\frac{x-\mu}{\sigma\sqrt2}\right) \!$
Espérance	$μ$
Médiane (centre)	$μ$
Mode	$μ$
Variance	$σ 2$
Asymétrie (statistique)	0
Kurtosis (non-normalisé)	3 (0 si normalisé)
Entropie	$\ln\left(\sigma\sqrt{2\,\pi\,e}\right)\!$
Fonction génératrice des moments	$M_X(t)= \exp\left(\mu\,t+\sigma^2 \frac{t^2}{2}\right)$
Fonction caractéristique	$\phi_X(t)=\exp\left(\mu\,i\,t-\frac{\sigma^2 t^2}{2}\right)$
modifier

En probabilité, on dit qu'une variable aléatoire réelle X suit une loi normale (ou loi normale gaussienne, loi de Laplace-Gauss) d'espérance μ et d'écart type σ strictement positif (donc de variance σ²) si cette variable aléatoire réelle X admet pour densité de probabilité la fonction p(x) définie, pour tout nombre réel x, par :

$p(x)\ =\ \tfrac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}\ \mathrm{e}^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}$

Une telle variable aléatoire est alors dite variable gaussienne.

On note habituellement cela de la manière suivante :

$X \sim \mathcal{N}(\mu,\, \sigma^2)$

La loi normale est une des principales distributions de probabilité. Elle a été introduite par le mathématicien Abraham de Moivre en 1733 et utilisée par lui afin d'approcher des probabilités associées à des variables aléatoires binomiales possédant un paramètre n très grand. Cette loi a été mise en évidence par Gauss au XIX^e siècle et permet de modéliser de nombreuses études biométriques. Sa densité de probabilité dessine une courbe dite courbe en cloche ou courbe de Gauss.

La loi normale centrée réduite

Définition

Représentation graphique d'une loi normale centrée réduite (dite courbe de Gauss ou courbe en cloche).

On appelle loi normale (ou gaussienne) centrée réduite la loi définie par la densité de probabilité $\varphi : \R \to \R^+$ définie par :

$\varphi(t)=\frac{1}{\sqrt{2\;\pi}}\, \mathrm{e}^{-\frac{t^2}{2}}$

On vérifie qu'elle est continue et que son intégrale sur $\ \R$ est égale à 1.

On sait en effet que $\ \int_{-\infty}^{+\infty}\mathrm{e}^{-\frac{t^2}{2}}\ dt = \sqrt{2\, \pi}$ (intégrale de Gauss).

On démontre (voir plus bas) que la loi définie par cette densité de probabilité admet une espérance nulle et une variance égale à 1.

Remarques :

la densité $\ \varphi$ est paire ;
elle est indéfiniment dérivable et vérifie, pour tout $\ t \in \R$ , l'identité $\varphi'(t) = - t\, \varphi(t)$ .

La représentation graphique de cette densité est une courbe en cloche (ou courbe de Gauss).

Moments

Les moments de cette loi existent tous. Pour tout $\ n \in \mathbb{N}$ , le moment d'ordre n par rapport à l'origine est :

$\ m_n = \int_{-\infty}^{+\infty} t^n\, \varphi(t)\, dt$ .

Pour la suite on supposera $μ = 0$ et $σ 2 = 1$ .

En raison de la parité de l'intégrande, tous les moments d'ordre impair sont nuls :

$m_{2\, k+1} = 0$

Supposons à présent n pair : $\ n = 2\, k$ , où $\ k \in \mathbb{N}$ .

Si $\ k \geq 1$ , une intégration par parties (non détaillée ici) donne :

$m_{2\, k} = \int_{-\infty}^{+\infty} t^{2\, k - 1}\, t\, \varphi(t)\, dt =-\int_{-\infty}^{+\infty} t^{2\, k - 1}\, \varphi'(t)\, dt = (2\, k - 1) \int_{-\infty}^{+\infty} t^{2\, k - 2}\, \varphi(t)\, dt$

ce qui fournit la relation de récurrence :

$m_{2\, k} = (2\, k - 1)\, m_{2\, k - 2}$ .

De cette relation, on déduit, comme $\ m_0 = 1\,$ , que :

$m_{2\, k} = 1 \cdot 3 \cdots (2\, k - 1) = \frac{(2\, k)\, !}{2^k\, k\,!}$

En particulier, $\ m_1 = 0$ (l'espérance est nulle : la loi est donc dite centrée) et $\ m_2 = 1\,$ (la variance vaut $\ \ m_2 - m_1^2 = 1\,\!$ : la loi est donc dite réduite).

Ceci justifie l'appellation de loi normale centrée réduite.

Des formules précédentes, on déduit encore :

$m_3 = 0\,$ et $m_4 = 3\,$

La loi étant réduite, les moments centrés sont tous égaux aux moments par rapport à l'origine de même rang ; en particulier :

$\mu_2 = \sigma^2 = 1\,$ , $\mu_3 = 0\,$ et $\mu_4 = 3 \sigma^4 \,$ .

On en déduit l'asymétrie (skewness) : $\gamma_1 = \frac{\mu_3}{\sigma^3} = 0\,$ et l'aplatissement (kurtosis) : $\beta_2 = \frac{\mu_4}{\sigma^4} = 3\,$ .

Fonction de répartition

On note $Φ$ la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite. Elle est définie, pour tout réel x, par :

$\ \Phi(x) = \int_{-\infty}^x \varphi(t)\, dt = \int_{-\infty}^x\frac{1}{\sqrt{2\,\pi}}\,\mathrm{e}^{-\frac{t^2}{2}}\, dt.$

$Φ$ est la primitive de $\varphi$ qui tend vers 0 en $-\infty$ ; cette primitive ne s'exprime pas à l'aide des fonctions usuelles (exponentielle, etc.) mais devient elle-même une fonction usuelle, importante, pour quiconque pratique le calcul des probabilités ou les statistiques. La fonction $Φ$ s'exprime à l'aide de la fonction d'erreur, elle même notée erf :

$\Phi(z)\ =\ \frac12\left(1+\operatorname{erf}\left(\tfrac{z}{\sqrt{2}}\right)\right),$

ou bien encore

$\operatorname{erf}(z)\ =\ 2\Phi\left(z\sqrt{2}\right)-1.$

Citons les propriétés suivantes de la fonction $Φ$ :

Elle est indéfiniment dérivable, et $\Phi' = \varphi$
Elle est strictement croissante, tend vers 0 en $-\infty$ et vers 1 en $+\infty$

(c'est donc une bijection $\R \to\, ]0,\, 1[\,$ : pour tout $p \in\, ]0,\, 1[\,$ , il existe $x \in \R$ unique, noté $\ \Phi^{-1}(p)$ , tel que $\ \Phi(x) = p$ )

Pour tout $x \in \R, \Phi(-x) = 1 - \Phi(x)$ (ceci résulte de ce que la densité est paire) ; en particulier, $\ \Phi(0) = 0,5$

Remarque : les notations $\varphi$ et $\ \Phi$ pour désigner « la » densité et la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite sont usuelles.

Approximation de la fonction de répartition

Il n'existe pas d'expression pour $Φ$ mais on peut exploiter avec profit son aspect régulier pour en donner une approximation grâce à un développement en série de Taylor. Par exemple, voici une approximation (à l'ordre 5) autour de 0:

$\Phi(x) \approx \frac{1}{2} + \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \left(x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{40}\right).$

Cette approximation est performante pour $| x | < 2$ .

Une approximation pour les grandes valeurs de x est donnée, pour x positif, par la formule

$1-\Phi(x) = \frac{e^{-x^2}}{\sqrt{2\pi}}. \left ( \frac{1}{x} +\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{(2k-1)!!\,(-1)^k}{x^{2k+1}}\right),$

série divergente pour tout x positif, mais dont les sommes partielles encadrent 1-Φ(x) de manière efficace lorsque x est grand. Par exemple,

$\frac{e^{-x^2}}{\sqrt{2\pi}}\left ( \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{3}}\right)\ \le\ 1-\Phi(x)\ \le\ \frac{e^{-x^2}}{x\sqrt{2\pi}},$

d'où une erreur relative inférieure à 25% pour x supérieur à 2 ou bien inférieure à 11% pour x supérieur à 3. Ou bien encore :

$\frac{e^{-x^2}}{\sqrt{2\pi}}\left ( \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{3}}+\frac{3}{x^5} - \frac{15}{x^{7}}\right)\ \le\ 1-\Phi(x)\ \le\ \frac{e^{-x^2}}{\sqrt{2\pi}}\left ( \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{3}}+\frac{3}{x^5}\right),$

d'où une erreur relative inférieure à 25% pour x supérieur à 2 ou bien inférieure à 2% pour x supérieur à 3.

Tables numériques

Il existe des tables de la fonction de répartition, donnant des valeurs approchées de $\ \Phi(x)$ ; on se limite à des $x$ positifs ou nuls : en effet, si par exemple on connaît l'approximation $\Phi(0,5) \simeq 0,6915$ , on en déduit $\Phi(-0,5) \simeq 1 - 0,6915 = 0,3085$ .

Au lieu des précédentes, on utilise souvent des tables de la fonction qu'on notera ici $\ \Phi$ , définie sur $\ \R^+$ par :

$\Phi(x) =\int_{-\infty}^x \varphi(t)\, dt$

La table suivante donne pour tout x de 0 jusqu'à 3,9 par pas de 0,01, la valeur de 10⁵ $Φ(x)$ . Ces valeurs sont arrondies à l'unité la plus proche.

L'entrée en ligne donne les deux premiers chiffres de $x$ , c'est-à-dire le chiffre des unités et celui des dixièmes, et l'entrée en colonne le chiffre des centièmes.

Par exemple : Pour $Φ(1,73) = 0,95818$ , on choisira 1,7 en ligne et 0,03 en colonne (1,7 + 0,03 = 1.73) et l'intersection nous donnera le résultat.

	0,00	0,01	0,02	0,03	0,04	0,05	0,06	0,07	0,08	0,09
0,0	50000	50399	50798	51197	51595	51994	52392	52790	53188	53586
0,1	53983	54380	54776	55172	55567	55962	56356	56749	57142	57535
0,2	57926	58317	58706	59095	59483	59871	60257	60642	61026	61409
0,3	61791	62172	62552	62930	63307	63683	64058	64431	64803	65173
0,4	65542	65910	66276	66640	67003	67364	67724	68082	68439	68793
0,5	69146	69497	69847	70194	70540	70884	71226	71566	71904	72240
0,6	72575	72907	73237	73565	73891	74215	74537	74857	75175	75490
0,7	75804	76115	76424	76730	77035	77337	77637	77935	78230	78524
0,8	78814	79103	79389	79673	79955	80234	80511	80785	81057	81327
0,9	81594	81859	82121	82381	82639	82894	83147	83398	83646	83891
1,0	84134	84375	84614	84849	85083	85314	85543	85769	85993	86214
1,1	86433	86650	86864	87076	87286	87493	87698	87900	88100	88298
1,2	88493	88686	88877	89065	89251	89435	89617	89796	89973	90147
1,3	90320	90490	90658	90824	90988	91149	91309	91466	91621	91774
1,4	91924	92073	92220	92364	92507	92647	92785	92922	93056	93189
1,5	93319	93448	93574	93699	93822	93943	94062	94179	94295	94408
1,6	94520	94630	94738	94845	94950	95053	95154	95254	95352	95449
1,7	95543	95637	95728	95818	95907	95994	96080	96164	96246	96327
1,8	96407	96485	96562	96638	96712	96784	96856	96926	96995	97062
1,9	97128	97193	97257	97320	97381	97441	97500	97558	97615	97670
2,0	97725	97778	97831	97882	97932	97982	98030	98077	98124	98169
2,1	98214	98257	98300	98341	98382	98422	98461	98500	98537	98574
2,2	98610	98645	98679	98713	98745	98778	98809	98840	98870	98899
2,3	98928	98956	98983	99010	99036	99061	99086	99111	99134	99158
2,4	99180	99202	99224	99245	99266	99286	99305	99324	99343	99361
2,5	99379	99396	99413	99430	99446	99461	99477	99492	99506	99520
2,6	99534	99547	99560	99573	99585	99598	99609	99621	99632	99643
2,7	99653	99664	99674	99683	99693	99702	99711	99720	99728	99736
2,8	99744	99752	99760	99767	99774	99781	99788	99795	99801	99807
2,9	99813	99819	99825	99831	99836	99841	99846	99851	99856	99861
3,0	99865	99869	99874	99878	99882	99886	99889	99893	99896	99900
3,1	99903	99906	99910	99913	99916	99918	99921	99924	99926	99929
3,2	99931	99934	99936	99938	99940	99942	99944	99946	99948	99950
3,3	99952	99953	99955	99957	99958	99960	99961	99962	99964	99965
3,4	99966	99968	99969	99970	99971	99972	99973	99974	99975	99976
3,5	99977	99978	99978	99979	99980	99981	99981	99982	99983	99983
3,6	99984	99985	99985	99986	99986	99987	99987	99988	99988	99989
3,7	99999	99999	99999	99999	99999	99999	99999	99999	99999	99999
3,8	99999	99999	99999	99999	99999	99999	99999	99999	99999	99999
3,9	100000	100000	100000	100000	100000	100000	100000	100000	100000	100000

On dispose des relations simples suivantes entre $\ \Phi$ et $\ \Phi_0$ (découlant de la formule de Chasles pour les intégrales) :

si $\ x \geq 0$ , alors $\ \Phi(x) = 0,5 + \Phi_0(x)$
si $\ x < 0$ , alors $\ \Phi(x) = 0,5 - \Phi_0(-x)$

Soit T une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite :

pour tout $\ x \in \R,\, P(T \leq x) = \Phi(x)$ et pour tout $\ x \in \R^+,\, P(0 \leq T \leq x) = \Phi_0(x)$

pour tout couple $\ x_1,\, x_2$ de réels tels que $\ x_1 \leq x_2$ , $\ P(x_1 \leq T \leq x_2) = \Phi(x_2)- \Phi(x_1)$ .

Exemples numériques

À l'aide de la table ci-dessus, on obtient, pour la variable aléatoire précédente :

$\ P(0 \leq T \leq 1,7) = \Phi_0(1,7) \simeq 0,4554$

$\ P(T \leq 1,7) = \Phi(1,7) = 0,5 + \Phi_0(1,7) \simeq 0,9554$

$\ P(-0,3 \leq T \leq 1,7) = \Phi(1,7)- \Phi(-0,3) = 0,5 + \Phi_0(1,7) - 0,5 + \Phi_0(0,3) \simeq 0,5733$

Champ d'application

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