Loi hypergéométrique - Définition
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Introduction
| Hypergéométrique | |
|---|---|
| Paramètres |
![\begin{align}A&\in 0,1,2,\dots \\ p&\in [0;1] \\ n&\in 0,1,2,\dots,N\end{align}\,](https://static.techno-science.net/illustrationWebp/Definitions/autres/0/05d5a70080e0aff1630d509979541333_35a57439571237f762bb265fda0e1ddf.png)
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| Support |
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| Densité de probabilité (fonction de masse) |
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| Espérance | np |
| Mode |
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| Variance |
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| Asymétrie (statistique) |
![\frac{(A-2n)(1-2p)(A-1)^\frac{1}{2}}{[npq(A-n)]^\frac{1}{2}(A-2)}](https://static.techno-science.net/illustrationWebp/Definitions/autres/c/c268ab72901d7b96780858953373b981_7e108812238640ca286052f90966debd.png)
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| Kurtosis (non-normalisé) |
![\left[\frac{A^2(A-1)}{n(A-2)(A-3)(A-n)}\right]](https://static.techno-science.net/illustrationWebp/Definitions/autres/d/dcafbea7b206fd8e2315cb2e09b8a67c_a8199a538fbdc1072ec1240a9da66b1b.png)
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| Fonction génératrice des moments |
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| Fonction caractéristique |
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| modifier | |
![+\left.\frac{3n(A-n)(A+6)}{A^2}-6\right]](https://static.techno-science.net/illustrationWebp/Definitions/autres/4/4f45397a6dfa4d2d39ec9291d66975b7_eca35ae4f96f9f81ce1b2cf03d52631c.png)
Une loi hypergéométrique de paramètres n, p et A correspond au modèle suivant:
-
- On tire simultanément n boules dans une urne contenant pA boules gagnantes et qA boules perdantes (avec q = 1 - p, soit un nombre total de boules valant pA + qA = A). On compte alors le nombre de boules gagnantes extraites et on appelle X la variable aléatoire donnant le nombre de boules gagnantes.
L'univers X(Ω) est l'ensemble des entiers de 0 à n. La variable aléatoire suit une loi de probabilité définie par
-
Cette loi de probabilité s'appelle la loi hypergéométrique de paramètres (n ; p ; A). Il est nécessaire que p soit un réel compris entre 0 et 1, que pA soit entier et que n ≤ A. Lorsque ces conditions ne sont pas imposées, l'ensemble des possibles X(Ω) est l'ensemble des entiers entre max(0;n-qA) et min(pA;n).
Une autre paramétrisation très répandue consiste à considérer une loi Hypergéométrique de paramètres (A, Na, n) avec A le nombre total de boules, Na le nombre de boules à succès (ici pA) et n le nombre de tirages.
Calcul de p(k)
Il s'agit d'un tirage simultané (c'est-à-dire non ordonné et sans remise) de n éléments parmi A. Tirage que l'on considère comme équiprobable.
La combinatoire permet de dire que le cardinal de l'univers est
| Tirage | Resté dans l'urne | Total | |
|---|---|---|---|
| succès | k | pA-k | pA |
| échec | n-k | qA - n + k | qA |
| Total | n | A-n | A |
L'événement { X=k } (voir tableau) signifie que l'on a tiré k boules gagnantes parmi pA et n - k boules perdantes parmi qA. Le cardinal de cet événement est donc
La probabilité de l'événement est donc
Convergence
Pour n petit devant A, la loi hypergéométrique converge vers une loi binomiale de paramètres n et p. En fait, on considère que, pour A grand, tirer simultanément n boules revient à effectuer n fois une épreuve de Bernoulli dont la probabilité de succès serait p (p est la proportion de boules gagnantes dans l'ensemble des boules), car il est très peu probable de retomber sur la même boule, même si on la replace dans l'urne.
Décomposons
- Pour le premier terme :
Pour
- Le même raisonnement pour le second terme permet d'obtenir :
- Enfin, pour le troisième terme :
En conclusion, on a :
En pratique, on peut approximer la loi hypergéométrique de paramètres (n ; p ; A) par une loi binomiale de paramètres (n ; p) dès que n/A < 10%. C'est-à-dire lorsque l'échantillon n est 10 fois plus petit que la population A.
Un exemple très classique de ce remplacement concerne le sondage. On considère fréquemment le sondage de n personnes comme n sondages indépendants alors qu'en réalité le sondage est exhaustif (on n'interroge jamais deux fois la même personne). Comme n (nombre de personnes interrogées) < A (population sondée)/10, cette approximation est légitime.
