Loi forte des grands nombres - Définition

Source: Wikipédia sous licence CC-BY-SA 3.0.
La liste des auteurs de cet article est disponible ici.

- Introduction - Énoncé général - Démonstration de la loi forte de Kolmogorov - Loi forte des grands nombres de Kolmogorov

Démonstration de la loi forte de Kolmogorov

1ère étape de la démonstration : troncature

On suppose tout d'abord que les variables $\ \scriptstyle X_{n}\$ sont centrées. On n'abandonnera cette hypothèse qu'à la toute dernière étape de la démonstration. On pose

Dans cette section on démontre que

Proposition 1. — Soit une suite $\ \scriptstyle \left(X_{n}\right)_{n\ge 1}\$ de variables aléatoires indépendantes et de même loi, intégrables. Alors (la loi forte des grands nombres)

est équivalente à

Posons

Alors

$\begin{align} \sum_{n\ge1}\,\mathbb{P}\left(A_{n}\right) &= \sum_{n\ge1}\,\mathbb{P}\left(X_{n}\neq X^{\prime}_{n}\right) \\ &= \sum_{n\ge1}\,\mathbb{P}\left(\left|X_{n}\right|>n\right) \\ &= \sum_{n\ge1}\,\mathbb{P}\left(\left|X_{1}\right|>n\right) \\ &= \sum_{n\ge1}\,\mathbb{E}\left[1_{\left|X_{1}\right|>n}\right] \\ &= \mathbb{E}\left[\sum_{n\ge1}\,1_{\left|X_{1}\right|>n}\right], \end{align}$

la 3ème égalité car $\ \scriptstyle X_{1}\$ et $\ \scriptstyle X_{n}\$ ont même loi, la dernière égalité en vertu du Théorème de convergence monotone pour les séries à termes positifs. Notons que la fonction $\ \scriptstyle \phi\$ définie pour $\ \scriptstyle x\ge 0\$ par

$\phi(x) = \sum_{n\ge1}\,1_{x>n}$

satisfait, pour $\ \scriptstyle x\ge 0\$ ,

Ainsi

$\begin{align} \sum_{n\ge1}\,\mathbb{P}\left(A_{n}\right) &= \mathbb{E}\left[\sum_{n\ge1}\,1_{\left|X_{1}\right|>n}\right] \\ &= \mathbb{E}\left[\phi\left(\left|X_{1}\right|\right)\right] \\ &\le \mathbb{E}\left[\left|X_{1}\right|\right]<+\infty. \end{align}$

En vertu du lemme de Borel-Cantelli, il suit que

On note

\begin{align} \hat{\Omega} &= \left(\limsup A_{n}\right)^c \\ &= \left\{\omega\in\Omega\,|\,\left\{n\ge 1\,|\,X_{n}(\omega)\neq X^{\prime}_{n}(\omega)\right\}\text{ est un ensemble fini}\right\}, \\ \tilde{\Omega} &= \left\{\omega\in\Omega\,|\,\lim_{n}\ n^{-1}\,\left(S_{n}(\omega)- S^{\prime}_{n}(\omega)\right)\ = 0\right\} \\ \Omega_{1} &= \left\{\omega\in\Omega\,|\,\lim_{n}\ n^{-1}\,S_{n}(\omega)\ = 0\right\} \\ \Omega_{2} &= \left\{\omega\in\Omega\,|\,\lim_{n}\ n^{-1}\,S^{\prime}_{n}(\omega)\ = 0\right\} \end{align}

et on remarque que si $\ \scriptstyle \omega\in\hat{\Omega}\$ , la série

est une série convergente, puisque, en dehors d'un nombre fini d'entre eux, tous ses termes sont nuls. Ainsi la suite des sommes partielles,

est une suite convergente, donc bornée, ce qui entraîne que

Autrement dit, en vertu de la première partie de cette démonstration,

Les quelques lignes qui précèdent montrent que

il suit donc que

Par ailleurs, il est clair que

On a donc bien

Dans les sections suivantes on va donc démontrer que

L'idée est que plus les variables concernées sont intégrables, i.e. plus la queue de distribution $\scriptstyle\ \mathbb{P}\left(\left|X_1-\mathbb{E}(X_1)\right|\ge x\right)$ décroît rapidement, plus il est facile de démontrer la loi forte des grands nombres à l'aide du lemme de Borel-Cantelli. Ainsi il est facile de démontrer une forme affaiblie de la loi forte des grands nombres, par exemple sous l'hypothèse que les variables $\scriptstyle\ X_n$ sont i.i.d. bornées, auquel cas $\scriptstyle\ \mathbb{P}\left(\left|X_1-\mathbb{E}(X_1)\right|\ge x\right)$ est nulle pour $\scriptstyle\ x$ assez grand, ou bien sous l'hypothèse, moins brutale, que les variables $\scriptstyle\ X_n$ sont i.i.d. et possèdent un moment d'ordre 4, auquel cas $\scriptstyle\ \mathbb{P}\left(\left|X_1-\mathbb{E}(X_1)\right|\ge x\right)=\mathcal{O}\left(x^{-4}\right)$ . Ici, en tronquant les $\scriptstyle\ X_n$ , Kolmogorov s'est ramené à des variables $\scriptstyle\ X^{\prime}_n$ bornées et indépendantes, mais qui n'ont pas même loi.

2ème étape de la démonstration : recentrage

Les $\ \scriptstyle X_{k}\$ ont beau être centrées, cela n'entraîne pas que les $\ \scriptstyle X^{\prime}_{k}\$ soient centrées, sauf si on suppose, par exemple, que les $\ \scriptstyle X_{k}\$ sont symétriques, i.e. sauf si $\ \scriptstyle X_{k}\$ a même loi que $\ \scriptstyle -X_{k}\$ . Par exemple, si $\ \scriptstyle f_{X_{1}}(x)=e^{-x-1}1_{[-1,+\infty[}(x)\$ , alors, dès que $\ \scriptstyle n\ge 1,\$ $\ \scriptstyle X^{\prime}_{k}\$ n'est pas centrée. Il est commode, pour la suite, de centrer les $\ \scriptstyle X^{\prime}_{k}\$ : on pose

Alors

Proposition 2. — Soit une suite $\ \scriptstyle \left(X_{n}\right)_{n\ge 1}\$ de variables aléatoires indépendantes et de même loi, intégrables. Alors

est équivalent à

Un calcul simple donne que

la différence ne dépendant pas de $\ \scriptstyle \omega\$ (n'étant pas aléatoire). Par ailleurs

En effet $\ \scriptstyle X_{1}\$ et $\ \scriptstyle X_{n}\$ ont même loi, et, d'autre part, pour tout $\ \scriptstyle \omega\in\Omega\$ ,

On peut donc appliquer le Théorème de convergence dominée de Lebesgue, et obtenir

Finalement, on sait, en vertu du lemme de Cesàro, que la convergence d'une suite ( $\ \scriptstyle u_{n}\rightarrow\ell\$ ) entraîne sa convergence en moyenne de Cesàro ( $\ \scriptstyle \frac{u_{1}+u_{2}+\dots+u_{n}}n\rightarrow\ell\$ ), donc, pour tout $\ \scriptstyle \omega\in\Omega\$ ,

La Proposition 2 est donc démontrée.

3ème étape : Inégalité de Kolmogorov

C'est l'étape où Kolmogorov utilise l'hypothèse d'indépendance (et, sans le dire, la notion de temps d'arrêt). Par contre, l'Inégalité de Kolmogorov ne requiert pas des variables de même loi.

Inégalité de Kolmogorov. — Soit une suite $\ \scriptstyle \left(Y_{n}\right)_{n\ge 1}\$ de v.a.r. indépendantes et centrées. Posons

Alors, pour tout $\ \scriptstyle x>0\$ ,

$\mathbb{P}\left(\sup\left\{\left|W_{n}\right|\,|\,n\ge 1\right\}>x\right)\le \frac{\sum_{n\ge 1}\text{Var}\left(Y_{n}\right)}{x^2}.$

Si $\ \scriptstyle \sum_{n\ge 1}\text{Var}\left(Y_{n}\right)=+\infty\$ , l'inégalité est vérifiée. Dans la suite, on suppose que

On pose

$\sigma=\left\{\begin{array}{lll} +\infty&\ \ &\text{si }\left\{k\ge 1\ |\ \left|W_{k}\right|>x\right\}=\emptyset, \\ && \\ \inf\left\{k\ge 1\ |\ \left|W_{k}\right|>x\right\}&\ \ &\text{sinon.} \end{array}\right.$

On remarque alors que, pour $\ \scriptstyle k\le n\$ ,

En effet $\ \scriptstyle W_{n}-W_{k}=Y_{k+1}+Y_{k+2}+\dots+Y_{n}\$ , alors que

$\begin{align} \left\{\sigma=k\right\} &= \left\{\left|W_{1}\right|\le x, \left|W_{2}\right|\le x,\dots,\left|W_{k-1}\right|\le x\text{ et }\left|W_{k}\right|> x\right\} \\ &= \left\{\left|Y_{1}\right|\le x,\ \left|Y_{1}+Y_{2}\right|\le x,\ \dots,\ \left|Y_{1}+\dots+Y_{k-1}\right|\le x\text{ et }\left|Y_{1}+\dots+Y_{k}\right|> x \right\}. \end{align}$

Ainsi pour deux boréliens quelconques $\ \scriptstyle A\$ et $\ \scriptstyle B\$ , les deux évènements

appartiennent aux tribus $\ \scriptstyle \sigma\left(Y_{1},Y_{2},\dots,Y_{k}\right)\$ et $\ \scriptstyle \sigma\left(Y_{k+1},Y_{k+2},\dots,Y_{n}\right)\$ , respectivement. Ils sont donc indépendants en vertu du lemme de regroupement, ce qui implique bien $\ \scriptstyle W_{k}1_{\sigma=k}\ \bot\ W_{n}-W_{k}$ . On a

\begin{align} \sum_{k=1}^n\,\text{Var}\left(Y_{k}\right) &= \text{Var}\left(W_{n}\right)\ =\ \mathbb{E}\left[W_{n}^2\right] \\ &\ge \mathbb{E}\left[W_{n}^21_{\sigma<+\infty}\right] \\ &= \sum_{k\ge1}\ \mathbb{E}\left[W_{n}^2\ 1_{\sigma=k}\right] \\ &\ge \sum_{k=1}^n\ \mathbb{E}\left[W_{n}^21_{\sigma=k}\right] \\ &= \sum_{k=1}^n\ \mathbb{E}\left[\left(W_{n}-W_{k}+W_{k}\right)^21_{\sigma=k}\right] \\ &\ge \sum_{k=1}^n\ \mathbb{E}\left[W_{k}^21_{\sigma=k}\right]+2\mathbb{E}\left[W_{n}-W_{k}\right]\mathbb{E}\left[W_{k}1_{\sigma=k}\right] \\ &= \sum_{k=1}^n\ \mathbb{E}\left[W_{k}^21_{\sigma=k}\right] \\ &\ge \sum_{k=1}^n\ \mathbb{E}\left[x^21_{\sigma=k}\right] \\ &= x^2\mathbb{P}\left(\sigma\le n\right), \end{align}

où la troisième inégalité s'obtient en développant le carré en deux termes carrés (dont l'un est supprimé pour minorer l'expression précédente) et un double produit (de deux variables indépendantes, en vertu de $\ \scriptstyle W_{k}1_{\sigma=k}\ \bot\ W_{n}-W_{k}$ ). L'égalité suivante tient à ce que $\ \scriptstyle W_{n}-W_{k}\$ est centrée (comme somme de v.a. centrées), et la dernière inégalité découle de la définition du temps d'arrêt $\ \scriptstyle \sigma\$ : par définition, au temps $\ \scriptstyle \sigma\$ , on a $\ \scriptstyle W_{\sigma}>x\$ . En faisant tendre $\ \scriptstyle n\$ vers l'infini on obtient

$\begin{align} \sum_{k\ge 1}\,\text{Var}\left(Y_{k}\right) &\ge x^2\ \mathbb{P}\left(\sigma< +\infty\right), \\ &= x^2\ \mathbb{P}\left(\left\{k\ge 1\ |\ \left|W_{k}\right|>x\right\}\neq\emptyset\right), \\ &= x^2\ \mathbb{P}\left(\sup\left\{\left|W_{n}\right|\,|\,n\ge 1\right\}>x\right), \end{align}$

C.Q.F.D.

Voir aussi l'article en anglais sur le même sujet.

4ème étape : Convergence de séries de variables aléatoires

L'inégalité de Kolmogorov est, avec le lemme de Borel-Cantelli, l'ingrédient essentiel de la preuve de la proposition suivante :

Proposition 3. — Soit une suite $\ \ \scriptstyle \left(U_{n}\right)_{n\ge 1}\$ de v.a.r. indépendantes et centrées. Si

alors la suite $\ \scriptstyle T_{n}=U_{1}+U_{2}+\cdots+U_{n}\$ est convergente, ou bien, équivalemment, la série $\ \scriptstyle \sum_{n\ge 1}\ U_{n}\$ est convergente.

On pose

En vertu de la convergence de la série de terme général $\ \scriptstyle \text{Var}\left(U_{k}\right)\$ , la suite $\ \scriptstyle (r_{M})_{M\ge 1}\$ converge vers 0. On applique l'inégalité de Kolmogorov à la suite

Y n = U M + n .

Avec les notations de l'inégalité de Kolmogorov, on a

\begin{align} W_{n} &= T_{M+n}-T_{M}, \\ \sum_{k\ge 1}\text{Var}\left(Y_{k}\right) &= r_{M}. \end{align}

Donc l'inégalité de Kolmogorov nous donne, pour tout $\ \scriptstyle x>0\$ et $\ \scriptstyle M\ge 1\$ ,

$\mathbb{P}\left(\sup_{n\ge 1}\left|T_{M+n}-T_{M}\right|>x\right)\le\frac{r_{M}}{x^2}.$

Notons que la suite de variables aléatoires $\ \scriptstyle (V_{M})_{M\ge 0}\$ , définie par

$\begin{align} V_{M} &= \sup_{n,m\ge 1}\left|T_{M+n}-T_{M+m}\right| \\ &= \sup_{k,\ell> M}\left|T_{k}-T_{\ell}\right|, \end{align}$

est décroissante, puisque la suite d'ensembles $\ \scriptstyle (C_{M})_{M\ge 0}\$ , définie par

$C_M=\{\left|T_{k}-T_{\ell}\right|\ |\ k,\ell> M\},$

est décroissante. De plus $\ \scriptstyle V_{M}\$ satisfait à

\begin{align} V_{M} &\le \sup_{n,m\ge 1}\left(\left|T_{M+n}-T_{M}\right|+\left|T_{M}-T_{M+m}\right|\right) \\ &= 2\sup_{n\ge 1}\left|T_{M+n}-T_{M}\right|. \end{align}

On en déduit que, pour tout $\ \scriptstyle k,M\ge 1\$ ,

$\begin{align} \mathbb{P}\left(V_{M}>\tfrac1k\right) &\le \mathbb{P}\left(\sup_{n\ge 1}\left|T_{M+n}-T_{M}\right|>\tfrac1{2k}\right) \\ &\le 4k^2r_{M}. \end{align}$

La suite $\ \scriptstyle (r_{M})_{M\ge 1}\$ convergeant vers 0, il suit que, pour tout $\ \scriptstyle k\ge 1\$ , on peut choisir $\ \scriptstyle M(k)>M(k-1)\$ tel que

$\mathbb{P}\left(V_{M(k)}>\tfrac1k\right) \le 2^{-k}.$

Ainsi

$\sum_{k}\mathbb{P}\left(V_{M(k)}>\tfrac1k\right)<+\infty,$

et le lemme de Borel-Cantelli entraîne que, presque sûrement, à partir d'un certain rang, $\ \scriptstyle V_{M(k)}\$ est majorée par $\ \scriptstyle \tfrac1k,\$ et donc que $\ \scriptstyle V_{M(k)}\$ converge presque sûrement vers 0. Par ailleurs, on a vu plus haut que pour tout $\ \scriptstyle \omega\$ , $\ \scriptstyle V_{M}(\omega)\$ est une suite décroissante en $\ \scriptstyle M.\$ Une suite décroissante possédant une sous-suite convergente est elle-même convergente, donc $\ \scriptstyle V_{M}\$ converge presque sûrement vers 0. Or

\begin{align} \left\{\lim_{M}V_{M}(\omega)=0\right\}\ &\stackrel{{\scriptstyle\text{def.}}}{\Leftrightarrow}\ \left\{T_{n}(\omega)\text{ est une suite de Cauchy}\right\} \\ &\Leftrightarrow\ \left\{T_{n}(\omega)\text{ est une suite convergente}\right\} \\ &\Leftrightarrow\ \left\{\sum_{n}U_{n}(\omega)\text{ est une serie convergente}\right\} \end{align}

C.Q.F.D.

5ème étape : Lemme de Kronecker

Lemme de Kronecker. — Soit une suite $\ \scriptstyle \left(a_{n}\right)_{n\ge 1}\$ de nombres strictement positifs, décroissante vers 0. Si $\ \scriptstyle \sum_{n}a_{n}u_{n}\$ est une série convergente, alors

La démonstration ci-dessous vaut seulement pour $\ \scriptstyle a_{n}=n^{-\beta}\$ , $\ \scriptstyle \beta>0\$ , mais la démonstration de la loi forte utilise le lemme de Kronecker pour $\ \scriptstyle a_{n}=n^{-1}\$ , $\ \scriptstyle \beta=1\$ . On peut trouver une démonstration générale du Lemme de Kronecker ici. Posons

Alors

\begin{align} -a_{n}\left(u_{1}+u_{2}+\cdots+u_{n}\right)+\sum_{k=1}^na_{k}u_{k} &= -n^{-\beta}\sum_{k=1}^nu_{k}+\sum_{k=1}^nb_{k} \\ &= -\sum_{k=1}^n\left(\tfrac{k}{n}\right)^{\beta}b_{k}+\sum_{k=1}^nb_{k} \\ &= \sum_{k=1}^n\ \ b_{k}\int_{\tfrac{k}{n}}^1\,\beta x^{\beta-1}\,dx \\ &= \sum_{k=1}^n\ \ b_{k}\int_{0}^1\,\beta x^{\beta-1}1_{k\le nx}\,dx \\ &= \int_{0}^1\,\beta x^{\beta-1}\left(\sum_{1\le k\le nx}\ b_{k}\right)\,dx \end{align}

Comme la suite $\ \scriptstyle \left(\sum_{1\le k\le n}\ b_{k}\right)_{n}\$ est convergente, il existe un réel $\ \scriptstyle M \$ tel que

Donc la suite de fonctions $\ \scriptstyle (\phi_{n})_{n} \$ définies sur $\ \scriptstyle [0,1] \$ par

est une suite de fonctions uniformément bornées par $\ \scriptstyle M \$ (en valeur absolue). De plus, pour tout $\ \scriptstyle x\in[0,1] \$ ,

$\lim_{n}\phi_{n}(x)=b\ 1_{x>0}.$

Ainsi le théorème de convergence dominée de Lebesgue donne

$\begin{align} \lim_{n}\int_{0}^1\,\beta x^{\beta-1}\left(\sum_{1\le k\le nx}\ b_{k}\right)\,dx &= b\ \int_{0}^1\,\beta x^{\beta-1}1_{x>0}\,dx \\ &= b. \end{align}$

Comme on a $\ \scriptstyle \lim_{n}\sum_{k=1}^nb_{k}=b \$ , en observant le second terme de l'identité

démontrée plus haut, on en déduit que

C.Q.F.D.

Cette démonstration est empruntée à Sydney Resnik, A probability path.

Pour conclure sa démonstration, Kolmogorov utilise le lemme de Kronecker avec $\ \scriptstyle a_{n}=\tfrac{1}{n} \$ , voir section suivante.

6ème étape : Conclusion dans le cas de variables centrées

Lemme 1. — Avec les notations de l'étape "recentrage", on a

Les calculs s'arrangent mieux si on remplace $\ \scriptstyle k \$ par $\ \scriptstyle k+1 \$ au dénominateur. Pour $\ \scriptstyle k\ge 2 \$ on a

Comme $\ \scriptstyle \lim_{n} \mathbb{E}\left[X^{\prime}_{n}\right]=0 \$ ,

et la convergence de la série

est équivalente à la convergence de la série

\begin{align} \sum_{k\ge 1}\ \frac{\mathbb{E}\left[X^{\prime 2}_{k}\right]}{(k+1)^2} &= \sum_{k\ge 1}\ (k+1)^{-2}\ \mathbb{E}\left[X^{2}_{1}\,1_{0<\left|X_{1}\right|\le k}\right] \\ &\le \sum_{k\ge 1}\ \int_{k}^{k+1}x^{-2}\ \mathbb{E}\left[X^{2}_{1}\,1_{0<\left|X_{1}\right|\le x}\right]\ dx \\ &= \int_{1}^{+\infty}x^{-2}\ \mathbb{E}\left[X^{2}_{1}\,1_{0<\left|X_{1}\right|\le x}\right]\ dx \\ &= \mathbb{E}\left[X^{2}_{1}\,1_{0<\left|X_{1}\right|}\ \int_{1}^{+\infty}x^{-2}\ 1_{\left|X_{1}\right|\le x}\ dx\right] \\ &\le \mathbb{E}\left[X^{2}_{1}\,1_{0<\left|X_{1}\right|}\ \int_{\left|X_{1}\right|}^{+\infty}\ x^{-2}\ dx\right] \\ &= \mathbb{E}\left[X^{2}_{1}\,1_{0<\left|X_{1}\right|}\left|X_{1}\right|^{-1}\right] \\ &= \mathbb{E}\left[\left|X_{1}\right|\right]\ <\ +\infty, \end{align}

par hypothèse.

Du Lemme 1 et de la Proposition 3, on déduit que, presque sûrement,

puis, grâce au lemme de Kronecker, on déduit que, presque sûrement,

ce qui est équivalent à la loi forte des grands nombres (pour des variables centrées), comme on l'a vu aux étapes "troncature" et "recentrage".

7ème étape : décentrage

Si on ne suppose plus les $\ \scriptstyle X_{n} \$ centrées, mais seulement i.i.d. et intégrables, on pose

et, les étant centrées, i.i.d. et intégrables, la conclusion des étapes précédentes est que

Mais

\begin{align} \frac{\hat{S}_{n}(\omega)}n &= \frac{S_{n}(\omega)-n\mathbb{E}\left[X_{1}\right]}n \\ &= \frac{S_{n}(\omega)}n\ -\ \mathbb{E}\left[X_{1}\right]. \end{align}

Donc

C.Q.F.D.

Réciproque

Supposons que l'ensemble Ω_c défini par

est de probabilité 1. Notons l(ω) la limite de la suite ci-dessus, lorsqu'elle est définie, i.e. lorsqu' ω appartient à Ω_c . L'ensemble Ω_c est inclus dans l'ensemble suivant

puisque, lorsqu' ω appartient à Ω_c , on a

Ainsi, l'ensemble Ω₀ lui aussi est de probabilité 1. Posons

$A_n=\left\{\omega\in\Omega\ \left|\ |X_{n}(\omega)|>n\right.\right\}$

La limite supérieure des A_n est disjointe de l'ensemble Ω₀ , donc elle est de probabilité nulle. En vertu de la loi du zéro-un de Borel, on en déduit, puisque les événements A_n sont indépendants, que

$+\infty>\sum_{n\ge 1}\mathbb{P}\left(|X_{n}|>n\right).$

Par ailleurs, en toute généralité, comme on l'a vu lors de la ,

$\sum_{n\ge 1}\mathbb{P}\left(|X_{n}|>n\right)\ =\ \sum_{n\ge 1}\mathbb{P}\left(|X_{1}|>n\right)\ =\ \mathbb{E}\left[\left\lceil|X_{1}|\right\rceil-1\right]\ \ge\ -1+\mathbb{E}\left[|X_{1}|\right].$

Énoncé général

Loi forte des grands nombres de Kolmogorov

- Introduction - Énoncé général - Démonstration de la loi forte de Kolmogorov - Loi forte des grands nombres de Kolmogorov

Le trou noir supermassif Ansky vient de se réveiller ⚫

Voici ce qui rend notre cerveau vraiment unique 🧠

Asymétrie matière-antimatière: une nouvelle pièce du puzzle dévoilée 🧩

Neige en inuit, goût en japonais... comment les langues décomposent la réalité ? 💬

La physique révèle les secrets d'un strike parfait au bowling 🎳

Le TDAH associé à la démence 🧠

Découverte d'une nouvelle forme d'intrication quantique, une première en 20 ans ⚛️

Le régime cétogène montre des surprises sur le cholestérol 🧐

Un tango observationnel révèle une Super-Terre 🔭

Cette expérience montre que la graisse brune augmente fortement la longévité 🕒

L'Univers comme jamais vu auparavant: les révélations du fond diffus cosmologique 🔭

C'est sérieux: de la bave pourrait révolutionner la conception de bioplastiques 🪱

Découverte: le trou noir central de notre galaxie pourrait anéantir la vie sur Terre 💥

Etude scientifique: ces aliments nous font vieillir 🍽️

Pourquoi notre visage est-il plus petit et délicat que celui des Néandertaliens ? 🤔

A 18 ans, il découvre 1,5 million d'objets célestes inconnus avec son algorithme d'IA 🌟

Que sont ces objets rouges et aplatis, qualifiés d'UFOs par les astronomes ? 🔭

Une méthode simple pour améliorer les performances en mathématiques 🧮

Que sont ces étranges éclairs rouges photographiés au-dessus de l'Himalaya ? ⚡

Nous descendons non pas d'un, mais d'au moins deux groupes anciens 🧬

Un nuage géant de 160 000 soleils découvert dans notre Voie lactée 🔭

Connaissez-vous le rat-kangourou musqué, ce marsupial à la démarche unique ? 🦘

Comment une poignée de traders a fait s'effondrer deux cryptomonnaies 📉

Première cartographie titanesque d'un cerveau, avec 500 millions de connexions neuronales 🧠

Cette double supernovae proche est inexorable, voici la date... qui va vous surprendre 💥

Un océan phosphorescent: comment s'explique ce phénomène rare et féerique ? 🌊

L'ELT pourrait-il découvrir une vie extraterrestre dès 2028 ? 🔭

Cet édulcorant tue les superbactéries résistantes 🍬

Les neutrinos, la clé de la gravité quantique ? 👀

En Italie, les éruptions explosives de ce volcan déjouent les pronostics 🌋

Que sont ces spaghettis au cœur de notre galaxie ? 🔭

Des scientifiques ont créé une "bombe intelligente" contre le cancer 🎯

Les nanoplastiques, l'amiante du 21ème siècle ? 🔬

Compétition cellulaire: des forces sculptent nos tissus 🛠️

Le climat en Europe et au États-Unis pourrait changer bien plus radicalement que supposé 🌍

Découverte: ce dinosaure avait des poches d'air dans les os 🦴

La vie sur Titan, si elle existe, ressemblerait à quoi ? 🪐

Magnétisme et biologie s'allient contre le cancer 🧲

WR 104: on en sait plus sur cette "étoile de la mort" qui menace la Terre ☄️

Découverte: des bactéries respiraient de l'oxygène 1 milliard d'années avant la Grande Oxydation 🫧

Découverte d'un nouveau type de vent solaire rapide ☀️

Les dinosaures n'étaient pas en déclin avant l'astéroïde 🦖

Ce robot-cheval est véritablement tout-terrain 🐎

Comment un mauvais sommeil peut endommager votre cerveau ? 🧠

Découverte de microbes cachés qui purifient l'eau sans que nous le sachions 💧

Bonne nouvelle pour les enfants de la Lune 🌙

Du CO2 détecté dans l'atmosphère d'une exoplanète proche 🔭

Le café et le thé impactent le cancer, mais dans quel sens ? ☕

Une IA révèle des bulles cosmiques dans notre galaxie 🫧

Lorsque l'alcool stimule ses phéromones sexuelles et rend plus séduisant 🍷

Page générée en 0.158 seconde(s) - site hébergé chez Contabo
Ce site fait l'objet d'une déclaration à la CNIL sous le numéro de dossier 1037632
A propos - Informations légales
Version anglaise | Version allemande | Version espagnole | Version portugaise