Mercredi 23 Avril 2025
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Loi de probabilité - Définition

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- Introduction - Définition informelle - Exemples de lois à densité - Exemples de lois discrètes - Caractérisation de la loi de probabilité d'une variable aléatoire réelle - Définition mathématique - Histoire - Classification des lois de probabilité sur la droite réelle - Maximum d'entropie

Définition mathématique

En théorie des probabilités, une loi (ou mesure) de probabilité est une mesure positive \scriptstyle\ \mathbb{P}\ sur un espace mesurable \scriptstyle\ (\Omega, \mathcal{A})\ , telle que \scriptstyle\ \mathbb{P}(\Omega) = 1 . Le triplet \scriptstyle\ (\Omega, \mathcal{A},\, \mathbb{P})\ est appelé espace probabilisé.

Définition — Soit une variable aléatoire réelle sur l'espace probabilisé \scriptstyle\ (\Omega, \mathcal{A},\, \mathbb{P}) , c'est-à-dire une fonction mesurable \scriptstyle\ X : \Omega \to \mathbb{R} (l'ensemble \scriptstyle\ \mathbb{R} étant muni de sa tribu borélienne \scriptstyle\ \mathcal{B}_{\mathbb{R}} ). On appelle loi (de probabilité) de la variable aléatoire \scriptstyle\ X\ la mesure de probabilité définie sur l'espace mesurable \ \scriptstyle(\mathbb{R},\, \mathcal{B}_{\mathbb{R}}) par :

\mathbb{P}_X(B) = \mathbb{P}\left(X^{-1}(B)\right) = \mathbb{P}\left(X\in B\right),

pour tout borélien \ \scriptstyle B\ de \ \scriptstyle\mathbb{R}.\ On dit parfois que est la mesure image de \scriptstyle\ \mathbb{P}\ par \scriptstyle\ X\ .

Deux variables aléatoires réelles \scriptstyle\ X\ et \scriptstyle\ Y\ ont même loi si \ \scriptstyle\mathbb{P}_X\ =\ \scriptstyle\mathbb{P}_Y\ (égalité de fonctions). Cela se réécrit

\forall B\in\mathcal{B}_{\mathbb{R}},\qquad\mathbb{P}_X(B)\ = \mathbb{P}_Y(B),

ou bien encore

\forall B\in\mathcal{B}_{\mathbb{R}},\qquad\mathbb{P}(X\in B)\ = \mathbb{P}(Y\in B).

Plus généralement, deux variables aléatoires réelles \scriptstyle\ X\ et \scriptstyle\ Y\ ont même loi si

\mathbb{E}\left[\phi(X)\right]\ = \mathbb{E}\left[\phi(Y)\right]

pour toute fonction \scriptstyle\ \phi\ de \scriptstyle\ \mathbb{R}\ dans \scriptstyle\ \mathbb{R}\ telle qu'au moins un des deux termes de l'égalité ait un sens. Cela est dû au théorème de transfert, d'après lequel

Théorème de transfert — Soit une variable aléatoire réelle \scriptstyle\ X : \Omega \to \mathbb{R}.\ Alors,

\mathbb{E}\left[\phi(X)\right] = \int_{\mathbb{R}}\ \phi(x)\ \mathbb{P}_X(dx),

pour toute fonction \scriptstyle\ \phi\ de \scriptstyle\ \mathbb{R}\ dans \scriptstyle\ \mathbb{R}\ telle qu'au moins un des deux termes de l'égalité ait un sens.

L'intégrale apparaissant dans le deuxième terme est l'intégrale, au sens de la théorie de la mesure, de la fonction φ par rapport à la mesure \ \scriptstyle\mathbb{P}_X.\ Cette intégrale prend la forme d'une somme ou d'une intégrale dans les deux cas classiques où X est discrète et où X est à densité, voir ci-dessous.

Histoire

L'allure générale des lois de probabilité usuelles fut au début observée empiriquement, puis on en formalisa la définition dans le cadre de la théorie des probabilités en mathématiques.

Classification des lois de probabilité sur la droite réelle

Les lois énumérées dans cet article sont des mesures de probabilités sur \scriptstyle\ \mathbb{R} . Ces lois apparaissent en général dans les applications comme les lois de probabilité de certaines variables aléatoires réelles. Les lois énumérées dans cet article sont de deux types :

  • lorsque la loi de la variable aléatoire X est portée par un ensemble S
\text{— i.e.}\ \mathbb{P}\left(X\notin S\right)=0\text{ —}
tel que S est fini ou dénombrable, on parle de loi de probabilité discrète.
D'un point de vue pratique, les calculs de probabilités ou bien d'espérances liées à \scriptstyle\ X\ font alors intervenir des calculs de sommes finies ou de séries:
\mathbb{P}\left(X\in A\right)=\sum_{x\in A\cap S}\ \mathbb{P}\left(X=x\right),\qquad\mathbb{E}\left[\phi(X)\right]=\sum_{x\in S}\ \phi(x)\mathbb{P}\left(X=x\right).
Pour une variable discrète, on peut choisir comme ensemble \scriptstyle\ S\ l'ensemble des réels \scriptstyle\ a\ tels que \scriptstyle\ \mathbb{P}\left(X=a\right)>0.\
La deuxième égalité ci-dessus est la spécialisation du au cas particulier des variables discrètes, puisque dans ce cas particulier, on a
\int_{\mathbb{R}}\ \phi(x)\ \mathbb{P}_X(dx)=\sum_{x\in S}\ \phi(x)\mathbb{P}\left(X=x\right).
  • lorsque la loi de \scriptstyle\ X\ est absolument continue par rapport à la mesure de Lebesgue sur \ \scriptstyle\mathbb{R}\ , ou bien, d'une manière équivalente, lorsque la fonction de répartition de \scriptstyle\ X\ est localement absolument continue, on parle de variable ou de loi absolument continue, ou bien de variable ou de loi à densité. Dans ce cas, en vertu du Théorème de Radon-Nikodym, la mesure \scriptstyle\ \mathbb{P}_X\ (ou la variable \scriptstyle\ X\ ) possède une densité de probabilité (notons-la \scriptstyle\ f_X\ ) par rapport à la mesure de Lebesgue. D'un point de vue pratique, les calculs de probabilités ou bien d'espérances liées à \scriptstyle\ X\ font alors intervenir des calculs d'intégrales :
\mathbb{P}\left(X\in A\right)=\int_{A}\ f_X(x)\,dx,\qquad\mathbb{E}\left[\phi(X)\right]=\int_{\mathbb{R}}\ \phi(x)\ f_X(x)\,dx.
Là encore, la deuxième égalité ci-dessus est la spécialisation du , mais cette fois, au cas particulier des variables à densité, puisque dans ce cas particulier, on a
\int_{\mathbb{R}}\ \phi(x)\ \mathbb{P}_X(dx)=\int_{\mathbb{R}}\ \phi(x)\ f_X(x)\,dx.
Une variable à densité \scriptstyle\ X\ vérifie \scriptstyle\ \mathbb{P}\left(X=a\right)=0\ pour tout nombre réel \scriptstyle\ a.\ Toutefois, cette dernière propriété, qui oppose les variables à densité aux variables discrètes, n'est pas caractéristique des variables à densité.

Il existe d'autres types de variables aléatoires réelles :

  • la loi d'une variable aléatoire \scriptstyle\ X\ peut très bien n'être ni discrète ni absolument continue. Elle peut, par exemple, être un mélange des deux : si la loi de la durée de vie (avant panne) \scriptstyle\ Y\ d'un composant d'un certain type suit la loi exponentielle d'espérance 1 (an), et si par mesure de sécurité, on décide de remplacer chaque composant en cas de panne, mais aussi dès que le composant atteint l'age d'un an, même s'il n'est pas encore tombé en panne, alors la durée d'utilisation \scriptstyle\ X\ du composant ( \scriptstyle\ X=1\wedge Y\ ) n'est ni discrète ni absolument continue. En effet les calculs de probabilités ou bien d'espérances liées à \scriptstyle\ X\ font alors intervenir des calculs d'intégrales et de sommes :
\mathbb{P}\left(X\in A\right)=e^{-1}1_A(1)+\int_{A}\ e^{-x}\,1_{[0,1]}(x)\,dx,\qquad\mathbb{E}\left[\phi(X)\right]=e^{-1}\phi(1)+\int_{0}^1\ \phi(x)\ e^{-x}\,dx.
  • dans le cas précédent, la fonction de répartition de la durée d'utilisation \scriptstyle\ X\ est discontinue en 1. C'est une propriété générale : la fonction de répartition d'une variable aléatoire réelle \scriptstyle\ X\ est discontinue en \scriptstyle\ x\ si et seulement si \scriptstyle\ \mathbb{P}\left(X=x\right)>0.\ On voit que les variables à densité ont des fonctions de répartitions localement absolument continues, donc, a fortiori, continues sur \scriptstyle\ \mathbb{R},\ alors que les fonctions de répartition des variables discrètes et du mélange évoqué précédemment possèdent des discontinuités sur la droite réelle. Le tableau est encore compliqué par l'existence de variables aléatoires dont la fonction de répartition est continue sur \scriptstyle\ \mathbb{R},\ mais pas absolument continue, et qui ne sont donc pas à densité. C'est le cas, par exemple, de
X\ =\ \sum_{n\ge 1}\ 2\,Y_n\,3^{-n},
où les \scriptstyle\ Y_n\ désignent une suite de variables de Bernoulli indépendantes de paramètre 0,5. \scriptstyle\ X\ est un nombre dont on tire le développement triadique à pile ou face : à chaque pile on ajoute le chiffre 2, et à chaque face le chiffre 0, excluant ainsi le chiffre 1. La fonction de répartition de \scriptstyle\ X\ est l'escalier de Cantor. Une telle variable doit-elle être appelée continue (sa fonction de répartition l'est), ou pas (elle n'a pas de densité de probabilité) ? Le débat n'est pas très aigu, car ce type de variables apparait rarement dans les applications.
Caractérisation de la loi de probabilité d'une variable aléatoire réelle
Maximum d'entropie
- Introduction - Définition informelle - Exemples de lois à densité - Exemples de lois discrètes - Caractérisation de la loi de probabilité d'une variable aléatoire réelle - Définition mathématique - Histoire - Classification des lois de probabilité sur la droite réelle - Maximum d'entropie
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