Loi de probabilité - Définition

Exemples de lois discrètes

Une variable aléatoire X est discrète si l'ensemble de ses valeurs possibles est fini ou dénombrable. On dit alors que sa loi est discrète. Pour une définition plus formelle, voir la section "Classification des lois de probabilités sur la droite réelle". Pour la plupart des lois discrètes classiques, les valeurs possibles de X sont des entiers naturels. On définit alors la loi discrète en donnant la probabilité que X prenne chaque valeur entière possible n, soit

ou

Loi uniforme discrète

La loi uniforme discrète correspond à des événements équiprobables (exemple : lancer de dés, n=6 ) :

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Loi de Bernoulli

La loi de Bernoulli correspond à une expérience à deux issues (succès - échec), codées resp. par les valeurs 1, 0, et en général non équiprobables :

• où p est la probabilité de succès
• où q = 1-p est la probabilité d'échec
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Loi binomiale

C'est la loi du nombre de succès obtenus à l'issue de n épreuves de Bernoulli indépendantes de paramètre p.

• pour tout k de 0 à n, p étant un réel compris entre 0 et 1
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• où q = 1 − p

Loi hypergéométrique

On tire simultanément n boules dans une urne contenant pA boules gagnantes et qA boules perdantes (avec q = 1 - p, soit un nombre total de boules valant pA + qA = A). On compte alors le nombre de boules gagnantes extraites et on appelle X la variable aléatoire donnant le nombre de boules gagnantes.

• où A est un entier, pA et n des entiers inférieurs à A
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Loi de Poisson

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Loi géométrique

On considère une épreuve de Bernoulli dont la probabilité de succès est p et celle d'échec q = 1 - p.

On renouvelle cette épreuve de manière indépendante jusqu'au premier succès. On appelle X la variable aléatoire donnant le rang du premier succès.

• où p est un réel compris entre 0 et 1 et n un entier non nul.
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Caractérisation de la loi de probabilité d'une variable aléatoire réelle

En probabilité, il est crucial de pouvoir vérifier que deux variables aléatoires (réelles ou pas) ont la même loi de manière la plus économique possible, or les caractérisations ci-dessus exigent de vérifier des familles d'identités beaucoup trop riches (pour tout borélien B, pour toute fonction borélienne φ ...). Une solution plus ergonomique est fournie par les notions de fonction de répartition, ou de fonction caractéristique.

Caractérisation à l'aide de la fonction de répartition

La loi d'une variable aléatoire réelle est caractérisée par sa fonction de répartition : deux variables aléatoires réelles et ont même loi si elles ont même fonctions de répartition, i.e. si

Ainsi il suffit de vérifier l'égalité caractéristique pour une famille réduite de boréliens très particuliers, les boréliens de la forme pour démontrer les égalités et en toute généralité. Ce résultat crucial est une conséquence du Lemme de classe monotone dû à Wacław Sierpiński.

Caractérisation à l'aide de la fonction caractéristique

La loi d'une variable aléatoire réelle est caractérisée par sa fonction caractéristique : deux variables aléatoires réelles et ont même loi si elles ont même fonction caractéristique, i.e. si

Ainsi il suffit de vérifier l'égalité caractéristique pour une famille réduite de fonctions très particulières, les fonctions de la forme et pour démontrer que et ont même loi.

Caractérisation à l'aide de la transformée de Laplace

La loi d'une variable aléatoire réelle positive ou nulle est caractérisée par sa transformée de Laplace : deux variables aléatoires réelles positives ou nulles et ont même loi si elles ont même transformée de Laplace, i.e. si

Caractérisation à l'aide de la fonction génératrice

La loi d'une variable aléatoire à valeurs entières positives ou nulles est caractérisée par sa fonction génératrice : deux variables aléatoires à valeurs entières positives ou nulles et ont même loi si elles ont même fonction génératrice, i.e. si