Loi de composition interne - Définition

Éléments particuliers

Composé de deux éléments et composé réciproque

Dans un magma ( E, ), on appelle « composé d'un élément x par un élément y », l'unique élément x y associé par la loi au couple ( x, y ).

L'élément y x est le composé de y par x. Il est associé par la loi au couple ( y, x ), réciproque du couple ( x, y ); c'est pourquoi il est aussi appelé composé réciproque de x par y ou de x y.

Certains éléments jouent un rôle particulier en raison de leurs propriétés :

Carrés et dérivés

• un élément est dit carré ssi :  

En sens inverse, tout élément x   a un carré unique, noté habituellement « x ²  ».

Si la loi est notée additivement, le terme de double sera employé de préférence à celui de carré.

Exemple : dans , le double de 3 (pour l'addition) est 6, et son carré (pour la multiplication) est 9.

• un élément est dit idempotent ou projecteur ssi :  

En d’autres termes, cet élément est son propre carré.

Exemples :

• tout élément neutre d'une loi est idempotent pour cette loi;
• dans tout ensemble numérique les contenant, 0 et 1 sont les seuls éléments idempotents pour la multiplication.

• un élément est dit dévolutif ssi :  

En d’autres termes, d est le carré de tous les éléments de E. Tout élément dévolutif est idempotent. En effet, il est carré de tout élément de E donc en particulier, il est son propre carré

Exemple : dans un groupe dont tous les éléments autres que le neutre sont d'ordre deux, l'élément neutre est dévolutif.

Neutres et dérivés

• un élément est dit neutre à gauche ssi :  
• un élément est dit neutre à droite ssi :  
• un élément est dit neutre lorsqu’il est neutre à droite et à gauche;

Exemple : dans , l'élément neutre de l'addition est 0, et celui de la multiplication est 1.

Tout élément neutre, même unilatère (c’est-à-dire soit à gauche, soit à droite, mais pas les deux), est idempotent.

• un élément est dit involutif s’il existe un élément neutre et si :   ;

L’élément neutre est nécessairement involutif.

Le seul élément involutif et idempotent est l'élément neutre.

• un élément est symétrique à gauche de l'élément , si . L'élément est alors symétrique à droite de l'élément .

Absorbants et dérivés

• un élément est dit absorbant à gauche ssi :  
• un élément est dit absorbant à droite ssi :  
• un élément est dit absorbant lorsqu’il est absorbant   à droite et à gauche;

Exemple : dans , 0 est absorbant pour la multiplication, alors que l'addition ne présente pas d'élément absorbant.

Tout élément absorbant, même unilatère, est idempotent.

• un élément est dit nilpotent s’il existe un élément absorbant et si :   ;

L’élément absorbant est nécessairement nilpotent...

Centre d'une structure

• un élément est dit commutatif ou central ssi :  

En d'autres termes, un élément est central si son composé par tout élément se confond avec le réciproque de ce composé.

Les éléments neutre et absorbant bilatères sont commutatifs.

On appelle centre de E, et on note Z ( E ), l’ensemble des éléments commutatifs de E.

Réguliers et dérivés

• un élément est dit régulier à gauche ou simplifiable à gauche ssi :

• un élément est dit régulier à droite ou simplifiable à droite ssi :

• un élément est dit régulier ou simplifiable lorsqu’il est régulier à droite et à gauche;

• un élément est dit antirégulier ou cosimplifiable ssi :

• un élément est dit irrégulier à gauche ou non-simplifiable à gauche ssi :

• un élément est dit irrégulier à droite ou non-simplifiable à droite ssi :

• un élément est dit irrégulier ou non-simplifiable lorsqu’il est irrégulier à droite ou à gauche;

• un élément est dit diviseur de zéro à gauche ssi il existe un élément absorbant , différent de , et si : ;

Un diviseur de zéro à gauche est irrégulier à gauche;

• un élément est dit diviseur de zéro à droite ssi il existe un élément absorbant , différent de , et si : ;

Un diviseur de zéro à droite est irrégulier à droite;

Paires d'éléments

Des paires d’éléments peuvent aussi présenter des propriétés particulières :

• deux éléments et seront dits permutables ou commutants ssi :  

ou, en d'autres termes, si leur composé se confond avec son réciproque.

• deux éléments permutables et seront dits symétriques ou inversibles :

- s’il existe un élément neutre ,

- et si :   ;

• deux éléments permutables et seront dits diviseurs de zéro ou désintégrants :

- s’il existe un élément absorbant ,

- si aucun des deux éléments n’est égal à ,

- et si :   ;

Les diviseurs de zéro sont irréguliers. Les éléments nilpotents autres que l’élément absorbant sont des diviseurs de zéro.

Exemple: pour les entiers relatifs, 0 est neutre pour l’addition, absorbant pour la multiplication, et neutre à droite pour la soustraction.