Loi binomiale - Définition
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Lien avec la loi de Bernoulli
Du fait de son interprétation comme loi du nombre de succès lors d'une série de n épreuves de Bernoulli indépendantes et identiques, la loi binomiale est en particulier la loi de la somme de n variables aléatoires indépendantes suivant toutes la (même) loi de Bernoulli de paramètre p, prenant la valeur 1 en cas de succès (probabilité p) et 0 en cas d'échec (probabilité (1-p)). Des exemples importants où la loi binomiale apparaît comme loi de la somme de variables de Bernoulli sont les suivants :
- l'étude des sondages,
- la fonction de répartition empirique,
- la fonction de répartition d'une statistique d'ordre, comme par exemple la médiane d'un échantillon, ou un quartile.
Par ailleurs, cette interprétation en terme de sommes de variables de Bernoulli permet un calcul rapide de l'espérance et de la variance.
Loi des grands nombres
La loi binomiale, son espérance et sa variance, ainsi que l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev permettent de démontrer une version simple de la loi des grands nombres.
Convergence
Pour de grandes valeurs de n, le calcul de
- Lorsque n tend vers l'infini et que p tend vers 0 avec np = a, la loi binomiale converge vers une loi de Poisson de paramètre a. En pratique, on remplace la loi binomiale par une loi de Poisson dès que n > 30 et np < 5 ou dès que n > 50 et p < 0.1.
Décomposons
On se place dans la situation où np reste constant et où n tend vers l'infini (par conséquent p tend vers 0).
- Lorsque n tend vers l'infini, les termes
- On a (1 − p)n − k = (1 − p)n(1 − p) − k
- Or
- De plus,
- Or
On trouve donc
- Lorsque n tend vers l'infini et que p et q sont de même ordre de grandeur, la loi binomiale converge vers une loi normale d'espérance np et de variance npq. En pratique, on remplace une loi binomiale par une loi normale dès que n > 30, np > 5 et nq > 5
Supposons que p(k) admette un extremum pour
Il vient :
![\ln p(k) \ \sim \ n \ \ln n \ - \ n \ + \ \frac{1}{2} \ \ln ( 2 \pi n) \ - \ \left[ \ k \ \ln k \ - \ k \ + \ \frac{1}{2} \ \ln ( 2 \pi k) \ \right]](https://static.techno-science.net/illustrationWebp/Definitions/autres/9/947c75fb3fc52ebe75676aab0ef2ce81_a1d56d1b15654eb4a4046deb22b3242c.png)
![\ - \ \left[ \ (n-k) \ \ln (n-k) \ - \ (n-k) \ + \ \frac{1}{2} \ \ln ( 2 \pi (n-k) \, ) \, \right] \ + \ k \ln p \ - \ (n-k) \ln (1-p)](https://static.techno-science.net/illustrationWebp/Definitions/autres/e/edad49e47e13c7dc60017381401422b3_e8ae1e0290cc2b1e4469f5f92381f36c.png)
La dérivée par rapport à k donne :
![\frac{d~}{dk} \ln p(k) \ \sim \ \ln \left[ \, \frac{(n-k) \ p}{k \ (1 - p)} \, \right] \ + \ O \left( \frac{1}{k} \right)](https://static.techno-science.net/illustrationWebp/Definitions/autres/6/654ed8bcdeb5544d4f033529dc1ea92a_16dac8de587ceeb8d7e2761440bd9ec5.png)
Pour annuler cette dérivée, il faut que l'argument du logarithme soit égal à un. On obtient alors la valeur de k qui rend le logarithme extremum :
La valeur la plus probable est donc la valeur moyenne. La dérivée seconde vaut par ailleurs :
![\frac{d^2~}{dk^2} \ln p(k) \ \sim \ - \ \left[ \, \frac{1}{n-k} \ + \ \frac{1}{k} \, \right] \ + \ O \left( \frac{1}{k^2} \right)](https://static.techno-science.net/illustrationWebp/Definitions/autres/e/e00678b5c870f04ecc2697d6e35730c4_9607ed463cd75366bd2e0ec95fa1949b.png)
Calculée en
![\frac{d^2~}{dk^2} \ln p(\tilde{k}) \ \sim \ - \ \left[ \, \frac{1}{np(1-p)} \, \right] \ = \ - \ \frac{1}{\sigma^2}](https://static.techno-science.net/illustrationWebp/Definitions/autres/d/d219dc5afa044a884df04dea3bf2add8_2304bb2d4cc462314c3d47f295735677.png)
On peut donc écrire le développement limité au second ordre suivant :
qui s'écrit compte-tenu de ce qui précède :
soit en prenant l'exponentielle :
![p(k) \ \sim \ p(\tilde{k}) \ \exp \ \left[ - \ \frac{\left( k - \tilde{k} \right)^2}{2 \, \sigma^2} \ \right]](https://static.techno-science.net/illustrationWebp/Definitions/autres/d/d2d4b67d617bc558f50c4e8cfefa8c03_0ddb1130f006a81cb1c4d0fa47f2a9f0.png)
On détermine la constante
d'où la distribution gaussienne :
![p(k) \ = \ \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2 \ }} \ \exp \ \left[ - \ \frac{\left( k - \langle \ k \ \rangle \, \right)^2}{2 \, \sigma^2} \ \right]](https://static.techno-science.net/illustrationWebp/Definitions/autres/a/af25d49973129a7512ec90450721f597_959a5b1350378a57098b5dac6e328f5e.png)
