Isopérimétrie - Définition et Explications

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Introduction

La forme d'une bulle de savon est une réponse à une question d'isopérimétrie. Sa géométrie est sphérique car c'est le solide qui englobe le plus vaste volume dans une surface de mesure donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction, d'un événement, etc.).

En géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace de dimension 3 (géométrie euclidienne) et, depuis le XVIIIe siècle, les figures d'autres...) plane (La plane est un outil pour le travail du bois. Elle est composée d'une lame semblable à celle d'un couteau, munie de deux poignées, à chaque extrémité de la...), l'isopérimétrie traite, en particulier, la question de trouver la surface (Une surface désigne généralement la couche superficielle d'un objet. Le terme a plusieurs acceptions, parfois objet géométrique, parfois frontière...) la plus vaste possible, pour un périmètre (Le périmètre d'une figure plane est la longueur du bord de cette figure. Le calcul du périmètre sert par exemple à déterminer la...) donné. La réponse est intuitive, c'est le disque (Le mot disque est employé, aussi bien en géométrie que dans la vie courante, pour désigner une forme ronde et régulière, à l'image d'un palet — discus en latin.). Ce problème, d'apparence anodin, fait appel à des théories sophistiquées pour obtenir une démonstration (En mathématiques, une démonstration permet d'établir une proposition à partir de propositions initiales, ou précédemment démontrées à partir de propositions initiales, en s'appuyant sur un...) rigoureuse. À cet égard, il ressemble un peu au théorème de Jordan (En mathématiques, le théorème de Jordan est un théorème de topologie plane. Il est célèbre par le caractère apparemment intuitif de son énoncé et la difficulté de...), indiquant qu'une boucle la plus simple possible (sans croisement) divise un plan en deux parties, l'intérieur de la boucle qui est borné, et l'extérieur qui ne l'est pas. En conséquence, on simplifie parfois le problème isopérimétrique en limitant les surfaces autorisées. Par exemple, on cherche le quadrilatère (En géométrie plane, un quadrilatère est un polygone à 4 côtés.) ou le triangle (En géométrie euclidienne, un triangle est une figure plane, formée par trois points et par les trois segments qui les relient. La dénomination de « triangle » est justifiée par...) d'aire la plus vaste possible, toujours pour un périmètre donné. Les solutions respectives sont le carré (Un carré est un polygone régulier à quatre côtés. Cela signifie que ses quatre côtés ont la même longueur et ses quatre angles la même mesure. Un carré est...) et le triangle équilatéral. De manière générale, le polygone (En géométrie euclidienne, un polygone (du grec polus, nombreux, et gônia, angle) est une figure géométrique plane, formée d'une suite cyclique de segments consécutifs et délimitant une portion du...) à n sommets ayant la plus grande surface, à périmètre donné, est celui qui se rapproche le plus du cercle : c'est le polygone régulier.

L'isopérimétrie ne se limite pas à ces questions. On recherche (La recherche scientifique désigne en premier lieu l’ensemble des actions entreprises en vue de produire et de développer les connaissances scientifiques. Par extension métonymique, la...) aussi une zone d'aire la plus vaste possible pour un périmètre donné, avec des géométries différentes. Par exemple, dans le cas d'un demi-plan, la réponse est le demi-disque. La question du solide de plus grand volume (Le volume, en sciences physiques ou mathématiques, est une grandeur qui mesure l'extension d'un objet ou d'une partie de l'espace.), enveloppé dans une surface de mesure fixée est naturellement dans le domaine de l'isopérimétrie. La bulle de savon (Qui ne s'est pas un jour ou l'autre émerveillé à la vue des bulles de savon ? Ces petites boules volantes ou composant les mousses des écumes recèlent beaucoup de sujets d'étude...), qui cherche à envelopper un volume d'air (L'air est le mélange de gaz constituant l'atmosphère de la Terre. Il est inodore et incolore. Du fait de la diminution de la pression de l'air avec...) donné dans la surface la plus petite possible, indique la solution : une sphère (En mathématiques, et plus précisément en géométrie euclidienne, une sphère est une surface constituée de tous les points situés à une même distance d'un point...).

Ce concept donne naissance à une famille de théorèmes, dit isopérimétriques, à des majorations dites inégalités isopérimétriques, ainsi qu'à un rapport, appelé quotient isopérimétrique. En dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son diamètre si c'est une pièce de révolution.) 2, l'inégalité isopérimétrique indique qu'une surface de périmètre p et d'aire a vérifie la majoration suivante :

\frac {4 \pi a}{p^2} \le 1

Le terme de gauche, est appelé quotient isopérimétrique, il est égal à 1 si, et seulement si la surface est un disque.

Si l'origine de cette question date d'au moins 2 900 ans, ce n'est qu'en 1895, à l'aide de méthodes dérivées du théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique construit à partir d'axiomes. Un théorème est à...) de Minkowski que la question est définitivement résolue sous sa forme antique. Ces méthodes permettent de démontrer le théorème isopérimétrique (En géométrie, un théorème isopérimétrique traite d'une question concernant les compacts d'un espace métrique muni d'une mesure. Un...) et de le généraliser à des dimensions supérieures dans le cas d'une géométrie euclidienne (La géométrie euclidienne commence avec les Éléments d'Euclide, qui est à la fois une somme des connaissances géométriques de l'époque et une tentative de formalisation mathématique de ces...).

Cet article traite uniquement des aspects élémentaires de cette question. Des éléments de réponse, faisant usage (L’usage est l'action de se servir de quelque chose.) d'outils mathématiques (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les figures, les structures et les transformations....) plus sophistiqués, sont proposés dans l'article Théorème isopérimétrique.

Fragments d'histoire

Didon applique le théorème isopérimétrique pour l'achat du terrain à l'origine de la fondation de Carthage.

La légende raconte que la ville (Une ville est une unité urbaine (un « établissement humain » pour l'ONU) étendue et fortement peuplée (dont les...) de Carthage, fut fondée 814 av. J.-C. par la princesse phénicienne Elissa, surnommée Didon. Elle demanda au roi de Numidie Iarbas l'octroi (L’octroi est une contribution indirecte perçue autrefois par les municipalités à l'importation de marchandises sur leur territoire. Cette taxe...) d'un terrain pour s'y installer. Iarbas, réticent, lui accorda le droit de choisir un lopin de terre (La Terre est la troisième planète du Système solaire par ordre de distance croissante au Soleil, et la quatrième par taille et par masse...) que pourrait contenir la peau d'un bœuf. La rusée Didon découpa en une fine lamelle la peau, qui devint une longue lanière de 4 km de long. Elle fit étendre cette lanière sur un demi-cercle dont les deux extrémités touchaient la côte, rectiligne à l'endroit où elle se trouvait. La reine avait intuitivement trouvé la solution au problème isopérimétrique dans un demi-plan euclidien. Ce problème est résolu lorsqu'est trouvée la surface la plus grande possible, pour un périmètre donné. Le demi-cercle est en effet la courbe (En géométrie, le mot courbe, ou ligne courbe désigne certains sous-ensembles du plan, de l'espace usuels. Par exemple, les droites, les segments, les lignes polygonales et les cercles sont des courbes.) que doit suivre la lanière pour délimiter la plus grande surface possible, dans ce cas particulier.

La méthode, consistant à mesurer une surface à l'aide de son périmètre, est fréquente durant l'antiquité grecque. Homère indique que la ville de Troie fait 10 200 pas, indiquant par là qu'en faire le tour demande une marche (La marche (le pléonasme marche à pied est également souvent utilisé) est un mode de locomotion naturel. Il consiste en un déplacement en appui alternatif sur les jambes, en position...) de 10 200 pas. La solution du problème isopérimétrique dans le plan euclidien est connue par certains depuis le Ve siècle av. J.-C., au moins pour le cas du polygone à n côtés. Il porte le nom de théorème isopérimétrique. À l'époque des grecs, tous ne semblent pas au courant de ce résultat et de ses conséquences. Proclos mentionne le cas de tricherie (La tricherie est le fait de ne pas respecter des règles pour profiter d'avantages. On peut tricher au jeu, dans le sport, à un examen (antisèches, copier sur le voisin…). Quelqu'un qui triche est...) de géomètres datant de cette époque. Des terrains étaient divisés en différents lopins de même périmètre mais de surfaces différentes, les géomètres, responsables du partage, obtenaient les plus grosses parcelles. La supercherie fut découverte au moment des moissons, dont l'abondance est proportionnelle à la surface et non au périmètre.

Théon d'Alexandrie (Alexandrie (grec :?λεξ?νδρεια, Copte : Rakot?, Arabe : ??????????, Al-?Iskandariya) est une ville d’Égypte de près...) et Pappus (Pappus d'Alexandrie vécut au IVe siècle après J.C. Il est un des plus important mathématiciens de la Grèce antique, connu pour son ouvrage Synagoge (“Collection”).) attribue à Zénodore les premières démonstrations. Il prouve que parmi tous les polygones à n côtés et même périmètre, seul celui régulier est candidat à être la réponse au problème isopérimétrique. Il découvre aussi que le disque d'un périmètre donné possède une surface supérieure à celle de n'importe quel polygone régulier. Il aurait aussi démontré que la sphère est le solide ayant un plus grand volume que tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) polyèdre (Un polyèdre est une forme géométrique à trois dimensions ayant des faces planes qui se rencontrent le long d'arêtes droites. Le mot polyèdre provient du grec...) de même surface.

Les mathématiques grecs n'ont pas les moyens d'aller au-delà. Leurs démonstrations restent partielles, même si leurs auteurs n'ont pas conscience de l'aspect incomplet des preuves. Ils ne disposent pas non plus des outils mathématiques qui auraient permis d'aller plus loin. Les mathématiciens arabes s'approprient le savoir des grecs sur cette question. Abū Ja'far al-Khāzin écrit un traité résumant tout le savoir de son époque sur l'isopérimétrie. Ils développent les moyens d'aller plus loin. Nasir ad-Din at-Tusi un mathématicien (Un mathématicien est au sens restreint un chercheur en mathématiques, par extension toute personne faisant des mathématiques la base de son activité principale. Ce terme recouvre une large palette de compétences et...) du XIIIe siècle développe, dans son traité du quadrilatère, suffisamment la trigonométrie (La trigonométrie (du grec τρίγωνος / trígonos, « triangulaire », et...) pour présenter des preuves complètes dans le cas des triangles ou des rectangles.

Il faut ensuite attendre les mathématiques européennes du XIXe siècle pour d'autres progrès. En 1836, Jakob Steiner obtient un premier résultat nouveau. Sous réserve d'admettre l'existence d'une solution en dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son...) 2, alors cette solution est nécessairement le disque. Pour une preuve complète en dimension 2, il faut attendre les travaux de Karl Weierstrass et Hermann Minkowski, elle devient rigoureuse vers 1895. Cette partie de l'histoire est traitée dans l'article théorème isopérimétrique.

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