Isopérimétrie - Définition et Explications

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Définitions et premières propriétés

Dimension 2

Soit Pn un polygone à n côtés, où n désigne un entier plus grand que 2, p son périmètre et an son aire. Dans ce cas particulier, le théorème isopérimétrique (En géométrie, un théorème isopérimétrique traite d'une question concernant les compacts d'un espace métrique muni d'une...) s'exprime sous la forme suivante :

Théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique...) isopérimétrique pour un polygone (En géométrie euclidienne, un polygone (du grec polus, nombreux, et gônia, angle) est une figure géométrique plane, formée d'une suite cyclique...) —  L'aire de Pn est plus petite que celle d'un polygone régulier à n côtés et de périmètre (Le périmètre d'une figure plane est la longueur du bord de cette figure. Le calcul du périmètre sert par exemple à...) p. Un disque (Le mot disque est employé, aussi bien en géométrie que dans la vie courante, pour désigner une forme ronde et régulière, à l'image d'un palet — discus en latin.) de périmètre p possède une aire strictement plus grande que celle de Pn.

Ce théorème peut s'exprimer sous la forme d'une inégalité :

Inégalité isopérimétrique pour un polygone —  On dispose de l'inégalité suivante :

4\pi a_n < 4n \tan \frac {\pi}na_n \le p^2

Cette propriété est très générale, elle reste vraie pour toute surface (Une surface désigne généralement la couche superficielle d'un objet. Le terme a plusieurs acceptions, parfois objet géométrique, parfois...) d'aire a, ayant un bord rectifiable de longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus éloignées. Lorsque l’objet est filiforme ou en forme de...) p, c'est-à-dire que le bord est une courbe (En géométrie, le mot courbe, ou ligne courbe désigne certains sous-ensembles du plan, de l'espace usuels. Par exemple, les droites, les segments, les lignes polygonales et les cercles...) qui possède une longueur finie.

Théorème isopérimétrique dans un espace euclidien (En mathématiques, un espace euclidien est un objet algébrique permettant de généraliser de façon naturelle la...) de dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son diamètre si c'est une pièce de révolution.) 2 —  L'aire a est plus petite que celle du disque de même périmètre p, ce qui donne lieu à la majoration suivante, dite inégalité isopérimétrique. L'égalité a lieu uniquement si la surface est un disque.

p^2 - 4\pi a \ge 0

Ce théorème donne lieu à une définition :

Quotient isopérimétrique —  Le quotient q défini par l'égalité suivante, est appelé quotient isopérimétrique :

q = 4\pi \frac {a}{p^2}

On peut interpréter ce quotient comme le carré (Un carré est un polygone régulier à quatre côtés. Cela signifie que ses quatre côtés ont la même longueur et ses quatre...) du rapport entre le rayon du cercle (Un cercle est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale distance d'un point nommé centre. La valeur de cette...) ayant même aire sur le rayon du cercle ayant même périmètre. L'inégalité isopérimétrique est équivalente à dire que q est inférieur à 1, le cas d'égalité n'ayant lieu que si la surface est un disque.

Dimension 3

En dimension 3, on ne peut approcher de plus en plus précisément la sphère (En mathématiques, et plus précisément en géométrie euclidienne, une sphère est une surface constituée de tous les points situés à une même distance d'un...) par des polyèdres réguliers convexes. Il n'en existe que 5, appelé solide de Platon (En géométrie euclidienne, un solide de Platon est un polyèdre régulier convexe.  Entre les polygones réguliers convexes de la...). Le résultat général reste néanmoins vrai :

Théorème isopérimétrique dans un espace euclidien de dimension 3 —  Soit un solide mesurable au sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine. Par une...) de Lebesgue ayant un bord mesurable, son volume (Le volume, en sciences physiques ou mathématiques, est une grandeur qui mesure l'extension d'un objet ou d'une partie de l'espace.) est plus petit que celui de la boule dont la sphère a même aire.

Remarque: Ici le bord du solide est une surface comme la sphère est le bord de la boule.

L'inégalité isopérimétrique s'exprime à l'aide d'un quotient isopérimétrique q. Elle indique que ce coefficient (En mathématiques un coefficient est un facteur multiplicatif qui dépend d'un certain objet, comme une variable (par exemple, les coefficients d'un...) est toujours inférieur à 1 et le cas d'égalité n'a lieu que pour la sphère. Le coefficient q s'exprime sous la forme suivante, si v désigne le volume du solide et s l'aire du bord de ce solide :

q = 36\pi \frac {v^2}{s^3}

Cette formule est commentée à travers l'exemple de l'icosaèdre (En mathématiques, et plus précisément en géométrie, un icosaèdre est un solide de dimension trois, de la famille des polyèdres, c'est-à-dire que sa surface est composée d'un nombre fini de polygones...), à la suite de l'article.

Exemples

Les remparts d'une ville (Une ville est une unité urbaine (un « établissement humain » pour l'ONU) étendue et fortement peuplée (dont les habitations doivent être...)

L'enceinte d'une ville du moyen-âge se rapproche souvent d'un cercle. Celle de Paris (Paris est une ville française, capitale de la France et le chef-lieu de la région d’Île-de-France. Cette ville est construite sur une boucle de la Seine, au centre du bassin parisien, entre les...), à l'époque de Philippe Auguste n'en est pas très éloignée.
La ville de Cologne applique le principe isopérimétrique à la manière de Didon. La géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace de dimension 3 (géométrie euclidienne) et, depuis le XVIIIe siècle, les figures d'autres types d'espaces...) n'est pas celle d'un plan, mais un demi-plan.

Didon n'est pas la seule dirigeante à être confrontée à la question de la plus grande surface pour un périmètre donné. Les remparts d'une ville du Moyen-Âge demandent à la fois un gros travail de construction et une soldatesque abondante pour protéger la ville en cas d'attaque. Ces deux raisons favorisent de maximiser la surface intérieure de la ville par rapport à son périmètre.

La géométrie utilisée n'est pas toujours celle du plan euclidien. Un demi plan euclidien permet par exemple d'obtenir un meilleur rapport. La solution est le demi cercle, elle est deux fois plus efficace. À l'aide d'un rempart (Un rempart est un élément de fortification entourant un bourg, une ville ou une citadelle, apparaissant au XVIe siècle, et qui remplace la muraille. Il est un élément caractéristique de l’architecture...) de longueur p, on couvre une surface de p2/2π. La ville de Cologne adopte cette approche pour protéger sa ville au Moyen-Âge.

Au XVIIIe siècle d'autres contraintes favorisent une géométrie très différente (En mathématiques, la différente est définie en théorie algébrique des nombres pour mesurer l'éventuel défaut de dualité d'une...). Celle de Lille par exemple, est fondée sur le principe de la tenaille, présentant des arêtes difficile à canonner de face. Elle offre une meilleure résistance à une attaque par l'artillerie.

L'œil du bouillon

L'œil dans un bouillon est constitué par une goutte d'huile (L'huile est un terme générique désignant des matières grasses qui sont à l'état liquide à température ambiante...) en suspension ( Le fait de suspendre des particules En chimie, la suspension désigne une dispersion de particule. En géomorphologie, la suspension est un mode de transport des sédiments. Le fait de suspendre un objet En...) dans l'eau (L’eau est un composé chimique ubiquitaire sur la Terre, essentiel pour tous les organismes vivants connus.). La surface de contact entre l'huile et l'eau est consommatrice d'énergie (Dans le sens commun l'énergie désigne tout ce qui permet d'effectuer un travail, fabriquer de la chaleur, de la lumière, de produire un mouvement.) potentielle. L'équilibre, atteint pour le point (Graphie) d'énergie potentiel la plus basse est obtenue par la géométrie minimisant cette zone d'interface (Une interface est une zone, réelle ou virtuelle qui sépare deux éléments. L’interface désigne ainsi ce que chaque élément a besoin de connaître de l’autre pour pouvoir fonctionner correctement.). Pour parler en termes imagés : « Les molécules les plus mal à l’aise se trouvent à l’interface (c’est-à-dire entre l’huile et le bouillon) donc plus l’interface est grande, plus le système est mal à l’aise ».

Pour cette raison, les gouttes adoptent une géométrie circulaire. Si deux yeux fusionnent, ils adoptent instantanément cette forme. Si un œil est coupé (Un coupé est une voiture fermée, à deux portes (parfois trois avec hayon ou quatre comme l'ont fait certains constructeurs américains) et possédant deux, quatre ou cinq...) en deux, par exemple à l'aide d'un couteau (Un couteau est un outil tranchant comportant une lame et un manche.), les deux yeux obtenus reprennent aussi une forme circulaire.

Cette même cause impose aux bulles de savon (Le savon est un objet liquide ou solide composé de molécules amphiphiles composées de sels métalliques, spécifiquement d'hydroxyde de sodium ou d'hydroxyde de...) de taille pas trop vaste, une forme sphérique. L'énergie potentielle est maximale si la surface de la bulle est minimale, la bulle a tendance à enfermer le volume d'air (L'air est le mélange de gaz constituant l'atmosphère de la Terre. Il est inodore et incolore. Du fait de la diminution de la pression de l'air avec...) dans un espace sphérique, car il minimise au mieux la surface, pour un volume donné (celui de l'air emprisonné).

L'icosaèdre

L'icosaèdre est le solide de Platon (Platon (en grec ancien Πλάτων / Plátôn), Athènes, 428 - 427 av. J.-C., 347 - 346 av. J.-C., est un philosophe grec,...) ayant le quotient isopérimétrique le plus élevé.

Le théorème d'isopérimétrie (En géométrie plane, l'isopérimétrie traite, en particulier, la question de trouver la surface la plus vaste possible, pour un périmètre donné. La réponse est intuitive, c'est le disque. Ce...) indique que, pour tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) solide mesurable, de surface mesurable, le volume est plus petit que celui d'une sphère de même surface. Ainsi un solide de surface S possède toujours un volume V inférieur à Vs, celui d'une sphère de même surface :

 V \le V_s\;

La sphère de rayon r possède une surface de 4πr2, le rayon r de la sphère en question est égal à √S/2√π. Le volume Vs est égal à 4πr3/3. On en déduit une nouvelle majoration :

 V_s = \frac {4\pi S^{3/2}}{24\pi^{3/2}} = \frac {S^{3/2}}{6\sqrt {\pi}}

La formule s'exprime plus simplement si elle est mise au carré, on obtient :

 q = \frac {36\pi V^2}{S^3} \le 1 \;

Ce qui donne une forme d'inégalité isopérimétrique et la formule du quotient isopérimétrique, noté ici q. Dans le cas d'un icosaèdre, et si a désigne l'arête du solide, on dispose des formules suivantes :

V = \frac{5\varphi^2}{6}  a^3 \quad\text{et}\quad S = 5 \sqrt{3} a^2 \quad \text{avec}\quad \varphi^2 = \varphi + 1

Ici, φ désigne le nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) d'or égal à 1/2(1 + √5). On trouve :

q = 36\pi\frac {5^2\varphi^4 a^6}{6^2\cdot 5^3\cdot 3\sqrt 3 a^6}= \frac {\pi\varphi^4}{15\sqrt 3} \approx 0,82799772

Ce quotient isopérimétrique est la valeur la plus élevée possible pour un solide de Platon.

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